Fiche de révision : Analyse des fonctions et séries

📋 Plan du Cours

1. Raisonnements mathématiques
2. Ensembles et relations d’ordre
3. Bornes et propriété de complétude
4. Calcul et structure de ℝ
5. Topologie et droite achevée
6. Suites numériques
7. Fonctions et limites
8. Limites et bornes des fonctions
9. Continuité des fonctions
10. Dérivabilité et théorèmes différentiels
11. Convexité et fonctions réciproques
12. Comparaisons asymptotiques
13. Développements limités
14. Séries numériques
15. Propriétés fondamentales des séries
16. Séries à termes positifs
17. Critères de convergence des séries
18. Intégrale de Riemann

📖 1. Raisonnements mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse.

★ À maîtriser

📌 Pour démontrer une implication P ⇒ Q par contraposée, on démontre l’implication ¬Q ⇒ ¬P.

• Une démonstration par récurrence comporte l’initialisation de P(n₀), l’hérédité de P(n) vers P(n+1), puis la conclusion que P(n) vaut pour tout n ≥ n₀.

Compléments

• Pour démontrer P ⇔ Q, on démontre séparément P ⇒ Q et Q ⇒ P.

• Un raisonnement par l’absurde suppose fausse la proposition à établir et en déduit une contradiction.

💡 Astuce mémo

Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion

📖 2. Ensembles et relations d’ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion et intersection : Pour deux ensembles A et B, la réunion A ∪ B contient les éléments appartenant à A ou à B, tandis que l’intersection A ∩ B contient ceux appartenant à A et à B.
• Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A appartient à B ; si A ⊂ B et B ⊂ A, alors A = B.
• Relation d’ordre : Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
• Ensemble : Collection d’objets appelés ses éléments ; l’ensemble sans élément est l’ensemble vide, noté ∅.
• Ordre total : Une relation d’ordre R sur E est totale si, pour tous x,y ∈ E, on a xRy ou yRx.

💡 Astuce mémo

Réunion : « ou » ; intersection : « et »

📖 3. Bornes et propriété de complétude

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant et minorant : Un majorant M de A vérifie x ≤ M pour tout x ∈ A, tandis qu’un minorant m vérifie m ≤ x pour tout x ∈ A ; A est borné s’il est à la fois majoré et minoré.
• Borne supérieure et borne inférieure : La borne supérieure de A est son plus petit majorant, noté sup(A), et sa borne inférieure est son plus grand minorant, noté inf(A).

★ À maîtriser

📌 Un maximum ou un minimum d’un ensemble appartient à cet ensemble, tandis qu’un supremum ou un infimum peut ne pas lui appartenir.

📌 Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée de ℝ admet une borne inférieure.

Compléments

📌 Toute partie non vide de ℕ admet un plus petit élément, et toute partie non vide et majorée de ℕ admet un plus grand élément.

• Pour A = ]0,1], on a sup(A) = max(A) = 1 et inf(A) = 0, mais A n’a pas de minimum.

📖 4. Calcul et structure de ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue |x| est la distance de 0 à x ; elle vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit $\left(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i\right)^2\leq\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\right)$.

📐 Formule - Pour tous réels x,y, l’inégalité triangulaire donne $|x+y|\leq |x|+|y|$ et l’inégalité triangulaire inverse donne $\bigl||x|-|y|\bigr|\leq |x-y|$.

Compléments

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$, avec $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📐 Formule - Pour x,y réels et n entier naturel non nul, $x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k$.

📌 Pour a ≥ 0, l’inégalité |x| ≤ a équivaut à −a ≤ x ≤ a.

📖 5. Topologie et droite achevée

🔑 Notions clés & Définitions

• Point adhérent : Un réel a est adhérent à E si tout intervalle ouvert contenant a rencontre E ; l’ensemble de ces points est l’adhérence de E, et E est fermé si E est égal à son adhérence.
• Point d’accumulation : Un réel a est un point d’accumulation de E si tout intervalle ouvert contenant a contient un élément de E différent de a.
• Droite numérique achevée : La droite numérique achevée est ℝ ∪ {−∞,+∞}, ordonné en prolongeant l’ordre de ℝ de sorte que −∞ < x < +∞ pour tout x ∈ ℝ.

★ À maîtriser

• L’ensemble ℚ est dense dans ℝ : tout intervalle ouvert de ℝ contient un nombre rationnel.

📌 Toute partie bornée de ℝ ayant une infinité d’éléments admet au moins un point d’accumulation.

Compléments

📌 Dans la droite numérique achevée, (+∞)+(−∞), 0×(+∞) et 0×(−∞) ne sont pas définis.

💡 Astuce mémo

Adhérent : chaque voisinage rencontre E ; accumulation : il le rencontre hors du point

📖 6. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une application u de ℕ dans K, où K = ℝ ou ℂ, et son terme de rang n est noté uₙ.
• Convergence d’une suite : Une suite (uₙ) converge vers ℓ si, pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N implique |uₙ − ℓ| ≤ ε.
• Suite extraite : Une suite (vₙ) est une suite extraite de (uₙ) s’il existe une application strictement croissante φ de ℕ dans ℕ telle que vₙ = uφ(n).

★ À maîtriser

• La limite d’une suite convergente est unique, et toute suite numérique convergente est bornée.

• Toute suite réelle croissante et majorée converge, et toute suite réelle décroissante et minorée converge.

• Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente, et une suite réelle est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

Compléments

📌 Deux suites réelles adjacentes, l’une croissante et l’autre décroissante, vérifiant uₙ ≤ vₙ et vₙ − uₙ → 0, convergent vers la même limite.

💡 Astuce mémo

Croissante et majorée, ou décroissante et minorée, implique convergence

📖 7. Fonctions et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle d’une variable réelle associe à chaque réel x de son domaine D un unique réel f(x), et son graphe est l’ensemble des couples (x,f(x)) pour x ∈ D.
• Fonction bornée : Une fonction f est bornée sur D si elle est à la fois majorée et minorée sur D ; elle est bornée en a si |f(x)| est majoré dans un voisinage de a privé éventuellement de a.
• Limite d’une fonction : Une fonction f définie au voisinage de x₀, éventuellement sauf en x₀, tend vers ℓ en x₀ si, pour tout ε > 0, il existe r > 0 tel que 0 < |x − x₀| < r implique |f(x) − ℓ| < ε.
• Fonction lipschitzienne : Une fonction f sur D est k-lipschitzienne, avec k > 0, si |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| pour tous x,y ∈ D.
• Voisinage : Un voisinage d’un réel x contient un intervalle ouvert centré en x ; un voisinage de +∞ contient un intervalle ]A,+∞[, et un voisinage de −∞ contient un intervalle ]−∞,A[ pour un réel A.

📝 Points essentiels

📌 La limite à gauche en x₀ est définie en imposant x < x₀, tandis que la limite à droite impose x > x₀.

💡 Astuce mémo

Limite à gauche : x < x₀ ; limite à droite : x > x₀

📖 8. Limites et bornes des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : La borne supérieure de f sur D est la borne supérieure de l’ensemble image f(D), lorsque f est majorée.
• Limite d’une fonction : f tend vers ℓ en x₀ si, pour tout voisinage V de ℓ, il existe un voisinage épointé W de x₀ tel que f(x) appartienne à V pour tout x de W.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une limite finie en un point réel, $\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff \forall\varepsilon>0,\exists r>0,\forall x\in D,\ 0<|x-x_0|<r\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon$.

📌 Une limite bilatérale finie en x₀ existe avec valeur ℓ si et seulement si les limites à gauche et à droite en x₀ existent et valent toutes deux ℓ.

• La limite d’une fonction en un point, si elle existe, est unique.

📌 Si f(x)≤g(x)≤h(x) au voisinage épointé de a et si f et h tendent toutes deux vers ℓ en a, alors g tend aussi vers ℓ en a.

Compléments

• La fonction f(x)=1/x est bornée sur [a,+∞[ lorsque a>0, car |f(x)|≤1/a, mais elle n’est pas bornée sur ]0,+∞[.

• La limite de f en a vaut ℓ si et seulement si, pour toute suite xₙ∈D{a} tendant vers a, f(xₙ) tend vers ℓ.

• f admet une limite finie en a si et seulement si, pour tout ε>0, il existe r>0 tel que |f(x₁)−f(x₂)|<ε pour tous x₁,x₂∈]a−r,a+r[{a}.

• Si f tend vers ℓ en a, g tend vers ℓ′ en ℓ et f(x)≠ℓ pour x≠a assez proche de a, alors g(f(x)) tend vers ℓ′ en a.

📖 9. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : f est continue en a si et seulement si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue à l’intérieur et, lorsque les bornes appartiennent à l’intervalle, continue à droite à la borne gauche et à gauche à la borne droite.
• Continuité uniforme : f est uniformément continue sur A si, pour tout ε>0, il existe r>0 tel que pour tous x₁,x₂∈A, |x₁−x₂|<r entraîne |f(x₁)−f(x₂)|<ε.
• Prolongement par continuité : Si f est continue sur I{x₀} et admet en x₀ une limite finie ℓ, son prolongement par continuité sur I est la fonction égale à f hors de x₀ et prenant la valeur ℓ en x₀.

★ À maîtriser

• La somme, le produit et le multiple scalaire de fonctions continues en a sont continus en a ; le quotient f/g l’est aussi si g(a)≠0.

• Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et y atteint son maximum et son minimum.

• Si f est continue sur [a,b], elle prend toute valeur γ comprise entre f(a) et f(b) en au moins un point c∈[a,b].

• Toute fonction continue sur un segment [a,b] est uniformément continue sur [a,b].

Compléments

• La composée g∘f est continue en a si f est continue en a, g est continue en f(a) et l’image de f est incluse dans le domaine de g.

• Si f est continue sur [a,b] et f(a)f(b)<0, il existe c∈]a,b[ tel que f(c)=0.

• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

• Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection de cet intervalle sur son image.

💡 Astuce mémo

Continuité en un point : limite égale à la valeur ; aux bornes, seule la limite du côté de l’intervalle compte.

📖 10. Dérivabilité et théorèmes différentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : f est dérivable en x₀ si la limite finie $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe ; cette limite est f′(x₀).
• Dérivée d’ordre n : La dérivée d’ordre n est définie récursivement par f⁽ⁿ⁾=(f⁽ⁿ⁻¹⁾)′ lorsque ces dérivées existent.
• Classe Cⁿ : f est de classe Cⁿ si elle est n fois dérivable et si sa dérivée d’ordre n est continue ; elle est de classe C∞ si elle est de classe Cⁿ pour tout n.

★ À maîtriser

• Toute fonction dérivable en x₀ est continue en x₀.

• Si f est dérivable et admet un extremum local en x₀, alors f′(x₀)=0.

• Si f est dérivable et croissante sur un intervalle ouvert, alors f′(x)≥0 en tout point ; si elle est décroissante, f′(x)≤0.

📐 Formule - Pour f dérivable en x₀ et g dérivable en f(x₀), $(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)$.

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c∈]a,b[ tel que f′(c)=0.

📐 Formule - Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c∈]a,b[ tel que $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$.

Compléments

📌 f est dérivable en x₀ si et seulement si elle est différentiable en x₀, c’est-à-dire s’écrit f(x)=f(x₀)+A(x−x₀)+(x−x₀)Θ(x), avec Θ(x)→0 et A=f′(x₀).

📐 Formule - Si f est bijective, dérivable en x₀ et f′(x₀)≠0, alors $(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}$.

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f′>0 sur ]a,b[, alors f est strictement croissante sur [a,b].

📐 Formule - Si f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[ et g′ ne s’annule pas sur ]a,b[, il existe c∈]a,b[ tel que $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

📌 Si |f′(x)|≤M sur ]a,b[, alors |f(y)−f(x)|≤M|y−x| pour tous x,y∈]a,b[.

📌 Dans les hypothèses de la règle de l’Hôpital énoncée, si f et g sont dérivables au voisinage de x₀ et f′(x)/g′(x) tend vers ℓ, alors le quotient (f(x)−f(x₀))/(g(x)−g(x₀)) tend vers ℓ.

📐 Formule - Pour deux fonctions n fois dérivables, la formule de Leibniz donne $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.

💡 Astuce mémo

Rolle annule la dérivée ; le TAF relie ensuite dérivée et variation.

📖 11. Convexité et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : f est convexe sur I si, pour tous x,y∈I et t∈[0,1], $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$.
• Fonction concave : f est concave sur I si −f est convexe, équivalemment si, pour tous x,y∈I et t∈[0,1], $f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f convexe, x₁,…,xₙ∈I et λᵢ≥0 tels que $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1$, l’inégalité de Jensen affirme $f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right)\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i)$.

📌 Pour une fonction dérivable sur un intervalle, f est convexe si et seulement si f′ est croissante.

📐 Formule - Pour x∈]−1,1[, $(\arcsin)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arccos)'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Les fonctions hyperboliques vérifient $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\quad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\quad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$.

Compléments

• La fonction f(x)=x² est convexe sur ℝ, car (tx₁+(1−t)x₂)²−[tx₁²+(1−t)x₂²]=−t(1−t)(x₁−x₂)²≤0.

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, f est convexe si et seulement si f″≥0.

• La restriction du sinus à [−π/2,π/2] est une bijection continue de cet intervalle sur [−1,1], dont la réciproque est arcsin.

📐 Formule - Pour tout x∈ℝ, $(\arctan)'(x)=\frac{1}{1+x^2}$ et arctan est la réciproque de la restriction de tan à ]−π/2,π/2[.

• Pour x∈[−1,1], arcsin(x)+arccos(x)=π/2.

• sinh est une bijection de ℝ sur ℝ, cosh restreinte à [0,+∞[ est une bijection sur [1,+∞[, et tanh est une bijection de ℝ sur ]−1,1[.

📐 Formule - Les dérivées des fonctions hyperboliques réciproques sont $(\operatorname{argsh})'(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}},\quad (\operatorname{argch})'(x)=\frac1{\sqrt{x^2-1}},\quad (\operatorname{argth})'(x)=\frac1{1-x^2}$, sur leurs domaines de dérivabilité respectifs.

📐 Formule - Les réciproques hyperboliques ont les expressions $\operatorname{argth}(x)=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right),\quad \operatorname{argsh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\quad \operatorname{argch}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$.

💡 Astuce mémo

Convexe : dérivée croissante ; concave : inégalité renversée.

📖 12. Comparaisons asymptotiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Domination : f est dominée par g au voisinage de a s’il existe M>0 tel que |f(x)|≤M|g(x)| dans un voisinage de a ; on note f=Oₐ(g).
• Négligeabilité : f est négligeable devant g au voisinage de a s’il existe ε(x) tendant vers zéro telle que f(x)=ε(x)g(x) ; on note f=oₐ(g).
• Équivalence : f est équivalente à g au voisinage de a, noté f∼ₐg, si f−g=oₐ(g) ; lorsque g ne s’annule pas près de a, cela équivaut à f(x)/g(x)→1.

★ À maîtriser

• Au voisinage de 0, ex−1∼x, sin x∼x, tan x∼x, sinh x∼x et ln(1+x)∼x.

Compléments

• Au voisinage de 0, x³=o(x²), et au voisinage de +∞, x²=o(x³).

• Pour α,β,γ>0, au voisinage de +∞, (ln x)^α=o(x^β) et x^β=o(e^{γx}).

• Si f∼ₐg et g admet une limite finie ou infinie en a, alors f admet la même limite en a.

• Si f et g sont dérivables en a et f′(a)≠0, alors $f(x)-f(a)\sim_a f'(a)(x-a)$.

💡 Astuce mémo

Grand O contrôle un rapport ; petit o impose un rapport qui tend vers zéro.

📖 13. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : f admet un développement limité d’ordre n en 0 si f(x)=a₀+a₁x+⋯+aₙxⁿ+xⁿε(x), où ε(x) tend vers zéro ; le polynôme est la partie régulière et xⁿε(x) le reste.
• DL en un point : f admet un DL au voisinage de x₀ si F(t)=f(x₀+t) admet un DL au voisinage de 0 ; le polynôme s’écrit alors en puissances de x−x₀.
• DL à l’infini : f admet un DL d’ordre n en +∞ si la fonction F(t)=f(1/t) admet un DL d’ordre n au voisinage de 0.

★ À maîtriser

• Le développement limité d’un ordre donné, s’il existe, est unique.

• f admet un DL₀ en 0 si et seulement si elle est continue en 0, avec f(x)=f(0)+o(1) ; elle admet un DL₁ si et seulement si elle est dérivable en 0, avec f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x).

• Pour additionner ou multiplier des DL d’ordre n, on additionne les parties régulières ou on multiplie les polynômes puis on conserve seulement les degrés ≤n ; on peut aussi multiplier un DL par un scalaire.

• Si u(0)=0 et u et f admettent des DL d’ordre n en 0, le DL de f∘u s’obtient en composant les parties régulières puis en tronquant à l’ordre n.

📐 Formule - Si f est de classe Cⁿ, la formule de Taylor-Young en x₀ est $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+(x-x_0)^n\varepsilon(x)$, où ε(x) tend vers zéro lorsque x tend vers x₀.

Compléments

📌 Si une fonction paire admet un développement limité d’ordre n en 0, sa partie régulière ne contient que des puissances paires ; le résultat analogue vaut pour une fonction impaire.

• Pour obtenir un DL de f à partir d’un DL de f′, on intègre la partie régulière du DL de f′ terme à terme, puis on ajoute la constante f(0) et le reste d’ordre correspondant.

📐 Formule - Les développements usuels au voisinage de 0 comprennent $\frac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+o(x^n),\quad \frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$.

📐 Formule - Les DL usuels au voisinage de 0 sont $\ln(1+x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n),\quad e^x=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$.

📐 Formule - Au voisinage de 0, $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$ et $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$.

📐 Formule - Au voisinage de 0, $\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$ et $\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$.

📌 Si g(0)≠0, le quotient de deux fonctions ayant des DL d’ordre n s’obtient par division suivant les puissances croissantes de leurs parties régulières.

📐 Formule - Pour f de classe Cⁿ⁺¹, la formule de Taylor avec reste intégral est $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,dt$.

💡 Astuce mémo

Partie régulière puis reste négligeable : polynôme, puis o du degré retenu.

📖 14. Séries numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une série numérique de terme général uₙ est associée à la suite de sommes partielles sₙ=u₀+u₁+⋯+uₙ.
• Convergence d’une série : La série ∑uₙ converge si la suite de ses sommes partielles sₙ converge ; la limite de sₙ est la somme de la série.

★ À maîtriser

• Deux séries dont les termes ne diffèrent que sur un nombre fini d’indices sont de même nature, même si leurs sommes peuvent différer.

• Si une série ∑uₙ converge, alors uₙ tend vers zéro ; la réciproque est fausse, comme le montrent ∑1/n et ∑ln(1+1/n).

• La somme de deux séries convergentes est convergente et sa somme est la somme des deux sommes ; multiplier une série convergente par α∈ℝ conserve la convergence et multiplie sa somme par α.

Compléments

• La série géométrique de terme général 2/3ⁿ, pour n≥0, converge et sa somme vaut 3.

• Pour une série convergente de somme s, le reste rₙ=s−sₙ tend vers zéro lorsque n tend vers +∞.

📌 Si le terme général uₙ ne tend pas vers zéro, la série ∑uₙ diverge grossièrement.

📌 Si uₙ=vₙ₊₁−vₙ, alors la série ∑uₙ converge si et seulement si la suite vₙ converge.

💡 Astuce mémo

Termes → sommes partielles → limite : la limite des sommes partielles donne la somme.

📖 15. Propriétés fondamentales des séries

★ À maîtriser

• Deux séries qui ne diffèrent que par un nombre fini de termes sont de même nature, mais leurs sommes peuvent être différentes si elles convergent.

• Si une série converge, son terme général tend vers 0 ; la réciproque est fausse, comme le montrent les séries de termes $\ln(1+1/n)$ et $1/n$, qui divergent.

• La somme de deux séries convergentes est convergente et la multiplication des termes d’une série convergente par un réel conserve la convergence ; leurs sommes sont respectivement la somme des sommes et le produit par ce réel.

Compléments

• Le reste d’ordre n d’une série convergente de somme s est $r_n=s-s_n$ et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

📌 Si $u_n$ ne tend pas vers 0, alors la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.

• Si $u_n=v_{n+1}-v_n$ pour tout n, les sommes partielles de $\sum u_n$ valent $v_{n+1}-v_0$, donc la série converge si et seulement si la suite $(v_n)$ converge.

📌 Si $u_n\to0$ et $v_n=u_{2n}+u_{2n+1}$, alors $\sum u_n$ converge si et seulement si $\sum v_n$ converge.

📖 16. Séries à termes positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Série à termes positifs : Une série est à termes positifs si chacun de ses termes est positif ou nul ; elle est à termes positifs à partir d’un certain rang si cette condition vaut pour tout n supérieur ou égal à un certain entier.

★ À maîtriser

• Pour une série à termes positifs à partir d’un certain rang, la série converge si et seulement si sa suite de sommes partielles est majorée.

• Si, à partir d’un certain rang, $0\leq u_n\leq v_n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

• Si $u_n$ est positif à partir d’un certain rang et si $u_n/v_n\to\ell$ avec $\ell>0$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

• La série de Riemann $\sum_{n\ge1}1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

• La série de Bertrand $\sum_{n\ge2}1/(n^\alpha(\ln n)^\beta)$ converge si et seulement si $\alpha>1$ ou si $\alpha=1$ et $\beta>1$.

Compléments

📌 Deux séries à termes positifs équivalentes lorsque n tend vers l’infini sont de même nature.

📖 17. Critères de convergence des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Une série réelle est absolument convergente lorsque la série des valeurs absolues de ses termes converge ; une série convergente qui n’est pas absolument convergente est dite semi-convergente.

★ À maîtriser

• Toute série absolument convergente est convergente.

• Pour le critère de D’Alembert, si $|u_{n+1}/u_n|\to\ell<1$, la série converge, et si $\ell>1$, elle diverge ; si $\ell=1$, le critère ne permet pas de conclure.

• Pour le critère de Cauchy appliqué aux séries, si $|u_n|^{1/n}\to\ell<1$, la série converge, et si $\ell>1$, elle diverge.

• Le théorème de Dirichlet garantit la convergence de $\sum\alpha_nU_n$ si les sommes partielles de $(\alpha_n)$ sont uniformément bornées et si $(U_n)$ est décroissante vers 0.

• Une série alternée $\sum(-1)^na_n$ converge si $a_n>0$, si $(a_n)$ est décroissante et si $a_n\to0$.

Compléments

📌 Le critère d’Abel garantit la convergence de $\sum\alpha_nU_n$ si les sommes partielles de $(\alpha_n)$ sont uniformément bornées, si $U_n\to0$ et si $\sum|U_{n+1}-U_n|$ converge.

📖 18. Intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Subdivision : Une subdivision de $[a,b]$ est une suite finie strictement croissante $a_0,\ldots,a_n$ telle que $a_0=a$ et $a_n=b$ ; elle est régulière si chaque pas vaut $(b-a)/n$.
• Fonction en escalier : Une fonction est en escalier sur $[a,b]$ s’il existe une subdivision sur laquelle elle est constante sur chaque intervalle ouvert entre deux points consécutifs.
• Intégrale d’une fonction en escalier : Pour une fonction en escalier de valeur $\lambda_i$ sur chaque intervalle $]a_{i-1},a_i[$, son intégrale sur $[a,b]$ est $\sum_{i=1}^n\lambda_i(a_i-a_{i-1})$ et ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.
• Intégrabilité de Riemann : Une fonction bornée est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ si la borne supérieure des intégrales des fonctions en escalier inférieures égale la borne inférieure de celles des fonctions en escalier supérieures.
• Primitive : Une primitive de $f$ sur un intervalle est une fonction dérivable $F$ telle que $F'=f$, avec les dérivées unilatérales correspondantes aux bornes lorsqu’elles appartiennent à l’intervalle.

📝 Points essentiels

📌 Sur chaque intervalle d’une subdivision, la somme de Darboux inférieure utilise l’infimum de la fonction et la somme supérieure utilise son supremum ; la somme inférieure est au plus égale à la somme supérieure.

📌 Toute fonction monotone sur un segment et toute fonction continue sur un segment sont intégrables au sens de Riemann.

• Pour une fonction continue sur $[a,b]$, les sommes de Riemann $\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)$ convergent vers son intégrale lorsque chaque $x_i$ appartient au iᵉ intervalle d’une subdivision régulière.

• L’intégrale vérifie la relation de Chasles $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$ pour $a\leq c\leq b$ ; en particulier, $\int_a^a f=0$ et l’inversion des bornes change le signe.

• Pour des fonctions intégrables, l’intégrale est linéaire : $\int_a^b(f+g)=\int_a^bf+\int_a^bg$ et $\int_a^b\lambda f=\lambda\int_a^bf$.

• Pour une fonction intégrable bornée sur un segment non réduit, sa valeur moyenne est comprise entre son infimum et son supremum sur ce segment.

• L’inégalité triangulaire pour les intégrales est $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\leq\int_a^b|f(x)|\,dx$.

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle, toute autre primitive de $f$ s’écrit $F+c$ avec une constante réelle $c$.

• Si $f$ est continue et $F(x)=\int_c^x f(t)\,dt$, alors $F$ est une primitive de $f$ et $\int_u^v f(t)\,dt=F(v)-F(u)$.

📐 Formule - Pour une substitution $x=\varphi(t)$ de classe $C^1$, $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx$.

📐 Formule - La formule d’intégration par parties est $\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$.