QCM : Matrices et espaces vectoriels (53 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’un ensemble :

Un ensemble réunit des objets mathématiques selon une propriété permettant de tester leur appartenance.
Un ensemble rassemble des objets mathématiques selon une propriété déterminant leur appartenance.
Un ensemble réunit des objets mathématiques selon une propriété déterminant leur représentation.
Un ensemble rassemble des objets mathématiques selon une propriété déterminant leur ordre.
Un ensemble rassemble des objets mathématiques selon une propriété déterminant leur cardinal.

Un ensemble réunit des objets mathématiques selon une propriété permettant de tester leur appartenance. · Un ensemble rassemble des objets mathématiques selon une propriété déterminant leur appartenance.

Explication

Un ensemble est bien une collection d’objets dont l’appartenance est déterminée par une propriété. Le cardinal, l’ordre ou la représentation ne sont pas le critère de définition donné.

2. Deux ensembles sont égaux lorsque :

Leur inclusion mutuelle suffit, car l’ordre et les répétitions ne changent pas l’ensemble.
Chacun est inclus dans l’autre, indépendamment de l’ordre de présentation des éléments.
Chaque ensemble contient l’autre, et l’ordre des éléments détermine leur égalité.
Chacun est inclus dans l’autre, mais les répétitions modifient l’ensemble obtenu.
Ils ont le même nombre d’éléments, même si leur inclusion mutuelle échoue.

Leur inclusion mutuelle suffit, car l’ordre et les répétitions ne changent pas l’ensemble. · Chacun est inclus dans l’autre, indépendamment de l’ordre de présentation des éléments.

Explication

L’égalité équivaut à l’inclusion dans les deux sens, et l’ordre ainsi que les répétitions sont sans effet. Un même cardinal ne suffit pas à établir l’égalité des ensembles.

3. Soient deux ensembles A et B. À propos de leur intersection et de leur union :

L’intersection A ∩ B regroupe les éléments appartenant à A sans appartenir à B.
L’union A ∪ B regroupe les éléments appartenant simultanément à A et à B.
L’intersection A ∩ B regroupe les éléments appartenant à exactement un des deux ensembles.
L’union A ∪ B regroupe les éléments appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux.
L’intersection A ∩ B regroupe les éléments appartenant simultanément à A et à B.

L’union A ∪ B regroupe les éléments appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux. · L’intersection A ∩ B regroupe les éléments appartenant simultanément à A et à B.

Explication

L’intersection contient les éléments communs à A et B, et l’union contient les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles. Les éléments appartenant à A sans appartenir à B ne sont pas dans l’intersection, et ceux qui n’appartiennent à aucun des deux ensembles ne sont pas dans leur union.

4. Si l’ensemble E possède exactement n éléments, quelles propriétés caractérisent son ensemble des parties ?

Le nombre de sous-ensembles de E vaut 2n2^n.
Le cardinal de l’ensemble des parties de E est donné par 2n2^n.
L’ensemble des parties de E contient 2n2^n éléments.
Pour un ensemble E à n éléments, son ensemble des parties a 2n2^n éléments.
L’ensemble des parties de E contient n2n^2 éléments.

Le nombre de sous-ensembles de E vaut $$2^n$$. · Le cardinal de l’ensemble des parties de E est donné par $$2^n$$. · L’ensemble des parties de E contient $$2^n$$ éléments. · Pour un ensemble E à n éléments, son ensemble des parties a $$2^n$$ éléments.

Explication

Un ensemble à n éléments possède 2n2^n sous-ensembles, donc son ensemble des parties a ce cardinal. La formule n2n^2 ne correspond pas au résultat établi.

5. Une application f de E dans F associe :

À chaque élément de E plusieurs éléments possibles de F.
À chaque élément de F un unique élément de F.
À chaque élément de E un unique élément de E.
À chaque élément de F un unique élément de E.
À chaque élément de E un unique élément de F.

À chaque élément de E un unique élément de F.

Explication

Une application de E dans F attribue à chaque élément de E une unique image appartenant à F. Les propositions qui inversent domaine et codomaine ou autorisent plusieurs images ne respectent pas cette définition.

6. À propos de l’image directe et de l’image réciproque par une application f de E dans F :

L’image directe f(A) est une partie de E lorsqu'A est une partie de F.
L’image directe f(A) regroupe les éléments de E dont l’image appartient à A.
L’image réciproque f⁻¹(B) est une partie de F lorsque B est une partie de E.
L’image réciproque f⁻¹(B) est une partie de E lorsque B est une partie de F.
L’image directe f(A) est une partie de F lorsqu'A est une partie de E.

L’image réciproque f⁻¹(B) est une partie de E lorsque B est une partie de F. · L’image directe f(A) est une partie de F lorsqu'A est une partie de E.

Explication

L’image directe d’une partie de E se trouve dans F, tandis que l’image réciproque d’une partie de F se trouve dans E. Les propositions qui échangent ces ensembles ou leurs rôles sont incorrectes.

7. Concernant les propriétés d’injectivité, de surjectivité et de bijectivité :

Une application surjective impose au plus un antécédent par image.
Une application surjective donne au moins un antécédent à chaque élément du codomaine.
Une application bijective est à la fois injective et surjective.
Une application injective donne exactement un antécédent à chaque élément du codomaine.
Une application injective donne au moins un antécédent à chaque élément du codomaine.

Une application surjective donne au moins un antécédent à chaque élément du codomaine. · Une application bijective est à la fois injective et surjective.

Explication

La surjectivité garantit au moins un antécédent à chaque élément du codomaine, et la bijectivité combine injectivité et surjectivité. L’injectivité garantit au plus un antécédent, sans assurer que chaque élément du codomaine en ait un.

8. Une application f:E→F est bijective si et seulement si :

Il existe une application g:F→E qui est l’inverse de f.
Il existe g:F→E telle que g∘f=IdE et f∘g=IdF.
Il existe g:E→F telle que g∘f=IdE et f∘g=IdF.
L’application g satisfaisant ces deux identités est unique.
L’existence d’une application g:F→E vérifiant une seule des deux identités suffit.

Il existe une application g:F→E qui est l’inverse de f. · Il existe g:F→E telle que g∘f=IdE et f∘g=IdF. · L’application g satisfaisant ces deux identités est unique.

Explication

La bijectivité équivaut à l’existence d’une application inverse vérifiant les deux identités indiquées; cette inverse est unique. Son domaine et son codomaine sont F et E, et une seule identité ne suffit pas au critère énoncé.

9. Quelle propriété caractérise un ensemble dénombrable infini ?

Il existe une injection de ℕ dans cet ensemble, sans bijection avec ℕ.
Il existe une bijection entre cet ensemble et ℕ.
Il est équipotent à un sous-ensemble fini de ℕ.
Son équipotence avec ℕ découle de son caractère infini et dénombrable.
Il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels.

Il existe une bijection entre cet ensemble et ℕ. · Son équipotence avec ℕ découle de son caractère infini et dénombrable. · Il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels.

Explication

Tout ensemble dénombrable infini est en bijection avec ℕ, ce qui justifie les formulations équivalentes données. Un ensemble fini ne peut pas lui être équipotent, et une simple injection de ℕ ne caractérise pas cette bijection.

10. Concernant la dénombrabilité des nombres réels et irrationnels :

L’ensemble ℝ des nombres réels est dénombrable.
L’ensemble des nombres irrationnels n’est pas dénombrable.
L’ensemble ℝ des nombres réels n’est pas dénombrable.
L’ensemble des nombres irrationnels est dénombrable.
Le résultat de non-dénombrabilité s’applique à ℝ et aux irrationnels.

L’ensemble des nombres irrationnels n’est pas dénombrable. · L’ensemble ℝ des nombres réels n’est pas dénombrable. · Le résultat de non-dénombrabilité s’applique à ℝ et aux irrationnels.

Explication

Les réels et les nombres irrationnels sont tous deux non dénombrables. Les affirmations qui les déclarent dénombrables contredisent ce résultat.

11. Concernant la définition d’une relation binaire sur un ensemble :

Une relation binaire sur E est une partie de E ∪ E.
Un couple appartenant à la relation est formé de deux éléments de E.
Une relation binaire sur E est une partie du produit cartésien E × ℕ.
Une relation binaire sur E est une partie du produit cartésien E × E.
L’assertion xRy signifie que (x,y) appartient à la relation considérée.

Un couple appartenant à la relation est formé de deux éléments de E. · Une relation binaire sur E est une partie du produit cartésien E × E. · L’assertion xRy signifie que (x,y) appartient à la relation considérée.

Explication

Une relation binaire sur E est une partie de E × E, et xRy signifie que le couple (x,y) lui appartient. Les couples concernés ont donc leurs deux éléments dans E ; remplacer E × E par E × ℕ ou par E ∪ E ne donne pas la définition.

12. Parmi les propriétés suivantes concernant une relation d’équivalence, lesquelles sont exactes ?

La symétrie impose qu'a=b dès qu'aRb et bRa.
Une relation d’équivalence est réflexive, antisymétrique et transitive.
La symétrie impose que bRa découle de aRb.
Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive.
La transitivité impose qu'aRc découle de aRb et bRc.

La symétrie impose que bRa découle de aRb. · Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive. · La transitivité impose qu'aRc découle de aRb et bRc.

Explication

Une équivalence est réflexive, symétrique et transitive. La symétrie échange les éléments de la relation, tandis que la transitivité permet de passer de aRb et bRc à aRc ; l’antisymétrie caractérise plutôt un ordre.

13. Les classes d’une relation d’équivalence et les partitions sont liées de la manière suivante :

Une partition de l’ensemble peut être obtenue comme famille de classes d’équivalence.
Toute partition d’un ensemble définit réciproquement une relation d’équivalence.
Les classes d’une relation d’équivalence forment une relation d’ordre sur l’ensemble.
Les classes d’une relation d’équivalence forment une partition de l’ensemble considéré.
Toute relation d’ordre définit une partition de l’ensemble vide.

Une partition de l’ensemble peut être obtenue comme famille de classes d’équivalence. · Toute partition d’un ensemble définit réciproquement une relation d’équivalence. · Les classes d’une relation d’équivalence forment une partition de l’ensemble considéré.

Explication

Les classes d’une équivalence forment une partition, et réciproquement toute partition définit une équivalence. Une partition est une famille de classes couvrant l’ensemble en blocs disjoints ; elle n’est pas une relation d’ordre, et une relation d’ordre ne définit pas ainsi une partition.

14. À propos des relations d’ordre :

Une relation d’ordre est réflexive, symétrique et transitive.
Une relation d’ordre est totale lorsque chaque paire d’éléments est égale.
Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive.
Une relation d’ordre est partielle lorsque certaines paires ne sont pas comparables.
Une relation d’ordre est totale lorsque chaque paire d’éléments est comparable.

Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. · Une relation d’ordre est partielle lorsque certaines paires ne sont pas comparables. · Une relation d’ordre est totale lorsque chaque paire d’éléments est comparable.

Explication

Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive ; elle est totale si chaque paire est comparable, et partielle sinon. La symétrie ne remplace pas l’antisymétrie, et la comparabilité ne signifie pas que les éléments sont égaux.

15. Un vecteur de Rn\mathbb{R}^n est caractérisé par :

Un vecteur de Rn\mathbb{R}^n est un n-uplet ordonné de nombres complexes.
Les coordonnées d’un vecteur de Rn\mathbb{R}^n sont ses composantes.
Un vecteur de Rn\mathbb{R}^n est un ensemble non ordonné de nombres réels.
Un vecteur de Rn\mathbb{R}^n possède des composantes réelles ordonnées.
Un vecteur de Rn\mathbb{R}^n est un n-uplet ordonné de nombres réels.

Les coordonnées d’un vecteur de $$\mathbb{R}^n$$ sont ses composantes. · Un vecteur de $$\mathbb{R}^n$$ possède des composantes réelles ordonnées. · Un vecteur de $$\mathbb{R}^n$$ est un n-uplet ordonné de nombres réels.

Explication

Un vecteur de Rn\mathbb{R}^n est un n-uplet ordonné de réels, et ses coordonnées sont ses composantes. Un ensemble non ordonné ne respecte pas la structure de n-uplet, et des coordonnées complexes relèvent de Cn\mathbb{C}^n.

16. Pour deux vecteurs réels u=(u1,…,un)u=(u_1,\ldots,u_n) et v=(v1,…,vn)v=(v_1,\ldots,v_n), quelles règles définissent leurs opérations ?

La somme est donnée par u+v=(u1+v1,…,un+vn)u+v=(u_1+v_1,\ldots,u_n+v_n).
La multiplication scalaire kuku est donnée par ku=(u1+k,…,un+k)ku=(u_1+k,\ldots,u_n+k).
Le produit scalaire kuku est donné par ku=(ku1,…,kun)ku=(ku_1,\ldots,ku_n).
La somme est donnée par u+v=(u1v1,…,unvn)u+v=(u_1v_1,\ldots,u_nv_n).
La multiplication scalaire agit sur chacune des composantes du vecteur.

La somme est donnée par $$u+v=(u_1+v_1,\ldots,u_n+v_n)$$. · Le produit scalaire $$ku$$ est donné par $$ku=(ku_1,\ldots,ku_n)$$. · La multiplication scalaire agit sur chacune des composantes du vecteur.

Explication

L’addition et la multiplication par un scalaire sont définies composante par composante : on additionne les coordonnées et on multiplie chacune par le scalaire. Le produit coordonnée par coordonnée n’est pas l’addition, et ajouter le scalaire à chaque coordonnée n’est pas une multiplication scalaire.

17. Concernant le produit scalaire réel et l’orthogonalité, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Deux vecteurs réels sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut un.
Le produit scalaire réel est la somme des carrés des coordonnées du premier vecteur.
Le produit scalaire réel est la somme des produits des coordonnées correspondantes.
Pour u,v∈Rnu,v\in\mathbb{R}^n, on a u⋅v=∑i=1nuiviu\cdot v=\sum_{i=1}^{n}u_iv_i.
Deux vecteurs réels sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Le produit scalaire réel est la somme des produits des coordonnées correspondantes. · Pour $$u,v\in\mathbb{R}^n$$, on a $$u\cdot v=\sum_{i=1}^{n}u_iv_i$$. · Deux vecteurs réels sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Explication

Le produit scalaire réel s’obtient en sommant les produits des coordonnées correspondantes, et l’orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. La somme des carrés concerne le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même, tandis qu’une valeur égale à un ne caractérise pas l’orthogonalité.

18. Pour z,ω∈Cnz,\omega\in\mathbb{C}^n, la définition du produit scalaire complexe et de la norme comprend :

Le produit scalaire utilise les coordonnées conjuguées du premier vecteur.
Le produit scalaire utilise les coordonnées conjuguées du second vecteur.
La norme est la racine carrée de la somme des parties réelles au carré.
La norme est la racine carrée de la somme des carrés des modules.
Le produit scalaire s’écrit z⋅ω=∑i=1nzi‾ωiz\cdot\omega=\sum_{i=1}^{n}\overline{z_i}\omega_i.

Le produit scalaire utilise les coordonnées conjuguées du premier vecteur. · La norme est la racine carrée de la somme des carrés des modules. · Le produit scalaire s’écrit $$z\cdot\omega=\sum_{i=1}^{n}\overline{z_i}\omega_i$$.

Explication

Le produit scalaire complexe conjugue la coordonnée du premier vecteur, et la norme est ∑i=1n∣zi∣2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|z_i|^2}. Conjuguer le second vecteur inverse la convention donnée ; la norme dépend des modules, et non des seules parties réelles.

19. Le système 2x−y=52x-y=5 et 3x+2y=43x+2y=4 admet quelle interprétation et quelle solution ?

La solution (2,−1) (2,-1) donne 2x−y=52x-y=5 et 3x+2y=43x+2y=4.
Sa solution est (x,y)=(−1,2) (x,y)=(-1,2) ; elle vérifie les deux équations.
Sa solution est (x,y)=(2,−1) (x,y)=(2,-1) ; elle vérifie les deux équations.
Le couple (4,5) (4,5) s’exprime comme combinaison de (2,3) (2,3) et (−1,2) (-1,2) .
Le couple (5,4) (5,4) s’exprime comme combinaison de (2,3) (2,3) et (−1,2) (-1,2) .

La solution $$ (2,-1) $$ donne $$2x-y=5$$ et $$3x+2y=4$$. · Sa solution est $$ (x,y)=(2,-1) $$; elle vérifie les deux équations. · Le couple $$ (5,4) $$ s’exprime comme combinaison de $$ (2,3) $$ et $$ (-1,2) $$.

Explication

La solution est (x,y)=(2,−1)(x,y)=(2,-1) : elle donne bien 5 et 4 dans les deux équations. Elle exprime aussi (5,4)=2(2,3)−1(−1,2)(5,4)=2(2,3)-1(-1,2) ; l’ordre inversé des coordonnées proposé ailleurs ne correspond pas à cette interprétation.

20. Comment les vecteurs colonnes servent-ils à introduire les matrices et les combinaisons linéaires ?

Un vecteur colonne isolé représente nécessairement un système linéaire complet.
Des scalaires placés côte à côte remplacent les vecteurs colonnes dans cette représentation.
Des vecteurs colonnes placés côte à côte permettent de représenter une combinaison linéaire.
Des vecteurs lignes placés côte à côte permettent de représenter une combinaison linéaire.
Des vecteurs colonnes côte à côte servent à former une matrice représentative.

Des vecteurs colonnes placés côte à côte permettent de représenter une combinaison linéaire. · Des vecteurs colonnes côte à côte servent à former une matrice représentative.

Explication

Les matrices sont introduites en plaçant des vecteurs colonnes côte à côte pour représenter une combinaison linéaire. La représentation décrite repose sur des colonnes, et non sur des lignes ou sur des scalaires seuls.

21. Concernant la dimension d’une matrice :

Une matrice est une application d’un ensemble fini de triplets d’indices vers le corps des scalaires.
Une matrice de m lignes et n colonnes comporte m+n coefficients.
Une matrice à m lignes et n colonnes est de dimension m × n.
Une matrice associe à des couples d’indices des éléments du corps K des scalaires.
Les coefficients d’une matrice appartiennent au corps des nombres rationnels.

Une matrice à m lignes et n colonnes est de dimension m × n. · Une matrice associe à des couples d’indices des éléments du corps K des scalaires.

Explication

La dimension indique le nombre de lignes puis le nombre de colonnes, soit m × n, et une matrice de m lignes et n colonnes comporte mn coefficients, non m+n. Une matrice associe des couples d’indices à des scalaires de K; les triplets ne conviennent pas, et les coefficients ne sont pas limités aux entiers ni aux rationnels.

22. Soient A de dimension m × n et B de dimension p × q. Concernant le produit AB :

Le produit AB est défini lorsque m = q.
Chaque colonne de AB s’obtient en multipliant A par la colonne correspondante de B.
Le produit AB est défini lorsque le nombre de lignes de A égale celui de B.
Le produit AB est défini lorsque n = p.
Lorsqu'AB est défini, sa dimension est m × q.

Chaque colonne de AB s’obtient en multipliant A par la colonne correspondante de B. · Le produit AB est défini lorsque n = p. · Lorsqu'AB est défini, sa dimension est m × q.

Explication

Le produit est défini si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B, et ses colonnes résultent de l’action de A sur les colonnes correspondantes de B. Sa dimension est m × q; l’égalité des lignes de A et B, ou m = q, n’est pas la condition requise.

23. À propos des propriétés de la multiplication matricielle, cochez les propositions exactes :

La multiplication matricielle n’est pas associative, même lorsque les produits existent.
La multiplication matricielle est distributive à droite par rapport à l’addition.
La multiplication matricielle est distributive à gauche par rapport à l’addition.
La multiplication matricielle est commutative pour toutes les matrices carrées.
La multiplication matricielle est associative lorsque les produits concernés sont définis.

La multiplication matricielle est distributive à droite par rapport à l’addition. · La multiplication matricielle est distributive à gauche par rapport à l’addition. · La multiplication matricielle est associative lorsque les produits concernés sont définis.

Explication

La multiplication matricielle est associative et distributive à gauche comme à droite. Elle n’est généralement pas commutative, tandis que nier son associativité contredit sa propriété fondamentale.

24. Concernant l’inverse d’une matrice carrée :

L’inverse d’une matrice inversible est unique.
L’inverse d’une matrice carrée est défini par AA⁻¹ = 0.
L’inverse A⁻¹ vérifie AA⁻¹ = I_n.
Une matrice inversible possède un inverse vérifiant aussi A⁻¹A = I_n.
Une matrice inversible peut posséder plusieurs inverses distincts.

L’inverse d’une matrice inversible est unique. · L’inverse A⁻¹ vérifie AA⁻¹ = I_n. · Une matrice inversible possède un inverse vérifiant aussi A⁻¹A = I_n.

Explication

L’inverse vérifie les deux égalités AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n et il est unique. Le produit avec l’inverse donne l’identité, non la matrice nulle, et plusieurs inverses distincts ne sont pas possibles.

25. Si A et B sont inversibles, quelles propriétés du produit AB sont exactes ?

L’inverse de AB est B⁻¹A⁻¹.
L’inverse de AB est B⁻¹A.
Le produit AB a pour inverse A⁻¹ + B⁻¹.
Le produit AB est inversible.
L’inverse de AB est A⁻¹B⁻¹.

L’inverse de AB est B⁻¹A⁻¹. · Le produit AB est inversible.

Explication

Le produit de deux matrices inversibles est inversible, et son inverse s’obtient dans l’ordre inversé : B⁻¹A⁻¹. L’ordre A⁻¹B⁻¹ n’est pas la règle générale, et une somme ou un produit mêlant B⁻¹ et A ne donne pas la formule d’inversion.

26. Une matrice carrée singulière se caractérise notamment par :

Elle est dite non inversible.
Elle n’est pas inversible.
L’équation Ax = 0 possède plusieurs solutions.
L’équation Ax = 0 possède une solution unique.
Elle possède une matrice inverse dont le produit donne l’identité.

Elle est dite non inversible. · Elle n’est pas inversible. · L’équation Ax = 0 possède plusieurs solutions.

Explication

Une matrice singulière est non inversible, et son système homogène Ax = 0 possède plusieurs solutions. Elle ne possède donc pas d’inverse, et l’unicité de la solution homogène est incompatible avec la propriété indiquée.

27. Concernant la transposée d’une matrice A :

La transposée échange les coefficients diagonaux avec les coefficients nuls.
Le coefficient (i,j) de Aᵀ est le coefficient (j,i) de A.
Le coefficient (i,j) de Aᵀ est le coefficient (i,j) de A, quelle que soit A.
La transposée conserve les lignes et les colonnes à leur place.
La transposée échange les lignes et les colonnes de A.

Le coefficient (i,j) de Aᵀ est le coefficient (j,i) de A. · La transposée échange les lignes et les colonnes de A.

Explication

La transposition échange lignes et colonnes, ce qui donne (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ. Elle ne conserve donc pas en général les positions des coefficients hors diagonale; la description proposée des coefficients diagonaux est également erronée.

28. Quelle relation décrit la transposée d’un produit de matrices ?

La relation s’écrit (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
La transposée de AB est B Aᵀ.
La transposition inverse l’ordre des facteurs dans le produit transposé.
La transposée de AB est AᵀBᵀ.
La transposée de AB est BᵀAᵀ.

La relation s’écrit (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. · La transposition inverse l’ordre des facteurs dans le produit transposé. · La transposée de AB est BᵀAᵀ.

Explication

La formule correcte est (AB)ᵀ = BᵀAᵀ : l’ordre des facteurs est inversé et chaque facteur est transposé. La formule AᵀBᵀ conserve à tort l’ordre, tandis que BAᵀ omet la transposition de B.

29. Les conditions qui définissent les matrices triangulaires sont :

Les coefficients situés sur la diagonale ne sont pas soumis à ces conditions d’annulation.
Les coefficients diagonaux d’une matrice triangulaire inférieure valent 1.
Une matrice triangulaire supérieure vérifie aᵢⱼ = 0 lorsqu'i > j.
Les coefficients diagonaux d’une matrice triangulaire supérieure valent 1.
Une matrice triangulaire inférieure vérifie aᵢⱼ = 0 lorsqu'i < j.

Les coefficients situés sur la diagonale ne sont pas soumis à ces conditions d’annulation. · Une matrice triangulaire supérieure vérifie aᵢⱼ = 0 lorsqu'i > j. · Une matrice triangulaire inférieure vérifie aᵢⱼ = 0 lorsqu'i < j.

Explication

Une matrice triangulaire supérieure s’annule sous la diagonale, pour i > j, tandis qu’une matrice triangulaire inférieure s’annule au-dessus, pour i < j. Les coefficients diagonaux ne sont pas soumis à ces conditions d’annulation et ne sont donc pas nécessairement égaux à 1.

30. Une matrice carrée A est symétrique si :

La transposition laisse la matrice inchangée.
Ses coefficients satisfont aᵢⱼ = −aⱼᵢ.
Elle vérifie Aᵀ = −A.
Ses coefficients satisfont aᵢⱼ = aⱼᵢ.
Elle vérifie Aᵀ = A.

La transposition laisse la matrice inchangée. · Ses coefficients satisfont aᵢⱼ = aⱼᵢ. · Elle vérifie Aᵀ = A.

Explication

Une matrice symétrique est inchangée par transposition, soit Aᵀ = A, ce qui équivaut à aᵢⱼ = aⱼᵢ. L’égalité Aᵀ = −A et la relation de signe opposé définissent l’antisymétrie.

31. Concernant la méthode d’élimination de Gauss :

Elle résout le système sans produire de forme triangulaire.
Elle annule successivement des coefficients situés sous les pivots.
Elle réduit le système en vue d’obtenir une forme triangulaire.
Elle permute les colonnes lorsque le pivot est nul.
Elle transforme le système en une forme diagonale avant toute résolution.

Elle annule successivement des coefficients situés sous les pivots. · Elle réduit le système en vue d’obtenir une forme triangulaire.

Explication

La méthode élimine les coefficients sous les pivots, puis permet de résoudre le système triangulaire obtenu. Lorsque le pivot nécessaire est nul, elle requiert une permutation de lignes, et non de colonnes. Elle ne résout donc pas le système sans forme triangulaire et ne transforme pas le système en forme diagonale avant la résolution.

32. Lors d’une élimination de Gauss, le pivot nécessaire est nul. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Il faut obtenir un coefficient non nul avant de poursuivre l’élimination.
Il faut permuter des colonnes pour obtenir un pivot non nul.
Il faut poursuivre l’élimination avec un pivot nul inchangé.
Il faut permuter des lignes afin d’obtenir un coefficient non nul.
Il faut multiplier le système par une matrice diagonale pour remplacer le pivot.

Il faut obtenir un coefficient non nul avant de poursuivre l’élimination. · Il faut permuter des lignes afin d’obtenir un coefficient non nul.

Explication

Lorsque le pivot nécessaire est nul, une permutation de lignes permet d’obtenir un coefficient non nul avant de poursuivre. Une permutation de colonnes ou la poursuite avec le pivot nul ne répond pas à cette règle.

33. Une matrice carrée A admet une factorisation avec pivotement :

La matrice de permutation P doit être triangulaire inférieure.
La relation de factorisation s’écrit nécessairement A = PLU.
La matrice L est triangulaire inférieure dans cette factorisation.
La matrice U est triangulaire supérieure dans cette factorisation.
Il existe une matrice de permutation P telle que PA = LU.

La matrice L est triangulaire inférieure dans cette factorisation. · La matrice U est triangulaire supérieure dans cette factorisation. · Il existe une matrice de permutation P telle que PA = LU.

Explication

Toute matrice carrée A admet une matrice de permutation P telle que PA = LU, avec L triangulaire inférieure et U triangulaire supérieure. La relation donnée place P à gauche de A, et aucune propriété triangulaire de P n’est requise.

34. À propos de la définition d’un espace vectoriel sur K :

L’ensemble sous-jacent doit être non vide et muni d’une addition.
L’ensemble sous-jacent peut être vide si les opérations sont définies.
Les scalaires doivent appartenir à l’espace vectoriel plutôt qu’à K.
Les axiomes portent sur l’addition, sans condition de distributivité.
La multiplication par les scalaires de K doit satisfaire les axiomes requis.

L’ensemble sous-jacent doit être non vide et muni d’une addition. · La multiplication par les scalaires de K doit satisfaire les axiomes requis.

Explication

Un espace vectoriel sur K est non vide et muni d’une addition ainsi que d’une multiplication par les scalaires de K. Ces opérations doivent satisfaire notamment les axiomes d’addition, de distributivité et de compatibilité avec les scalaires.

35. Quels ensembles constituent des exemples d’espaces vectoriels sur K ?

L’ensemble K^n est un espace vectoriel sur K.
L’ensemble Mm×n(K)M_{m×n}(K) est un espace vectoriel sur K.
L’ensemble F(E,K) désigne les applications de K vers E.
L’ensemble des applications de K vers E est un exemple indiqué.
L’ensemble K[X] est un espace vectoriel sur K.

L’ensemble K^n est un espace vectoriel sur K. · L’ensemble $$M_{m×n}(K)$$ est un espace vectoriel sur K. · L’ensemble K[X] est un espace vectoriel sur K.

Explication

Les exemples comprennent Kn,Mm×n(K)K^n, M_{m×n}(K), K[X] et F(E,K), l’espace des applications de E vers K. Les deux propositions sur les applications inversent les ensembles de départ et d’arrivée.

36. Une combinaison linéaire de vecteurs v₁, …, vₙ est :

Une somme pondérée par des coefficients appartenant à l’ensemble des indices.
Un produit des vecteurs dont les facteurs appartiennent à K.
Une somme de vecteurs avec des coefficients appartenant à un ensemble quelconque.
Une somme de ces vecteurs dont les coefficients appartiennent à V.
Une somme de ces vecteurs pondérés par des coefficients appartenant à K.

Une somme de ces vecteurs pondérés par des coefficients appartenant à K.

Explication

Une combinaison linéaire s’écrit a₁v₁ + … + aₙvₙ, où chaque coefficient aᵢ appartient à K. Les coefficients ne sont ni des vecteurs de V ni des éléments arbitraires ou des indices.

37. Concernant le sous-espace engendré par un ensemble S, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Il rassemble les combinaisons linéaires à coefficients réels des éléments de S.
Il est le plus petit sous-espace vectoriel contenant S.
Il consiste en toutes les combinaisons linéaires des éléments de S.
Il constitue un sous-espace vectoriel qui contient S.
Il est le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans S.

Il est le plus petit sous-espace vectoriel contenant S. · Il consiste en toutes les combinaisons linéaires des éléments de S. · Il constitue un sous-espace vectoriel qui contient S.

Explication

Le sous-espace engendré est le plus petit sous-espace vectoriel contenant S et rassemble toutes les combinaisons linéaires de ses éléments, avec des coefficients dans le corps K. Il ne se définit pas par les combinaisons d’un sur-ensemble de S et n’est pas le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans S.

38. Pour une matrice A et un second membre b, quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

L’équation Ax = b est résoluble lorsque b appartient à l’espace ligne de A.
L’équation Ax = b est résoluble lorsque b appartient à l’espace nul de A.
L’espace colonne C(A) est l’ensemble des solutions de Ax = 0.
L’espace colonne C(A) est engendré par les colonnes de A.
L’équation Ax = b est résoluble si b est un vecteur quelconque.

L’espace colonne C(A) est engendré par les colonnes de A.

Explication

L’espace colonne C(A) est le sous-espace engendré par les colonnes de A. L’équation Ax = b est résoluble si et seulement si b appartient à C(A), et non à l’espace ligne ou à l’espace nul. L’espace nul rassemble les solutions de Ax = 0, et un vecteur b quelconque n’appartient pas nécessairement à l’espace colonne.

39. Au sujet de l’espace nul N(A) :

Il rassemble les vecteurs x vérifiant Ax = 0.
Il est engendré par les colonnes de la matrice A.
Il rassemble les seconds membres b pour lesquels Ax = b est résoluble.
Il contient les solutions du système homogène associé à A.
Il constitue un sous-espace vectoriel de K^n.

Il rassemble les vecteurs x vérifiant Ax = 0. · Il contient les solutions du système homogène associé à A. · Il constitue un sous-espace vectoriel de K^n.

Explication

N(A) est l’ensemble des vecteurs x tels qu'Ax = 0; il forme un sous-espace vectoriel de K^n et rassemble donc les solutions du système homogène. Les seconds membres rendant Ax = b résoluble appartiennent plutôt à l’espace colonne C(A).

40. Concernant la caractérisation d’une base d’un espace vectoriel :

Une base est une famille génératrice minimale qui est libre minimale.
Dans un espace de dimension finie, deux bases ont des nombres d’éléments différents.
Une base est une famille à la fois génératrice et linéairement indépendante.
Une base est une famille génératrice dont l’espace engendré est de dimension nulle.
Une base est une famille libre qui engendre l’espace vectoriel.

Une base est une famille à la fois génératrice et linéairement indépendante. · Une base est une famille libre qui engendre l’espace vectoriel.

Explication

Une base engendre l’espace et est linéairement indépendante ; dans un espace de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Une famille génératrice liée ou une famille libre qui n’engendre pas tout l’espace ne satisfait pas cette caractérisation.

41. Pour deux sous-espaces de dimension finie V et W, quelle relation relie leurs dimensions ?

La dimension de V+W est la somme des dimensions de V et W, sans correction.
La dimension de V+W plus celle de V∩W égale la somme des dimensions de V et W.
La somme des dimensions de V et W égale la dimension de V+W augmentée de celle de V∩W.
La dimension de V∩W est la somme des dimensions de V et W diminuée de celle de V+W.
La dimension de V+W est la différence entre les dimensions de V et de W.

La dimension de V+W plus celle de V∩W égale la somme des dimensions de V et W. · La somme des dimensions de V et W égale la dimension de V+W augmentée de celle de V∩W. · La dimension de V∩W est la somme des dimensions de V et W diminuée de celle de V+W.

Explication

La formule est dim⁡(V)+dim⁡(W)=dim⁡(V+W)+dim⁡(V∩W)\dim(V)+\dim(W)=\dim(V+W)+\dim(V\cap W), ce qui justifie les formulations équivalentes donnant la somme ou l’intersection. La dimension de V+W ne s’obtient pas en omettant la correction liée à l’intersection ni par une simple différence.

42. Concernant l’effet d’une opération sur les lignes d’une matrice sur son déterminant :

Échanger deux lignes laisse le déterminant inchangé.
Dans une factorisation PA=LU, le déterminant de A est le produit des coefficients diagonaux de L.
Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne conserve le déterminant.
Multiplier une ligne par une autre ligne conserve le déterminant.
Échanger deux lignes multiplie le déterminant par −1.

Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne conserve le déterminant. · Échanger deux lignes multiplie le déterminant par −1.

Explication

L’ajout à une ligne d’un multiple d’une autre conserve le déterminant, tandis qu’un échange de lignes en change le signe. Dans une factorisation PA=LU, le déterminant de A dépend du signe associé aux échanges de lignes et du produit des coefficients diagonaux de U.

43. Pour une matrice carrée A, quelle condition caractérise son inversibilité ?

A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
A est inversible si son déterminant est nul.
A est inversible lorsque son déterminant est différent de zéro.
A est inversible si son déterminant est négatif.
A est inversible lorsque son déterminant vaut 1.

A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. · A est inversible lorsque son déterminant est différent de zéro.

Explication

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le déterminant n’a pas besoin de valoir 1 ni d’être négatif, et un déterminant nul caractérise la non-inversibilité.

44. Pour qu’une partie H d’un groupe G soit un sous-groupe, elle doit :

Être stable par produit et par inverse, sans contenir l’élément neutre.
Contenir tous les éléments de G et être stable par produit et par inverse.
Contenir l’élément neutre et vérifier que xy appartient à H pour tous x,y∈H.
Contenir l’élément neutre de G et être stable par produit et par inverse.
Contenir un élément neutre distinct de celui de G et être stable par produit.

Contenir l’élément neutre de G et être stable par produit et par inverse.

Explication

Un sous-groupe contient l’élément neutre du groupe ambiant et est stable par produit et par inverse. La stabilité par produit seule ne suffit pas, et un sous-groupe n’a pas à contenir tous les éléments de G.

45. Le sous-groupe cyclique engendré par un élément g d’un groupe est :

L’ensemble des éléments de la forme kgkg, où k∈Zk\in\mathbb{Z}.
L’ensemble des puissances négatives de g.
Le sous-groupe noté ⟨g⟩={gk:k∈Z}\langle g\rangle=\{g^k:k\in\mathbb{Z}\}.
L’ensemble des puissances entières de g.
L’ensemble des éléments de la forme gkg^k, où k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Le sous-groupe noté $$\langle g\rangle=\{g^k:k\in\mathbb{Z}\}$$. · L’ensemble des puissances entières de g. · L’ensemble des éléments de la forme $$g^k$$, où $$k\in\mathbb{Z}$$.

Explication

Le sous-groupe cyclique engendré par g comprend toutes ses puissances entières, avec des exposants dans Z\mathbb{Z}. Il comprend aussi bien les puissances négatives que positives, et sa définition utilise des puissances de groupe plutôt que des multiples additifs écrits kgkg.

46. Concernant la définition d’un homomorphisme entre groupes :

Les lois utilisées dans la relation peuvent être différentes dans les deux groupes.
L’image du produit est calculée avec la loi du groupe d’arrivée.
La relation de préservation de la loi concerne tous les éléments du groupe de départ.
Un homomorphisme préserve la loi en envoyant le produit de deux éléments sur le produit de leurs images.
Un homomorphisme envoie le produit de deux éléments sur la somme de leurs images.

Les lois utilisées dans la relation peuvent être différentes dans les deux groupes. · L’image du produit est calculée avec la loi du groupe d’arrivée. · La relation de préservation de la loi concerne tous les éléments du groupe de départ. · Un homomorphisme préserve la loi en envoyant le produit de deux éléments sur le produit de leurs images.

Explication

La propriété est f(x⋆₁y)=f(x)⋆₂f(y) pour tous x et y, avec la loi propre à chaque groupe. Remplacer la loi d’arrivée par une somme n’est pas la définition générale.

47. Parmi les propositions suivantes concernant le noyau d’un homomorphisme, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

Le noyau comprend les éléments du groupe de départ dont l’image est l’élément neutre de départ.
Le noyau regroupe les éléments du groupe de départ dont l’image est l’élément neutre d’arrivée.
Le noyau regroupe les éléments du groupe d’arrivée envoyés sur l’élément neutre de départ.
Le noyau est un ensemble défini à partir des éléments du groupe de départ.
Le noyau est un ensemble défini à partir des éléments du groupe d’arrivée.

Le noyau regroupe les éléments du groupe de départ dont l’image est l’élément neutre d’arrivée. · Le noyau est un ensemble défini à partir des éléments du groupe de départ.

Explication

Le noyau est constitué d’éléments du groupe de départ dont l’image est le neutre du groupe d’arrivée. Il ne se définit pas comme un sous-ensemble du groupe d’arrivée, contrairement à l’image.

48. À propos de l’image et du noyau d’un homomorphisme :

Un homomorphisme est injectif lorsque son image se réduit au neutre.
L’image d’un homomorphisme est un sous-groupe du groupe de départ.
L’image d’un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d’arrivée.
Le noyau d’un homomorphisme est un sous-groupe du groupe de départ.
Un homomorphisme est injectif lorsque son noyau contient plusieurs éléments.

L’image d’un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d’arrivée. · Le noyau d’un homomorphisme est un sous-groupe du groupe de départ.

Explication

L’image et le noyau sont des sous-groupes de leurs groupes respectifs, l’image dans le groupe d’arrivée et le noyau dans celui de départ. L’injectivité équivaut à un noyau réduit à l’identité, et non à un noyau comportant plusieurs éléments.

49. Soient H et N des sous-groupes normaux de G avec H⊂N. Concernant les quotients associés :

(G/H)/(N/H) est isomorphe à G/H lorsque H⊂N sont normaux dans G.
N/H est un sous-groupe normal de G/N lorsque H⊂N sont normaux dans G.
H est un sous-groupe normal de N lorsque H⊂N et H est normal dans G.
N/H est un sous-groupe normal de G/H lorsque H⊂N sont normaux dans G.
(G/H)/(N/H) est isomorphe à N/H lorsque H⊂N sont normaux dans G.

H est un sous-groupe normal de N lorsque H⊂N et H est normal dans G. · N/H est un sous-groupe normal de G/H lorsque H⊂N sont normaux dans G.

Explication

Les inclusions et normalités données impliquent H◁N et N/H◁G/H. Le quotient successif (G/H)/(N/H) est isomorphe à G/N, pas à G/H ni à N/H.

50. Pour un entier d divisant n, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant le quotient cyclique :

Le groupe obtenu par ce quotient est cyclique d’ordre d.
Le quotient s’identifie, à isomorphisme près, à ℤ/dℤ.
La condition d|n permet de considérer dℤ/nℤ comme sous-groupe de ℤ/nℤ.
Le quotient de ℤ/nℤ par dℤ/nℤ est isomorphe à ℤ/dℤ.
Le quotient de ℤ/nℤ par dℤ/nℤ est isomorphe à ℤ/nℤ.

Le groupe obtenu par ce quotient est cyclique d’ordre d. · Le quotient s’identifie, à isomorphisme près, à ℤ/dℤ. · La condition d|n permet de considérer dℤ/nℤ comme sous-groupe de ℤ/nℤ. · Le quotient de ℤ/nℤ par dℤ/nℤ est isomorphe à ℤ/dℤ.

Explication

Pour d divisant n, on a (ℤ/nℤ)/(dℤ/nℤ)≃ℤ/dℤ, qui est cyclique d’ordre d. Il ne s’identifie donc pas à ℤ/nℤ en général.

51. Concernant le groupe symétrique Sₙ :

Sₙ est formé des bijections de {1,…,n} dans lui-même, avec la composition.
L’ordre du groupe symétrique Sₙ est 2n.
L’ordre du groupe symétrique Sₙ est n!.
La composition constitue la loi de groupe sur les permutations de Sₙ.
Sₙ est formé des applications de {1,…,n} dans lui-même, avec l’addition.

Sₙ est formé des bijections de {1,…,n} dans lui-même, avec la composition. · L’ordre du groupe symétrique Sₙ est n!. · La composition constitue la loi de groupe sur les permutations de Sₙ.

Explication

Sₙ est le groupe des bijections de {1,…,n} dans lui-même, muni de la composition, et son ordre vaut n!. L’ordre 2n caractérise ici le groupe diédral Dₙ, non Sₙ.

52. Un cycle (a₁ a₂ … aₖ) agit sur ses éléments de la manière suivante :

Les éléments qui ne figurent pas dans le cycle sont fixés par cette permutation.
Le cycle décrit les images successives des éléments indiqués entre parenthèses.
L’action du cycle referme la succession en envoyant aₖ sur a₁.
Chaque élément aᵢ est envoyé sur l’élément suivant aᵢ₊₁ dans le cycle.
Le dernier élément aₖ est envoyé sur le premier élément a₁ du cycle.

Les éléments qui ne figurent pas dans le cycle sont fixés par cette permutation. · Le cycle décrit les images successives des éléments indiqués entre parenthèses. · L’action du cycle referme la succession en envoyant aₖ sur a₁. · Chaque élément aᵢ est envoyé sur l’élément suivant aᵢ₊₁ dans le cycle. · Le dernier élément aₖ est envoyé sur le premier élément a₁ du cycle.

Explication

Par définition, le cycle envoie chaque aᵢ sur aᵢ₊₁, puis aₖ sur a₁, et fixe les autres éléments. Les propositions décrivent ces aspects de la même action.

53. Un polygone régulier possède n côtés. Quelles sont les caractéristiques de son groupe diédral Dₙ ?

Les éléments de Dₙ décrivent des symétries d’un polygone régulier à n côtés.
Le groupe diédral Dₙ comprend 2n rotations du polygone régulier considéré.
L’ordre du groupe diédral Dₙ est 2n pour un polygone régulier à n côtés.
Le groupe diédral Dₙ comprend n rotations du polygone régulier considéré.
Le groupe diédral Dₙ comprend n réflexions axiales du polygone régulier considéré.

Les éléments de Dₙ décrivent des symétries d’un polygone régulier à n côtés. · L’ordre du groupe diédral Dₙ est 2n pour un polygone régulier à n côtés. · Le groupe diédral Dₙ comprend n rotations du polygone régulier considéré. · Le groupe diédral Dₙ comprend n réflexions axiales du polygone régulier considéré.

Explication

Dₙ regroupe les symétries du polygone : il comprend n rotations et n réflexions axiales, soit un ordre total de 2n. Il n’y a pas 2n rotations.

Révisez avec les flashcards

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Qu’est-ce qu’un ensemble en mathématiques ?

Une collection d’objets mathématiques réunis selon une propriété d’appartenance.

À quelle condition deux ensembles sont-ils égaux ?

Chacun est inclus dans l’autre.

Qu’est-ce qui ne change pas l’ensemble décrit par ses éléments ?

L’ordre des éléments et leurs répétitions.

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