QCM : Algèbre linéaire et statistique — 61 questions

Explication

Une fonction numérique à variable réelle associe des réels à des réels, avec un domaine qui peut être ℝ ou une partie de ℝ. Une fonction à valeurs complexes ou une relation sans image unique ne correspond pas à cette définition.

Explication

L’ensemble de définition contient les réels pour lesquels l’expression $f(x)$ existe et qui possèdent une image. Il ne désigne ni l’ensemble de départ complet ni l’ensemble des valeurs prises par la fonction.

Explication

Toute fonction polynôme est définie pour chaque réel, car elle ne comporte ni dénominateur pouvant s’annuler ni radical imposant une condition. Son ensemble de définition est donc ℝ.

Explication

Le radical impose $x-1\ge0$, donc $x\ge1$, tandis que le dénominateur impose $x-3\ne0$. La condition $x>1$ serait trop restrictive, car la racine carrée existe aussi lorsque $x=1$.

Explication

À l’infini, la limite d’un polynôme est celle de son monôme de plus haut degré, ici $5x^4$. Les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant ce terme dominant.

Explication

Pour une fonction rationnelle, on compare les monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Ici, le quotient déterminant est $\frac{2x^3}{5x^2}$, soit $\frac25x$.

Explication

La forme $\frac{0}{0}$ est indéterminée, car elle ne permet pas de déduire directement la limite. Les autres expressions proposées correspondent à des situations dont l’interprétation est différente ou à une valeur déterminée.

Explication

L’expression conjuguée permet souvent de transformer une différence de radicaux et de supprimer la forme indéterminée. La conservation du terme constant ou la comparaison de coefficients ne traite pas directement ce type d’expression irrationnelle.

Explication

Une asymptote verticale apparaît lorsque la fonction n’est pas définie en $x_0$ et que ses valeurs deviennent infinies quand $x$ s’approche de $x_0$. Une limite finie à l’infini caractérise plutôt une asymptote horizontale.

Explication

Une limite finie $a$ lorsque $x$ tend vers l’infini donne l’asymptote horizontale $y=a$. Ici, la droite correspondante est donc $y=3$, tandis que $x=3$ serait une droite verticale.

Explication

Une asymptote oblique est une droite dont l’écart algébrique avec la courbe tend vers zéro à l’infini. Un écart qui tend vers l’infini décrit plutôt une direction asymptotique, et l’égalité pour tout $x$ correspondrait à une coïncidence avec la droite.

Explication

La différence $f(x)-(ax+b)$ mesure la position verticale de la courbe par rapport à la droite. Un signe négatif signifie que la valeur de la fonction est inférieure à celle de la droite, donc que la courbe est au-dessous.

Explication

La continuité exige que la fonction soit définie en $x_0$ et que sa limite en ce point coïncide avec sa valeur. L’existence d’une limite ne suffit pas si elle n’est pas égale à $f(x_0)$.

Explication

La continuité à gauche compare la limite obtenue lorsque $x$ tend vers $x_0$ par des valeurs inférieures à $f(x_0)$. La limite à droite correspond, elle, à $x\to x_0^+$.

Explication

La continuité en un point équivaut à la continuité à gauche et à droite en ce point. Ces deux limites égales à $f(x_0)$ établissent donc la continuité, sans impliquer la dérivabilité.

Explication

Une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition, qui exclut ici les valeurs annulant le dénominateur. Comme $x-2=0$ pour $x=2$, l’ensemble concerné est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Explication

La continuité requiert à la fois l’existence de $f(x_0)$ et l’égalité $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$. Une limite peut exister alors que la fonction n’est pas définie au point considéré.

Explication

Pour $x\ne1$, on a $f(x)=x+1$, donc $\lim_{x\to1}f(x)=2$. Le prolongement par continuité ajoute précisément cette valeur en $x=1$ au lieu de modifier le domaine par restriction.

Explication

La dérivabilité impose l’existence d’une limite réelle du taux de variation, et cette limite est le nombre dérivé $f'(x_0)$. Une limite infinie ne fournit pas un nombre dérivé réel.

Explication

La tangente a pour pente le nombre dérivé $f'(x_0)$ et passe par le point $\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$. La valeur $f(x_0)$ représente l’ordonnée du point, mais ne constitue pas la pente.

Explication

La dérivabilité en chaque point entraîne la continuité en chacun de ces points, donc la continuité sur l’intervalle. Elle n’impose ni une forme affine ni une dérivée constante.

Explication

Le théorème des accroissements finis garantit un point intérieur où le taux de variation global égale la dérivée locale, soit $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$. Le point $c$ n’est pas imposé comme une extrémité et l’égalité ne vaut pas pour tout point.

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en $x$ et en $-x$, ce qui entraîne une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. La relation avec un signe moins caractérise au contraire une fonction impaire, associée à une symétrie centrale par rapport à l’origine.

Explication

La relation $f(-x)=-f(x)$ signifie que les points associés par changement simultané des signes de leurs coordonnées appartiennent à la courbe, d’où une symétrie par rapport à l’origine. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées correspond à une fonction paire.

Explication

Dans $f(x-a)+b$, la courbe est translatée du vecteur $a\vec i+b\vec j$ ; ici, $a=3$ et $b=2$. Le signe moins à l’intérieur de l’argument provoque donc un déplacement horizontal vers la droite.

Explication

Le raisonnement par récurrence commence par l’initialisation, se poursuit par l’hypothèse de récurrence au rang $k$, puis établit l’hérédité vers le rang $k+1$. Les autres enchaînements ne fournissent pas le mécanisme logique requis.

Explication

Une suite bornée possède à la fois une borne inférieure et une borne supérieure, ce qui s’écrit $m\le u_n\le M$. Une suite majorée ne dispose que d’une borne supérieure, tandis qu’une suite minorée ne dispose que d’une borne inférieure.

Explication

Une suite croissante et majorée converge vers une limite finie. La minoration est la condition adaptée à une suite décroissante ; la positivité du premier terme ne suffit pas à contrôler l’évolution de la suite.

Explication

Pour une suite arithmétique, on ajoute la raison $r$ à chaque rang, donc $u_n=u_0+nr=5+3n$. L’expression comportant une puissance correspondrait à une suite géométrique, et les deux autres formules utilisent incorrectement le premier terme et la raison.

Explication

La fonction exponentielle est définie pour tout réel, alors que $\ln(x)$ n’existe que lorsque $x>0$. Elles sont réciproques, mais leurs domaines ne coïncident donc pas.

Explication

La soustraction des exposants correspond au quotient des puissances, d’où $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$. Le produit $e^xe^y$ correspond à une addition des exposants, tandis que $(e^x)^y$ donne $e^{xy}$.

Explication

La dérivée d’une exponentielle composée est $u'(x)e^{u(x)}$ ; ici, $u'(x)=6x$, ce qui donne $6xe^{3x^2-1}$. Les autres expressions modifient soit l’exposant, soit la dérivée de la fonction intérieure.

Explication

Une puissance de base comprise entre zéro et un diminue lorsque l’exposant augmente, donc la fonction est strictement décroissante. La croissance stricte correspond au cas d’une base supérieure à un.

Explication

La relation de Chasles décompose l’intégrale sur $[a,c]$ en deux intégrales adjacentes, sur $[a,b]$ et $[b,c]$. Le signe entre les deux contributions est donc une addition, et non une soustraction ou une multiplication.

Explication

L’intégration par parties transforme l’intégrale en un terme de bord $[uv]_a^b$ diminué de l’intégrale $\int_a^b u'v$. Le signe moins et la présence de $u'$ sont essentiels dans cette formule.

Explication

Une équation différentielle cherche une fonction et comporte au moins une dérivée successive de cette fonction. Une équation algébrique porte généralement sur une inconnue numérique et ne fait pas intervenir ses dérivées.

Explication

L’ordre d’une équation différentielle est le plus grand ordre de dérivation présent avec un coefficient non nul, ici la dérivée quatrième. Il ne dépend pas du nombre de dérivées différentes apparaissant dans l’expression.

Explication

La méthode consiste à déterminer une solution particulière, à résoudre ensuite l’équation homogène associée, puis à additionner ces deux composantes. Résoudre l’homogène ne suffit pas à prendre en compte le second membre.

Explication

Une courbe paramétrée associe à chaque paramètre $t$ de l’intervalle $I$ le point de coordonnées $\bigl(f(t),g(t)\bigr)$. Le paramètre commande la position du point, tandis qu’une courbe paramétrée ne se réduit pas nécessairement au graphe d’une fonction de $x$.

Explication

Le point paramétré est défini lorsque ses deux coordonnées existent simultanément, d’où $D=D_x\cap D_y$. La réunion contiendrait des paramètres pour lesquels l’une des coordonnées n’est pas définie.

Explication

Si le vecteur dérivé est non nul, il est colinéaire à la tangente à la courbe au point $M(t_0)$ et fournit donc sa direction. Un vecteur nul ne détermine aucune direction, tandis que son orientation par rapport au vecteur position n’est pas la condition requise.

Explication

Les abscisses restent identiques tandis que les ordonnées sont opposées, ce qui produit une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées nécessiterait des abscisses opposées.

Explication

L’étude complète combine les variations des deux coordonnées dans un tableau commun avec les informations géométriques fournies par les tangentes, les asymptotes et les points remarquables. L’élimination du paramètre peut être utile, mais elle ne remplace pas cette démarche générale.

Explication

La pente de la tangente est le rapport entre la variation de l’ordonnée et celle de l’abscisse, soit $\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$. Le rapport inverse ne décrit pas la pente demandée.

Explication

Un complexe s’écrit $a+ib$ avec des coefficients réels et un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$. Dans cette écriture, $a$ est la partie réelle et $b$ le coefficient de la partie imaginaire.

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe du coefficient imaginaire, d’où $\overline z=a-ib$. Changer le signe de la partie réelle ne correspond pas à la conjugaison.

Explication

Le module se calcule par $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, donc ici $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Le module représente une longueur positive dans le plan complexe, et non une direction angulaire.

Explication

La forme trigonométrique associe le module au facteur $r$ et l’argument aux fonctions $\cos\theta$ et $\sin\theta$. L’écriture avec $e^{i\theta}$ appartient à la forme exponentielle.

Explication

La formule de Moivre multiplie l’argument par l’exposant tout en conservant la structure trigonométrique, ce qui donne $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$. Elle ne consiste pas à multiplier séparément les valeurs du cosinus et du sinus par $n$.

Explication

Chaque racine possède le module $\sqrt[n]{r}$ et un argument de la forme $\frac{\theta+2k\pi}{n}$, avec $n$ valeurs distinctes de $k$. Multiplier le module par $n$ ou par une puissance de $n$ ne correspond pas à l’extraction d’une racine.

Explication

Un discriminant négatif indique que les solutions du trinôme ne sont pas réelles, mais elles existent sous forme de deux nombres complexes conjugués. Une solution double correspond au cas $\Delta=0$.

Explication

La distance entre les deux points est le module de la différence de leurs affixes, soit $|z_B-z_A|$. Le module de la somme, du quotient ou le carré du module ne donne pas directement cette distance.

Explication

Une translation de vecteur d’affixe $b$ ajoute $b$ à l’affixe initiale, ce qui donne $z'=z+b$. La soustraction correspondrait au vecteur opposé, tandis que les deux autres expressions décrivent des opérations différentes.

Explication

L’homothétie multiplie par $k$ le vecteur reliant le centre à l’image, d’où $z'-z_\Omega=k(z-z_\Omega)$. L’expression proposée avec $z'-z$ ne mesure pas le vecteur depuis le centre, et les autres formules ne préservent pas cette structure.

Explication

Une rotation multiplie le vecteur partant du centre par $e^{i\theta}$, donc $z'-z_\Omega=e^{i\theta}(z-z_\Omega)$. Le facteur $\theta$ ne représente pas la rotation complexe, et les autres égalités placent incorrectement le centre ou le point initial.

Explication

Un espace vectoriel réel possède une addition et une multiplication par des scalaires réels satisfaisant les propriétés d’un groupe commutatif et les règles de distributivité. Les vecteurs appartiennent à l’espace, alors que les scalaires utilisés pour les multiplier appartiennent à $\mathbb{R}$.

Explication

Un sous-espace vectoriel est une partie non vide de $E$ stable par addition et par multiplication par un scalaire réel. Il n’a pas besoin de coïncider avec $E$, d’être fini ou de contenir un vecteur non nul particulier.

Explication

Une famille est libre lorsque sa seule combinaison linéaire égale au vecteur nul possède tous ses coefficients nuls. La possibilité d’engendrer tout l’espace caractérise une famille génératrice, tandis que le nombre de vecteurs ne suffit pas à établir la liberté.

Explication

Une famille est génératrice lorsque ses combinaisons linéaires permettent d’obtenir tout vecteur de $E$. L’absence de relation linéaire non triviale correspond à la liberté, et les deux autres propriétés ne définissent pas le caractère générateur.

Explication

Une base réunit les deux propriétés essentielles : elle est libre et génératrice. Une famille génératrice peut être liée, et une famille libre peut ne pas engendrer tout l’espace.

Explication

La liberté de la base garantit l’unicité des coefficients de la combinaison linéaire représentant un vecteur. Si plusieurs écritures distinctes existaient, leur différence fournirait une relation linéaire non triviale entre les vecteurs de la base.