Fiche de révision : Matrices et espaces vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et opérations fondamentales
2. Applications et propriétés
3. Dénombrabilité et équipotence
4. Relations d’équivalence et d’ordre
5. Vecteurs réels et complexes
6. Matrices et systèmes linéaires
7. Matrices et opérations fondamentales
8. Inversibilité et indépendance linéaire
9. Transposée et classes de matrices
10. Élimination de Gauss et factorisation LU
11. Espaces vectoriels et sous-espaces
12. Générateurs et espaces associés
13. Bases et dimension des espaces vectoriels
14. Déterminants et inversibilité
15. Groupes, sous-groupes et cyclicité
16. Homomorphismes et groupes quotients
17. Quotients et groupes cycliques
18. Permutations et groupe alterné

📖 1. Ensembles et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets mathématiques réunis selon une propriété permettant de déterminer si un objet lui appartient.
• Complémentaire : L’ensemble des éléments de B qui n’appartiennent pas à A, lorsque A est inclus dans B.
• Produit cartésien : Ensemble des couples (a,b) tels que a appartient à A et b appartient à B.

📝 Points essentiels

📌 Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l’autre ; l’ordre des éléments et leurs répétitions ne changent pas l’ensemble.

• Si un ensemble E possède exactement n éléments, son ensemble des parties P(E) possède exactement $2^n$ éléments.

• L’intersection A ∩ B contient les éléments communs à A et B, tandis que leur union A ∪ B contient les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles.

📖 2. Applications et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Correspondance qui associe à chaque élément x de E un unique élément f(x) de F.
• Composition : Si f va de E dans F et g de F dans G, leur composée g ∘ f envoie x sur g(f(x)).

📝 Points essentiels

• L’image f(A) est l’ensemble des images des éléments de A, tandis que l’image réciproque f⁻¹(B) contient les éléments de E dont l’image appartient à B.

• Une application est injective si deux éléments ayant la même image sont égaux, surjective si chaque élément du codomaine a un antécédent, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.

• Une application f:E→F est bijective si et seulement s’il existe g:F→E telle que g∘f=IdE et f∘g=IdF ; cette application g est alors unique et s’appelle l’inverse de f.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un

📖 3. Dénombrabilité et équipotence

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble dénombrable : Un ensemble est dénombrable s’il existe une injection de cet ensemble dans ℕ.
• Équipotence : Deux ensembles entre lesquels il existe une bijection.

★ À maîtriser

• Un ensemble dénombrable infini est en bijection avec ℕ.

• L’ensemble des nombres réels ℝ n’est pas dénombrable, et l’ensemble des nombres irrationnels ne l’est pas non plus. - Cantor

• Le théorème de Cantor-Bernstein affirme que deux ensembles sont équipotents si chacun est équipotent à un sous-ensemble de l’autre.

• Pour tout ensemble E, E et son ensemble des parties P(E) ne sont pas équipotents. - Cantor

Compléments

• Le texte rapporte qu’en 1963 Cohen a démontré que l’hypothèse du continu et sa négation ne sont démontrables ni l’une ni l’autre à partir des axiomes mentionnés.

💡 Astuce mémo

Injection dans ℕ → ensemble dénombrable

📖 4. Relations d’équivalence et d’ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation binaire : Partie de E × E ; xRy signifie que le couple (x,y) appartient à cette partie.
• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive.
• Relation d’ordre : Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive ; elle est totale si chaque paire d’éléments est comparable, et partielle sinon.
• Ensemble quotient : Ensemble des classes d’équivalence de E pour la relation R.

★ À maîtriser

📌 La classe de a dans ℤ/nℤ est inversible si et seulement si pgcd(a,n)=1 ; son inverse peut être trouvé par l’algorithme d’Euclide étendu.

• Les classes d’une relation d’équivalence forment une partition de l’ensemble, et toute partition définit réciproquement une relation d’équivalence.

• Pour n entier naturel non nul, a et b sont congrus modulo n si et seulement si n divise a−b ; les classes de ℤ/nℤ sont représentées par 0,1,…,n−1.

Compléments

📌 Un majorant de A est un élément M tel que tout x de A vérifie x≤M, tandis qu’un maximum est un majorant qui appartient à A.

💡 Astuce mémo

Équivalence : réflexive, symétrique, transitive ; ordre : réflexif, antisymétrique, transitif

📖 5. Vecteurs réels et complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de ℝⁿ : n-uplet ordonné de réels dont les coordonnées sont ses composantes.
• Produit scalaire complexe : Pour z,ω∈ℂⁿ, le produit scalaire est défini par $z\cdot\omega=\overline{z_1}\omega_1+\cdots+\overline{z_n}\omega_n$ et la norme par $\|z\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|z_i|^2}.$

📝 Points essentiels

• L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne $|u\cdot v|\leq\|u\|\|v\|$ pour tous u,v de ℝⁿ.

📐 Formule - Pour u=(u₁,…,uₙ) et v=(v₁,…,vₙ), l’addition et la multiplication scalaire sont définies composante par composante : $u+v=(u_1+v_1,\ldots,u_n+v_n),\quad ku=(ku_1,\ldots,ku_n).$

📐 Formule - Le produit scalaire réel est $u\cdot v=\sum_{i=1}^{n}u_iv_i$ et deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule - La norme et la distance euclidiennes sont $\|u\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}u_i^2},\quad d(u,v)=\|u-v\|.$

📖 6. Matrices et systèmes linéaires

📝 Points essentiels

• Le cours introduit les matrices en plaçant des vecteurs colonnes côte à côte afin de représenter une combinaison linéaire.

• Le système 2x−y=5 et 3x+2y=4 a pour solution (x,y)=(2,−1), ce qui revient à exprimer (5,4) comme combinaison linéaire de (2,3) et (−1,2).

📖 7. Matrices et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Application d’un ensemble fini de couples d’indices vers le corps K des scalaires; si elle a m lignes et n colonnes, elle est de dimension m × n.
• Matrice identité : Matrice carrée de dimension n dont les coefficients diagonaux valent 1 et les autres 0; elle vérifie I_nx = x et commute avec toute matrice de M_n(K).

★ À maîtriser

📌 L’addition de matrices et la multiplication par un scalaire sont définies terme à terme, et l’addition exige que les deux matrices aient la même dimension.

📌 Le produit AB est défini lorsque le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B; chaque colonne de AB est alors A multipliée par la colonne correspondante de B.

• La multiplication des matrices est associative et distributive à gauche comme à droite, mais elle n’est généralement pas commutative.

Compléments

📌 Dans une matrice de dimension m × n, chaque ligne comporte n scalaires et chaque colonne comporte m scalaires; si m = n, la matrice est carrée de dimension n.

📖 8. Inversibilité et indépendance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : Une matrice carrée A est inversible si elle possède une matrice A^{-1} telle que AA^{-1} = A^{-1}A = I_n; son inverse est unique.
• Matrice singulière : Une matrice carrée non inversible est dite singulière; dans ce cas, l’équation Ax = 0 possède plusieurs solutions.
• Indépendance linéaire : Les vecteurs u_1, …, u_r sont linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire nulle x_1u_1 + … + x_ru_r = 0 est celle où tous les coefficients sont nuls.

★ À maîtriser

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si, pour tout b, l’équation Ax = b possède une solution unique.

• Si A et B sont inversibles, AB est inversible et son inverse est B^{-1}A^{-1}.

Compléments

📌 Une matrice carrée est inversible si et seulement si ses colonnes sont linéairement indépendantes, ce qui équivaut à l’indépendance de ses lignes.

💡 Astuce mémo

Une matrice inversible correspond à des colonnes indépendantes

📖 9. Transposée et classes de matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice transposée : La transposée A^T d’une matrice A s’obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes, de sorte que (A^T){ij} = A{ji}.
• Matrice triangulaire : Une matrice est triangulaire supérieure si a_{ij} = 0 pour i > j, et triangulaire inférieure si a_{ij} = 0 pour i < j.
• Matrice symétrique : Une matrice carrée A est symétrique si A^T = A, c’est-à-dire si a_{ij} = a_{ji}.
• Matrice antisymétrique : Une matrice carrée A est antisymétrique si A^T = -A, c’est-à-dire si a_{ij} = -a_{ji}.
• Matrice de permutation : Une matrice de permutation est un produit de matrices qui échangent deux lignes de la matrice identité; la multiplication à gauche permute les lignes de la matrice correspondante.

📝 Points essentiels

• La transposée d’un produit vérifie (AB)^T = B^T A^T.

📖 10. Élimination de Gauss et factorisation LU

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice d’élimination : Une matrice d’élimination est une matrice qui, multipliée à gauche par A, ne modifie qu’une ligne et permet d’y annuler un coefficient ciblé.

★ À maîtriser

📌 Si le pivot nécessaire à l’élimination est nul, il faut permuter des lignes pour obtenir un coefficient non nul avant de poursuivre.

• Toute matrice carrée A admet une matrice de permutation P telle que PA = LU, où L est triangulaire inférieure et U triangulaire supérieure.

• La méthode d’élimination de Gauss réduit un système linéaire en annulant successivement des coefficients sous les pivots, puis résout le système triangulaire obtenu.

Compléments

• Les matrices d’élimination sont inversibles, et leur inverse s’obtient en changeant le signe de leur coefficient hors diagonale utilisé pour l’élimination.

💡 Astuce mémo

Éliminer les coefficients, puis lire la factorisation triangulaire

📖 11. Espaces vectoriels et sous-espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Un espace vectoriel sur K est un ensemble non vide muni d’une addition et d’une multiplication par les scalaires de K satisfaisant les axiomes d’addition, de distributivité et de compatibilité avec les scalaires.
• Sous-espace vectoriel : Un sous-ensemble W de V est un sous-espace vectoriel si W est non vide, fermé pour l’addition et fermé pour la multiplication par les scalaires de K.

★ À maîtriser

• Les exemples d’espaces vectoriels sur K comprennent K^n, M_{m×n}(K), K[X] et l’ensemble F(E,K) des applications de E vers K.

Compléments

• Dans un espace vectoriel, l’élément neutre additif est unique, et chaque vecteur possède un opposé additif unique.

• Pour k ∈ K et u ∈ V, on a k0 = 0, 0u = 0, et ku = 0 implique k = 0 ou u = 0.

• L’intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, tandis que leur réunion ne l’est pas nécessairement.

📖 12. Générateurs et espaces associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs v_1, …, v_n est une somme a_1v_1 + … + a_nv_n où les coefficients a_i appartiennent à K.
• Sous-espace engendré : Le sous-espace engendré par un ensemble S est le plus petit sous-espace vectoriel contenant S et consiste en toutes les combinaisons linéaires de ses éléments.
• Espace colonne : L’espace colonne C(A) est le sous-espace engendré par les colonnes de A; l’équation Ax = b est résoluble si et seulement si b appartient à C(A).
• Espace nul : L’espace nul N(A) est l’ensemble des vecteurs x tels que Ax = 0; il est un sous-espace vectoriel de K^n.
• Espace de type fini : Un espace vectoriel est de type fini s’il peut être engendré par un nombre fini d’éléments.
• Espace ligne : L’espace ligne R(A) est le sous-espace engendré par les lignes de A.

💡 Astuce mémo

L’espace colonne décrit les seconds membres résolubles, l’espace nul les solutions homogènes

📖 13. Bases et dimension des espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Base : Une base d’un espace vectoriel est une famille qui l’engendre et qui est linéairement indépendante.
• Indépendance linéaire : Une famille de vecteurs est linéairement indépendante si toute combinaison linéaire nulle de ses éléments a tous ses coefficients nuls.

★ À maîtriser

• Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d’éléments, appelé dimension.

📐 Formule - Pour deux sous-espaces de dimension finie, $\dim(V)+\dim(W)=\dim(V+W)+\dim(V\cap W)$.

Compléments

📌 Une famille finie est une base si et seulement si elle est à la fois génératrice minimale et libre maximale.

• Les dimensions sur leur corps de base sont n pour Kⁿ, n² pour Mₙ(K) et infinie pour K[X].

💡 Astuce mémo

Une base engendre l’espace et reste libre : existence et unicité des coordonnées.

📖 14. Déterminants et inversibilité

★ À maîtriser

📌 Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne ne change pas le déterminant.

📌 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si $\det(A)\ne 0$.

• Le déterminant de la matrice identité vaut 1, et l’échange de deux lignes multiplie le déterminant par −1.

📐 Formule - Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux : $\det(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}$.

Compléments

📐 Formule - Si PA=LU et si P correspond à t échanges de lignes, alors $\det(A)=(-1)^t\prod_{i=1}^{n}u_{ii}$.

📐 Formule - Pour deux matrices carrées A et B de même ordre, $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ et $\det(A^T)=\det(A)$.

💡 Astuce mémo

Échanges de lignes : signe changé ; élimination : déterminant conservé ; diagonale : produit.

📖 15. Groupes, sous-groupes et cyclicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe : Un groupe est un ensemble muni d’une loi associative, d’un élément neutre et d’inverses pour tous ses éléments ; il est abélien si la loi est commutative.
• Sous-groupe : Une partie H d’un groupe G est un sous-groupe si elle contient l’élément neutre et est stable par produit et par inverse.
• Sous-groupe cyclique engendré : Le sous-groupe cyclique engendré par g est l’ensemble de ses puissances entières, noté ⟨g⟩={gᵏ : k∈Z}.

📝 Points essentiels

📌 Une partie non vide H d’un groupe est un sous-groupe si et seulement si, pour tous x,y∈H, xy⁻¹ appartient à H.

• L’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe, mais leur union ne l’est pas nécessairement.

• Tout groupe cyclique est isomorphe à Z ou à Z/nZ pour un entier naturel n.

📖 16. Homomorphismes et groupes quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Homomorphisme de groupes : Un homomorphisme f entre groupes vérifie f(x⋆₁y)=f(x)⋆₂f(y) pour tous x et y du groupe de départ.
• Noyau : Le noyau d’un homomorphisme f:G₁→G₂ est l’ensemble des éléments x de G₁ tels que f(x) soit l’élément neutre de G₂.
• Sous-groupe normal : Un sous-groupe H de G est normal si xH=Hx pour tout x∈G, ou de manière équivalente si xHx⁻¹=H.

📝 Points essentiels

📌 Si H est un sous-groupe normal de G, le quotient G/H est un groupe pour la loi (xH)(yH)=xyH.

• L’image et le noyau d’un homomorphisme sont des sous-groupes de leurs groupes respectifs, et un homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’identité.

• Pour tout homomorphisme f:G₁→G₂, le premier théorème d’isomorphisme donne $G_1/\ker(f)\cong\operatorname{Im}(f)$.

💡 Astuce mémo

Noyau normal → quotient défini → premier théorème d’isomorphisme.

📖 17. Quotients et groupes cycliques

★ À maîtriser

• Si $H\subset N$ sont deux sous-groupes normaux de $G$, alors $H\triangleleft N$, $N/H\triangleleft G/H$ et $(G/H)/(N/H)\simeq G/N$.

Compléments

• L’homomorphisme déterminant induit l’isomorphisme $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^{\times}$.

• L’homomorphisme $\theta\mapsto e^{2i\pi\theta}$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{C}^{\times}$ a pour image $S^1$ et pour noyau $\mathbb{Z}$, d’où $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\simeq S^1$.

• Pour $d\mid n$, on a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})/(d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\simeq\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$.

📖 18. Permutations et groupe alterné

🔑 Notions clés & Définitions

• Cycle : Un cycle $(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$ envoie chaque $a_i$ sur $a_{i+1}$, envoie $a_k$ sur $a_1$ et fixe les autres éléments.
• Groupe linéaire : Le groupe $GL_n(\mathbb{R})$ est le groupe des matrices inversibles d’ordre $n$ à coefficients réels.
• Anneau : Une structure où $(A,+)$ est un groupe abélien, $(A,\cdot)$ est un monoïde et la multiplication est distributive sur l’addition.
• Anneau commutatif : Un anneau dont la multiplication est commutative.
• Corps : Un anneau tel que $1\ne0$ et dont tout élément non nul est inversible pour la multiplication.
• Idéal bilatère : Un sous-groupe additif stable par multiplication à gauche et à droite par tout élément de l’anneau.
• Anneau intègre : Un anneau est intègre si le produit de deux éléments est nul seulement lorsqu’au moins l’un des deux éléments est nul.
• Idéal principal : Un idéal engendré par un seul élément est un idéal principal; l’anneau est principal s’il est intègre et si tous ses idéaux sont principaux.

★ À maîtriser

📌 Une permutation est paire si elle s’écrit comme un nombre pair de transpositions, et impaire si elle s’écrit comme un nombre impair de transpositions.

• Le groupe symétrique $S_n$ est le groupe des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ dans lui-même, muni de la composition, et son ordre est $n!$.

• Toute permutation est un produit de cycles deux à deux disjoints et peut aussi s’écrire comme un produit de transpositions.

• Le groupe diédral $D_n$ des symétries d’un polygone régulier à $n$ côtés comprend $n$ rotations et $n$ réflexions axiales, et son ordre est $2n$.

• Pour qu’un quotient additif $A/I$ porte la multiplication induite $(x+I)(y+I)=xy+I$ et forme ainsi un anneau quotient, $I$ doit être un idéal bilatère.

• Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, la classe de $a$ est inversible si et seulement si $\gcd(a,n)=1$, et cet anneau est un corps si et seulement si $n$ est premier.

Compléments

📌 Deux cycles sont disjoints lorsque leurs ensembles d’éléments déplacés sont disjoints, et deux cycles disjoints commutent.

• Les permutations paires forment le sous-groupe normal d’indice 2 de $S_n$ appelé groupe alterné $A_n$.

💡 Astuce mémo

Une transposition change la parité ; un cycle de longueur impaire la conserve.

📊 Tableaux de synthèse

Monoïde et groupe