Fiche de révision : Algèbre linéaire et statistique

📋 Plan du Cours

1. Définition et domaine des fonctions
2. Limites et formes indéterminées
3. Branches infinies et asymptotes
4. Continuité sur un intervalle
5. Continuité des fonctions
6. Dérivabilité et accroissements finis
7. Symétries et transformations graphiques
8. Suites numériques et logarithmes
9. Fonction exponentielle et puissances
10. Primitives et intégrales
11. Équations différentielles
12. Courbes paramétrées
13. Étude des courbes paramétrées
14. Fondements des nombres complexes
15. Formes et équations complexes
16. Géométrie complexe et transformations
17. Espaces vectoriels et sous-espaces
18. Familles, bases et supplémentaires

📖 1. Définition et domaine des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction numérique : Fonction définie de ℝ ou d’une partie de ℝ dans ℝ.
• Ensemble de définition : Ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe et qui possèdent une image par f.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction polynôme est définie sur ℝ.

📌 Pour une fonction quotient f(x)=p(x)/q(x), l’existence exige q(x)≠0 ; pour une fonction racine carrée f(x)=√p(x), elle exige p(x)≥0.

Compléments

📌 Pour f(x)=√p(x)/√q(x), l’existence exige p(x)≥0 et q(x)>0.

📌 Les fonctions f(x)=|p(x)|, f(x)=√{|p(x)|} et f(x)=cos(ax+b) ou sin(ax+b) sont définies sur ℝ lorsque les expressions sont celles indiquées dans le cours.

📖 2. Limites et formes indéterminées

📝 Points essentiels

• La limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite en l’infini de son monôme de plus haut degré.

• La limite en l’infini d’une fonction rationnelle est égale à la limite en l’infini du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

• Les formes indéterminées sont $+fty-fty$, $0\times\infty$, $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$.

• Pour lever une forme indéterminée, on utilise notamment la factorisation pour les fonctions polynômes et l’expression conjuguée pour les fonctions irrationnelles.

📐 Formule — Les limites trigonométriques classiques comprennent $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.

📌 Si g(x)≤f(x)≤h(x) sur un intervalle et si g et h tendent vers la même limite l, alors f tend vers l d’après le théorème des gendarmes.

💡 Astuce mémo

Limite directe ≠ forme indéterminée : calculer ou transformer.

📖 3. Branches infinies et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Si f n’est pas définie en x₀ et si f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers x₀, alors la droite x=x₀ est une asymptote verticale à la courbe de f.
• Asymptote horizontale : Si f(x) tend vers a quand x tend vers +∞ ou −∞, alors la droite y=a est une asymptote horizontale à la courbe de f.
• Asymptote oblique : La droite y=ax+b est une asymptote oblique si $\lim_{x\to\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ avec a≠0.
• Direction asymptotique : Si f(x) tend vers l’infini, f(x)/x tend vers a≠0 et f(x)−ax tend vers l’infini, alors y=ax est une direction asymptotique de la courbe.

📝 Points essentiels

📌 Pour situer la courbe par rapport à la droite y=ax+b, on étudie le signe de f(x)−(ax+b) : un signe négatif place la courbe au-dessous, un signe positif au-dessus et un signe nul la rend confondue avec la droite.

💡 Astuce mémo

Limite infinie ou finie → asymptote verticale, horizontale ou oblique.

📖 4. Continuité sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Si elle est définie en x₀ et si $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.
• Continuité sur un intervalle : Fonction continue en tout point de I.

★ À maîtriser

• La continuité à gauche en x₀ vérifie $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$, tandis que la continuité à droite vérifie $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$.

• Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en x₀.

• Toute fonction polynôme est continue sur ℝ, toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition et toute fonction irrationnelle est continue sur son ensemble de définition.

Compléments

📌 La somme, le produit et le produit par un réel de deux fonctions continues en x₀ sont continus en x₀, et le quotient ainsi que l’inverse sont continus si le dénominateur ou la fonction ne s’annule pas en x₀.

💡 Astuce mémo

Continuité à gauche et à droite réunies → continuité au point.

📖 5. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f définie en x₀ est continue en x₀ si et seulement si $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

📝 Points essentiels

• Le prolongement par continuité en x₀ d’une fonction f non définie en x₀ consiste à poser $g(x)=f(x)$ pour x≠x₀ et $g(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)$ lorsque cette limite est réelle.

💡 Astuce mémo

Limites égales à la valeur → continuité

📖 6. Dérivabilité et accroissements finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Une fonction f est dérivable en x₀ si la limite $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a$ existe et est réelle; cette limite est le nombre dérivé $f'(x_0)=a$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ est $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

📌 Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

📐 Formule — Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c∈]a,b[ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

Compléments

📐 Formule — Si $m\le f'(x)\le M$ sur [a,b], alors $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$.

💡 Astuce mémo

Taux de variation → tangente → accroissements finis

📖 7. Symétries et transformations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son domaine contient x et −x et si $f(-x)=f(x)$ pour tout x; sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son domaine contient x et −x et si $f(-x)=-f(x)$ pour tout x; sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

★ À maîtriser

📌 La courbe de la fonction $g(x)=f(x-a)+b$ est l’image de celle de f par la translation de vecteur $a\vec i+b\vec j$.

Compléments

📌 La courbe de la fonction g définie par $g(x)=-f(x)$ est le symétrique de celle de f par rapport à l’axe des abscisses.

📌 Pour une fonction périodique de période T, l’étude peut être limitée à un intervalle de longueur T, puis la courbe est complétée par translations successives de vecteurs $T\vec i$ et $-T\vec i$.

💡 Astuce mémo

f(-x) agit sur l’axe vertical, -f(x) sur l’axe horizontal

📖 8. Suites numériques et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite bornée : Une suite est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire lorsqu’il existe m et M tels que $m\le u_n\le M$ pour tout n.
• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la primitive de x↦1/x sur R⁺* qui s’annule en 1; il vérifie $\ln 1=0$ et $\ln'(x)=\frac1x$.

📝 Points essentiels

• Une démonstration par récurrence établit une propriété en vérifiant le rang initial, en la supposant vraie au rang k, puis en la démontrant au rang k+1.

📌 Toute suite croissante et majorée est convergente, et toute suite décroissante et minorée est convergente.

📐 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, le terme général est $u_n=u_0+nr$ et la somme des n+1 premiers termes est $S_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, le terme général est $u_n=u_0q^n$ et, si q≠1, $S_n=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$.

📐 Formule — Pour a>0 et b>0, le logarithme vérifie $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^\alpha)=\alpha\ln a$.

📖 9. Fonction exponentielle et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La bijection réciproque de la fonction logarithme népérien, notée exp, et vérifie exp(x)=e^x pour tout réel x.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^{x+y}=e^x e^y$, $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$, $e^{xy}=(e^x)^y$ et $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$.

📐 Formule — La dérivée de l'exponentielle composée est donnée par $(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}$.

📌 Pour une base réelle a strictement positive, la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante si 0<a<1 et strictement croissante si a>1.

📌 Pour un réel α, la fonction puissance $x\mapsto x^α$ est strictement croissante sur R_+^* si α>0 et strictement décroissante si α<0.

💡 Astuce mémo

Base a : croissante si a>1, décroissante si 0<a<1

📖 10. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction définie sur I telle que F'(x)=f(x) pour tout x de I.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si F est une primitive de f sur I, alors $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)=[F(t)]_a^b$.

📐 Formule — La relation de Chasles donne $\int_a^c f(t)\,dt=\int_a^b f(t)\,dt+\int_b^c f(t)\,dt$.

📐 Formule — La valeur moyenne de f sur [a;b], avec a≠b, est $\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$.

📐 Formule — L'intégration par parties vérifie $\int_a^b u(t)v'(t)\,dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Primitive connue → intégrale calculée par différence des valeurs

📖 11. Équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une équation dont l'inconnue est une fonction et dans laquelle figure au moins une dérivée successive de cette fonction.

📝 Points essentiels

📌 L'ordre d'une équation différentielle est le plus grand ordre de dérivation de la fonction inconnue dont le coefficient est non nul.

📐 Formule — La solution générale de $y'=f(x)$ est $y=F(x)+c$, où F est une primitive de f et c est un réel.

📐 Formule — La solution générale de $ay'+by=0$, avec a≠0, est $y=\lambda e^{-\frac{b}{a}x}$, où λ∈R.

📐 Formule — Pour $ay''+by'+cy=0$, l'équation caractéristique est $ar^2+br+c=0$, de discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

• Pour résoudre une équation différentielle avec second membre, on détermine une solution particulière, on résout l'équation homogène associée, puis on additionne les deux solutions.

💡 Astuce mémo

Homogène → particulière → solution générale

📖 12. Courbes paramétrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe paramétrée : L'ensemble des points M(t) dont les coordonnées sont données par x=f(t) et y=g(t), lorsque t appartient à un intervalle I.
• Fonction vectorielle : La fonction vectorielle associée à une courbe paramétrée est définie par $\vec F(t)=\overrightarrow{OM(t)}=f(t)\vec i+g(t)\vec j$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le domaine de définition d'une courbe paramétrée est l'intersection des domaines de définition des fonctions x(t) et y(t), soit $D=D_x\cap D_y$.

📌 Au point M(t0), si le vecteur dérivé f'(t0)\vec i+g'(t0)\vec j est non nul, la tangente à la courbe paramétrée lui est colinéaire.

Compléments

📐 Formule — Si les fonctions x(t) et y(t) sont périodiques de périodes T1 et T2, une période commune peut être recherchée comme $T=\operatorname{PPCM}(T_1,T_2)$.

💡 Astuce mémo

Un point M(t) se déplace : ses coordonnées x(t) et y(t) dessinent la trajectoire

📖 13. Étude des courbes paramétrées

★ À maîtriser

📌 Si x(-t)=x(t) et y(-t)=y(t), alors les points M(-t) et M(t) sont confondus, tandis que si x(-t)=x(t) et y(-t)=-y(t), ils sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

• Pour étudier une courbe paramétrée, on étudie les variations de x(t) et y(t), on regroupe les résultats dans un tableau commun, puis on utilise les tangentes, les asymptotes et les points remarquables pour construire le tracé.

📐 Formule — Pour une courbe paramétrée régulière, la pente de la tangente est donnée par $\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ lorsque $x'(t_0)\neq 0$.

Compléments

📌 Si x(t) tend vers α et y(t) tend vers l’infini, alors la droite x=α est une asymptote verticale ; si x(t) tend vers l’infini et y(t) tend vers β, alors la droite y=β est une asymptote horizontale.

💡 Astuce mémo

Symétries → variations → tangentes → branches infinies → tracé

📖 14. Fondements des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Expression de la forme a+ib, où a et b sont réels et où i vérifie i^2=-1.
• Conjugué : Nombre complexe z̄=a-ib.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour z=a+ib, son module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et vérifie $|z|=OM$ dans le plan complexe.

Compléments

📐 Formule — Pour deux nombres complexes z1 et z2, on a $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ et, si z2≠0, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$.

💡 Astuce mémo

Partie réelle a ↔ partie imaginaire b

📖 15. Formes et équations complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ s’écrit sous forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La relation entre les formes exponentielle et trigonométrique est $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.

📐 Formule — La formule de Moivre est $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ pour tout entier relatif n.

• Pour déterminer les racines n-ièmes de Z=r(\cos\theta+i\sin\theta), on prend le module n√r et les arguments (θ+2kπ)/n pour k de 0 à n-1.

📌 Pour az^2+bz+c=0 à coefficients réels avec a≠0, le discriminant est Δ=b^2-4ac et donne deux solutions réelles si Δ>0, deux solutions complexes si Δ<0 et une solution double si Δ=0.

💡 Astuce mémo

Algébrique → trigonométrique → exponentielle → polaire

📖 16. Géométrie complexe et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Une translation de vecteur d’affixe b transforme l’affixe z en $z'=z+b$.
• Homothétie : Une homothétie de centre d’affixe zΩ et de rapport réel k transforme z selon $z'-z_Ω=k(z-z_Ω)$.
• Rotation : Une rotation de centre d’affixe zΩ et d’angle θ transforme z selon $z'-z_Ω=e^{i\theta}(z-z_Ω)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La distance entre deux points d’affixes zA et zB est $AB=|z_B-z_A|$.

Compléments

📐 Formule — L’affixe du milieu I de [AB] est $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$ et l’affixe du centre de gravité G de ABC est $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$.

💡 Astuce mémo

Module → distances ; argument → angles

📖 17. Espaces vectoriels et sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par les scalaires réels satisfaisant les propriétés d’un groupe commutatif et les règles de distributivité.
• Sous-espace vectoriel : Partie non vide stable par addition et par multiplication par un scalaire réel.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme de deux sous-espaces F et G est $F+G=\{u+v\mid u\in F,\ v\in G\}$.

💡 Astuce mémo

Libre + génératrice → base → dimension

📖 18. Familles, bases et supplémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Famille pour laquelle toute combinaison linéaire nulle impose que tous les coefficients soient nuls.
• Famille génératrice : Famille telle que tout vecteur de E est une combinaison linéaire de ses vecteurs.
• Base : Famille à la fois libre et génératrice.
• Dimension : Nombre de vecteurs contenus dans une base de cet espace.
• Sous-espaces supplémentaires : Deux sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans E lorsque F + G = E et F ∩ G = {0E}.
• Application linéaire : une application f de E dans F est linéaire si elle vérifie f(u+v)=f(u)+f(v) et f(λu)=λf(u)
• Matrice d’une application linéaire : La matrice d’une application linéaire dans une base a pour colonnes les coordonnées des images successives des vecteurs de cette base.
• Noyau d’une application linéaire : l’ensemble des vecteurs de E dont l’image par f est le vecteur nul de F, soit Ker(f)={u∈E∣f(u)=0F}
• Image d’une application linéaire : l’ensemble des vecteurs de F qui possèdent au moins un antécédent dans E

📝 Points essentiels

• Tout vecteur d’un espace vectoriel possède une écriture unique comme combinaison linéaire des vecteurs d’une base.

• Si le déterminant d’une famille de vecteurs est non nul, cette famille est une base.

• Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille libre a au plus n éléments, et toute famille génératrice ayant n éléments est une base.

• Un homomorphisme est une application linéaire, un isomorphisme est une application linéaire bijective, un endomorphisme est une application linéaire de E dans E, et un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

• La matrice d’un endomorphisme est carrée, et l’endomorphisme est bijectif si et seulement si le déterminant de sa matrice est non nul.

📐 Formule — Pour une application linéaire f de E dans F, la dimension vérifie $\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)=\dim(E)$.

📌 Une projection vectorielle vérifie $f\circ f=f$, tandis qu’une symétrie vectorielle vérifie $f\circ f=\operatorname{Id}_E$.

💡 Astuce mémo

Famille libre : coefficients nuls ; famille liée : relation non triviale

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes

Types de suites usuelles