Fiche de révision : Analyse de la stabilité des systèmes linéaires invariants

📋 Plan du Cours

1. Systèmes linéaires invariants
2. Principe de superposition
3. Solution particulière et homogène
4. Régime permanent et transitoire
5. Fonction de transfert
6. Filtrage numérique Euler
7. Réponse à signal monochromatique
8. Stabilité des systèmes
9. Conditions de stabilité ordre 1
10. Conditions de stabilité ordre 2

📖 1. Systèmes linéaires invariants

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire invariant (SLI) : Système dont la relation entre entrée et sortie est décrite par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, respectant le principe de superposition.
  Exemple : Un système électrique avec une équation différentielle du second ordre.

• Principe de superposition : Dans un système linéaire, la réponse à une combinaison linéaire d’entrées est la combinaison linéaire des réponses individuelles.
  Formel : Si $e_1(t)$ et $e_2(t)$ sont des entrées, alors la sortie pour $a e_1(t) + b e_2(t)$ est $a s_1(t) + b s_2(t)$.

• Réponse particulière (sP(t)) : Solution spécifique à l’équation différentielle correspondant à une entrée donnée, représentant le régime permanent.
  Astuce : Utilisation des nombres complexes pour simplifier la recherche de cette réponse.

• Réponse homogène (sH(t)) : Solution de l’équation homogène associée, représentant le régime transitoire.
  Remarque : Elle disparaît avec le temps si le système est stable.

• Stabilité d’un système : Capacité du système à voir ses réponses transitoires s’atténuer, c’est-à-dire que la solution homogène tend vers zéro lorsque $t \to \infty$.
  Critère : Les parties réelles des racines de l’équation caractéristique doivent être négatives.

📝 Points essentiels

• La relation entrée-sortie d’un système linéaire invariant peut être analysée via une équation différentielle à coefficients constants.
• La solution générale s’écrit comme la somme d’une réponse particulière (régime permanent) et d’une réponse homogène (transitoire).
• La stabilité dépend des coefficients de l’équation différentielle : pour un ordre 1, il faut que le coefficient de la dérivée soit négatif ; pour un ordre 2, les racines de l’équation caractéristique doivent avoir des parties réelles négatives.
• La fonction de transfert $H(p)$ relie la transformée de Laplace de la sortie à celle de l’entrée : $S(p) = H(p) E(p)$.

💡 À retenir

Un système linéaire invariant est stable si ses racines de l’équation caractéristique ont des parties réelles négatives, garantissant que ses réponses transitoires s’atténuent, laissant place à un régime permanent stable.

📖 2. Principe de superposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de superposition : Loi fondamentale en systèmes linéaires qui stipule que la réponse d’un système à une somme d’entrées est égale à la somme des réponses individuelles à chaque entrée.
  Formulation : Si un système est linéaire, alors pour toute entrée $e_1(t)$ et $e_2(t)$, la sortie pour $a e_1(t) + b e_2(t)$ est $a s_1(t) + b s_2(t)$.

• Système linéaire : Système caractérisé par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, où la sortie est proportionnelle à l’entrée et obéit à la propriété d’additivité et d’homogénéité.
  Points essentiels : La réponse à une somme d’entrées est la somme des réponses à chaque entrée séparément.

• Solution particulière : Solution de l’équation différentielle correspondant au régime permanent, souvent trouvée en utilisant la représentation complexe pour les entrées sinusoïdales.
  Points clés : Représente la réponse en régime stable, sans transitoire.

• Solution homogène : Solution de l’équation différentielle sans terme d’entrée, représentant le régime transitoire qui disparaît avec le temps.
  Points clés : Associée aux conditions initiales, elle décroît pour un système stable.

• Stabilité : Propriété d’un système dont la réponse transitoire tend vers zéro avec le temps.
  Critère : Les coefficients de l’équation différentielle doivent avoir des parties réelles négatives pour assurer la stabilité.

📝 Points essentiels

• La superposition permet de décomposer une réponse complexe en réponses simples, facilitant l’analyse et la conception des systèmes linéaires.
• La réponse d’un système à une entrée sinusoïdale est une sinusoïde de même pulsation, modifiée en amplitude et phase par la fonction de transfert.
• La solution générale d’un système différentiel d’ordre 2 est la somme d’une solution particulière (régime permanent) et d’une solution homogène (transitoire).
• La stabilité dépend des coefficients de l’équation différentielle : pour un ordre 1, ils doivent avoir le même signe ; pour un ordre 2, leurs parties réelles doivent être négatives.

💡 À retenir

Le principe de superposition est la clé pour analyser et comprendre le comportement des systèmes linéaires, en permettant de décomposer et de recomposer leurs réponses à différentes entrées. La stabilité garantit que la réponse transitoire disparaît, laissant place au régime permanent.

📖 3. Solution particulière et homogène

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution homogène : La solution de l'équation différentielle sans terme source (e(t) = 0). Elle représente le régime transitoire du système, qui disparaît généralement avec le temps.

• Solution particulière : La solution spécifique d'une équation différentielle avec un terme source (e(t) ≠ 0). Elle correspond au régime permanent du système.

• Principe de superposition : En système linéaire, la solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière. Elle s'applique uniquement aux systèmes linéaires.

• Régime transitoire : La partie de la réponse du système qui disparaît avec le temps, associée à la solution homogène.

• Régime permanent : La réponse stable du système après disparition du transitoire, souvent liée à la solution particulière.

• Stabilité : Capacité d’un système à voir ses réponses transitoires diminuer avec le temps, assurant un comportement stable à long terme.

📝 Points essentiels

• La solution générale d’une équation différentielle est la somme de la solution homogène (transitoire) et de la solution particulière (permanente).
• La solution homogène est liée aux pôles de l’équation caractéristique et détermine la stabilité et la nature transitoire.
• La solution particulière dépend du terme source e(t) et permet de déterminer le régime permanent.
• En régime permanent, on utilise souvent la représentation en complexes pour simplifier le calcul, notamment avec la fonction de transfert H(p).
• La stabilité d’un système d’ordre 1 ou 2 est assurée si les coefficients de l’équation différentielle vérifient certaines conditions (ex. signes négatifs des parties réelles des racines).

💡 À retenir

La réponse d’un système linéaire est la somme d’une partie transitoire (homogène) qui disparaît avec le temps, et d’une partie permanente (particulière) qui définit son comportement stable à long terme. La stabilité dépend des coefficients de l’équation différentielle.

📖 4. Régime permanent et transitoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime permanent : État stable d’un système après la disparition des transitoires, caractérisé par une réponse constante ou périodique à une excitation donnée. La solution particulière s’impose, et la réponse ne varie plus avec le temps.

• Régime transitoire : Partie de la réponse d’un système qui apparaît au début de la mise en marche ou d’un changement d’état, avant d’atteindre le régime permanent. Il est associé aux solutions de l’éq. homogène et disparaît avec le temps.

• Solution particulière : Solution de l’équation différentielle correspondant au régime permanent, souvent trouvée en utilisant la représentation complexe pour les excitations sinusoïdales ou périodiques.

• Solution homogène : Partie de la solution liée aux transitoires, correspondant à l’équation sans terme d’excitation. Elle tend vers zéro dans un système stable.

• Stabilité : Capacité d’un système à voir ses réponses transitoires s’atténuer avec le temps, assurant ainsi le maintien d’un régime stable. Vérifiée par la négativité des parties réelles des racines de l’éq. caractéristique.

📝 Points essentiels

• La réponse totale d’un système est la somme de la solution particulière (régime permanent) et de la solution homogène (transitoire).
• La solution particulière est souvent déterminée en utilisant la représentation complexe, notamment pour les excitations sinusoïdales.
• La stabilité d’un système d’ordre 1 ou 2 dépend des coefficients de l’éq. différentielle : ils doivent avoir des signes favorables (par exemple, parties réelles négatives pour les racines).
• En régime permanent, la réponse est généralement périodique si l’excitation l’est, et la phase entre entrée et sortie est donnée par l’argument de la fonction de transfert.

💡 À retenir

Le régime permanent correspond à l’état stable d’un système après l’atténuation des transitoires, qui disparaissent si le système est stable ; la compréhension de cette distinction est essentielle pour analyser la réponse en fréquence et la stabilité des systèmes linéaires.

📖 5. Fonction de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert (H(p)) : Représentation mathématique d’un système linéaire invariant dans le domaine fréquentiel, exprimée par le rapport entre la transformée de Laplace de la sortie et celle de l’entrée en régime permanent.
  Exemple : $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$

• Réponse en fréquence : Comportement d’un système lorsqu’il est soumis à une excitation sinusoïdale, caractérisé par l’amplitude et la phase de la sortie en fonction de la pulsation $\omega$.
  En régime permanent : $s(t) = |H(j\omega)| e^{j(\omega t + \arg H(j\omega))}$

• Stabilité du système : Capacité d’un système à voir ses réponses transitoires s’atténuer avec le temps, ce qui se traduit par des pôles de la fonction de transfert dont les parties réelles sont négatives.
  Critère : Tous les pôles doivent avoir une partie réelle négative.

• Réponse à un signal monochromatique : Réaction d’un système à une entrée sinusoïdale, où la sortie est également sinusoïdale de même fréquence, modifiée en amplitude et phase par la fonction de transfert.
  Formule : $s(t) = |H(j\omega)| e^{j(\omega t + \arg H(j\omega))}$

• Transformation entre domaine temporel et domaine fréquentiel : Passage de l’équation différentielle dans le domaine temporel à la fonction de transfert dans le domaine fréquentiel via la transformée de Laplace.
  Relation : $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert permet d’analyser la réponse d’un système à différentes entrées sinusoïdales en déterminant l’amplitude et la phase en fonction de la fréquence.
• La stabilité est assurée si tous les pôles de $H(p)$ ont des parties réelles négatives, garantissant l’atténuation des réponses transitoires.
• La réponse en fréquence d’un système est donnée par $H(j\omega)$, qui indique comment le système modifie amplitude et phase selon la pulsation $\omega$.
• La décomposition en série de Fourier permet d’étudier la réponse à des signaux périodiques complexes en sommant leurs composantes sinusoïdales.
• La réponse à un signal monochromatique est obtenue en évaluant $H(j\omega)$, en tenant compte de l’amplitude $|H(j\omega)|$ et de la phase $\arg H(j\omega)$.

💡 À retenir

La fonction de transfert est l’outil clé pour analyser la stabilité et la réponse fréquentielle d’un système linéaire invariant, permettant de prévoir son comportement face à divers signaux sinusoïdaux.

📖 6. Filtrage numérique Euler

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtrage numérique Euler : Méthode d'intégration numérique utilisée pour approximer la solution d'une équation différentielle en utilisant la méthode d'Euler, notamment pour des systèmes linéaires du premier ordre. Elle consiste à mettre à jour la valeur de la sortie à chaque pas de temps en utilisant la dérivée à l'instant précédent.

• Equation différentielle du premier ordre : Équation de la forme $\frac{dy}{dt} = a y + b e(t)$, où $y(t)$ est la sortie, $e(t)$ l'entrée, et $a, b$ des coefficients constants. Elle modélise la dynamique du système.

• Méthode d'Euler explicite : Technique numérique pour résoudre une équation différentielle en approchant la solution à chaque pas de temps $\delta t$ par la formule $y_{i+1} = y_i + \delta t \cdot f(t_i, y_i)$, où $f(t, y)$ est la dérivée de $y$.

• Fonction de transfert $H(p)$ : Fonction qui relie l'entrée et la sortie en domaine fréquentiel, souvent exprimée en fonction de la variable complexe $p = j \omega$ pour analyser la réponse en fréquence d’un filtre.

• Stabilité du filtrage numérique : Capacité du procédé à produire une solution stable, c’est-à-dire que la solution transitoire tend vers zéro ou reste bornée. Elle dépend des coefficients du système et du pas de temps $\delta t$.

📝 Points essentiels

• La méthode d'Euler permet de discrétiser une équation différentielle du premier ordre en utilisant la formule $y_{i+1} = y_i + \delta t \cdot (a y_i + b e(t_i))$, où $y_i$ est la valeur à l'instant $t_i$.

• La stabilité du filtrage numérique Euler dépend du choix du pas de temps $\delta t$. Pour un système stable, il faut que $\delta t$ soit suffisamment petit pour éviter l'instabilité numérique.

• La fonction de transfert $H(p)$ permet d'analyser la réponse en fréquence du filtre numérique, notamment pour des signaux sinusoïdaux. En régime permanent, la sortie en fréquence est donnée par $s(\omega) = H(j \omega) e(\omega)$.

• La réponse d’un filtre numérique à un signal périodique peut être décomposée en série de Fourier, permettant d’étudier la réponse en fréquence pour chaque harmonique.

• La stabilité d’un système d’ordre 1 ou 2 est assurée si les coefficients du dénominateur de $H(p)$ ont des signes négatifs, garantissant que la partie réelle des solutions de l’équation homogène est négative.

💡 À retenir

La méthode d'Euler permet une approximation simple et efficace pour le filtrage numérique, mais sa stabilité exige un choix judicieux du pas de temps. La réponse en fréquence d’un filtre numérique peut être analysée via sa fonction de transfert, essentielle pour comprendre son comportement sur des signaux périodiques.

📖 7. Réponse à signal monochromatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal monochromatique : Signal sinusoïdal de fréquence unique, généralement noté $e(t) = e_0 \cos(\omega t + \varphi)$. Exemple : une onde pure en acoustique ou en électronique.

• Réponse en régime permanent : Comportement stable d’un système après transitoire, lorsque la sortie est également sinusoïdale de même fréquence que l’entrée, mais avec une amplitude modifiée et un déphasage.

• Fonction de transfert $H(j\omega)$ : Fonction complexe décrivant la relation entre l’entrée et la sortie en fréquence. Elle s’écrit $H(j\omega) = |H(j\omega)| e^{j \arg H(j\omega)}$, où $|H(j\omega)|$ est le gain et $\arg H(j\omega)$ le déphasage.

• Réponse à un signal sinusoïdal : La sortie d’un système à une entrée monochromatique est donnée par $s(t) = |H(j\omega)| e^{j(\omega t + \varphi + \arg H(j\omega))}$, permettant de connaître amplitude et déphasage.

• Stabilité : Un système est stable si ses solutions transitoires tendent vers zéro, ce qui implique que les pôles de la fonction de transfert ont des parties réelles négatives.

📝 Points essentiels

• La réponse à un signal monochromatique est déterminée par la fonction de transfert $H(j\omega)$. La sortie est une sinusoïde de même fréquence, mais avec une amplitude modifiée ($|H(j\omega)|$) et un déphasage ($\arg H(j\omega)$).

• La réponse en régime permanent s’obtient en utilisant la représentation complexe : $s(t) = \Re \left\{ |H(j\omega)| e^{j(\omega t + \varphi + \arg H(j\omega))} \right\}$.

• La stabilité du système dépend des pôles de la fonction de transfert : si tous ont des parties réelles négatives, le système est stable et la réponse transitoire disparaît.

• La décomposition en série de Fourier permet d’étendre cette analyse aux signaux périodiques complexes en somme de sinusoïdes.

💡 À retenir

La réponse à un signal monochromatique est entièrement caractérisée par la fonction de transfert à la fréquence du signal, permettant de connaître l’amplitude et le déphasage de la sortie, sous réserve de la stabilité du système.

📖 8. Stabilité des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système : Capacité d’un système à voir ses réponses transitoires s’atténuer et à atteindre un régime permanent fini ou nul. Un système stable voit ses solutions transitoires (sH(t)) tendre vers zéro dans le temps.

• Solution transitoire : Partie de la réponse d’un système qui disparaît avec le temps, liée aux conditions initiales. Elle est associée à la solution de l’équation homogène.

• Solution particulière : Partie de la réponse correspondant au régime permanent, souvent obtenue par la méthode des complexes ou de Fourier pour un signal d’entrée donné.

• Critère de stabilité (ordre 1) : Un système d’ordre 1 est stable si le coefficient a0 (de l’équation différentielle) est négatif, assurant que la solution s’écrit sous la forme $s(t) = A e^{a_0 t}$ avec $a_0 < 0$.

• Critère de stabilité (ordre 2) : Un système d’ordre 2 est stable si les parties réelles des racines de l’équation caractéristique sont négatives, ce qui revient à ce que tous les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert aient le même signe négatif.

📝 Points essentiels

• La stabilité repose sur l’analyse des racines de l’équation caractéristique ou des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert $H(p)$.

• La réponse transitoire doit tendre vers zéro pour que le système soit considéré comme stable.

• La stabilité d’un système d’ordre 1 dépend uniquement du signe du coefficient $a_0$.

• Pour un système d’ordre 2, la stabilité est assurée si tous les coefficients $a_0, a_1, a_2$ sont négatifs et de même signe.

• La stabilité est souvent vérifiée par le critère de Routh-Hurwitz ou par l’analyse des racines du polynôme caractéristique.

💡 À retenir

Un système est stable si ses solutions transitoires s’atténuent avec le temps, ce qui se traduit par des racines de l’équation caractéristique à parties réelles négatives. La stabilité garantit un régime permanent fini ou nul, essentiel pour le bon fonctionnement des systèmes de contrôle.

📖 9. Conditions de stabilité ordre 1

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système : Capacité d’un système à voir ses réponses transitoires diminuer et tendre vers zéro lorsque le temps tend vers l’infini. Un système stable ne présente pas de réponses oscillatoires ou divergentes à long terme.

• Solution transitoire : Partie de la réponse d’un système qui disparaît avec le temps, généralement liée aux racines de l’équation homogène. Elle est associée aux phénomènes temporaires.

• Solution particulière : Partie de la réponse correspondant au régime permanent, liée à l’entrée du système. Elle ne disparaît pas avec le temps.

• Équation différentielle du premier ordre : Équation reliant la fonction inconnue s(t) et son dérivé ds/dt, généralement de la forme a₁ ds/dt + a₀ s = b e(t). La stabilité dépend des coefficients a₀ et a₁.

• Critère de stabilité pour un système d’ordre 1 : Le système est stable si et seulement si le coefficient a₁ est négatif, c’est-à-dire si la solution transitoire sH(t) = A e^{a₁ t} tend vers zéro.

• Critère de stabilité pour un système d’ordre 2 : La stabilité est assurée si les parties réelles des racines de l’équation caractéristique sont négatives, ce qui revient à vérifier que tous les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert ont le même signe négatif.

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système d’ordre 1 dépend uniquement du signe du coefficient a₁ : si a₁ < 0, le système est stable.
• La solution transitoire sH(t) est généralement de la forme A e^{a₁ t} ; pour qu’elle tende vers zéro, il faut a₁ < 0.
• Pour un système d’ordre 2, la stabilité nécessite que toutes les racines de l’équation caractéristique aient des parties réelles négatives, ce qui est vérifié si tous les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert sont négatifs.
• La stabilité est une propriété liée à la localisation des pôles dans le plan complexe : pôles dans la moitié gauche pour la stabilité.

💡 À retenir

Un système d’ordre 1 ou 2 est stable si ses coefficients (ou racines) garantissent que la réponse transitoire disparaît, ce qui se traduit par des coefficients négatifs dans l’équation caractéristique.

📖 10. Conditions de stabilité ordre 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système : Capacité d’un système à voir ses solutions transitoires s’atténuer à zéro lorsque le temps tend vers l’infini. Un système stable possède une réponse en régime permanent finie et stable.

• Solution transitoire : Partie de la réponse d’un système liée aux conditions initiales, qui disparaît avec le temps dans un système stable.

• Solution particulière : Partie de la réponse correspondant au régime permanent, dépendant de l’entrée, souvent analysée en régime sinusoidal.

• Equation différentielle caractéristique : Équation associée à un système linéaire d’ordre 2, dont les racines déterminent la stabilité.

• Critère de stabilité (ordre 2) : La stabilité est assurée si et seulement si les racines de l’équation caractéristique ont des parties réelles négatives, ce qui revient à vérifier que les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert ont le même signe.

• Coefficients du dénominateur (a0, a1, a2) : Paramètres issus de l’équation différentielle, dont la signe détermine la stabilité du système d’ordre 2.

📝 Points essentiels

• La stabilité d’un système d’ordre 2 dépend des racines de l’équation caractéristique : si elles ont des parties réelles négatives, le système est stable.

• La fonction de transfert H(p) d’un système d’ordre 2 s’écrit généralement sous la forme :
  $H(p) = \frac{b_0 p + b_1}{a_0 p^2 + a_1 p + a_2}$ La stabilité nécessite que tous les pôles (racines du dénominateur) aient des parties réelles négatives.

• La stabilité est vérifiée par le critère de Routh-Hurwitz : tous les coefficients du dénominateur doivent être positifs et en harmonie pour assurer que les racines ont des parties négatives.

• La réponse transitoire s’atténue si et seulement si les racines de l’équation caractéristique ont des parties réelles négatives, ce qui implique que les coefficients du dénominateur soient de même signe.

• La stabilité d’un système d’ordre 2 est garantie si :
  $a_0 > 0, \quad a_1 > 0, \quad a_2 > 0$

💡 À retenir

La stabilité d’un système d’ordre 2 repose sur la position des racines de son équation caractéristique : elles doivent avoir des parties réelles négatives, ce qui se vérifie par le signe des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre réponse particulière et homogène : la première correspond au régime permanent, la seconde au transitoire.
2. Oublier que la stabilité nécessite que les racines de l’équation caractéristique aient des parties réelles négatives.
3. Croire que la réponse transitoire peut durer indéfiniment dans un système stable.
4. Confondre la fonction de transfert $H(p)$ avec la réponse dans le temps.
5. Négliger l’effet des coefficients de l’équation différentielle sur la stabilité, notamment pour les systèmes d’ordre 2.
6. Mal interpréter le principe de superposition en pensant qu’il s’applique à des systèmes non linéaires.
7. Confondre la solution particulière (régime permanent) avec la réponse à une excitation non sinusoïdale.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier si le système est invariant et linéaire.
2. Identifier l’équation différentielle associée au système.
3. Déterminer la solution homogène et ses racines.
4. Calculer la solution particulière en fonction de l’entrée.
5. Analyser la stabilité en vérifiant la partie réelle des racines.
6. Décomposer la réponse en transitoire et permanent.
7. Utiliser la fonction de transfert pour analyser la réponse en fréquence.
8. Appliquer le principe de superposition pour des entrées multiples.
9. Vérifier que la réponse transitoire disparaît dans un système stable.
10. Relier la réponse à la réponse en régime permanent pour l’analyse finale.
11. Vérifier la conformité des coefficients pour la stabilité (ordre 1 ou 2).
12. S’assurer que la réponse en régime permanent correspond à la solution particulière.