Fiche de révision : Analyse des fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Forme canonique
3. Méthode de mise en forme canonique
4. Variations du trinôme
5. Extremum du trinôme
6. Parabole et axe de symétrie
7. Représentation graphique

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par une expression du type $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq 0$.
• Trinôme : Terme utilisé pour désigner une fonction polynôme du second degré.
• Coefficient directeur a : Coefficient réel devant $x^2$ qui fixe le degré réel et influence le sens des variations via son signe.

📝 Points essentiels

• Si $a\neq 0$, alors l’expression $ax^2+bx+c$ définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ.
• Une fonction du premier degré (affine) s’écrit par exemple comme $mx+b$ et n’est pas du second degré.
• Un polynôme de degré 4, comme $5x^4-7x^2+3x-8$, n’est pas un trinôme car son degré n’est pas 2.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ décide tout : $a>0$ en forme de “U”, $a<0$ en forme de “∩”.

📖 2. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture d’une fonction du second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels.
• Sommet (α ; β) : Coordonnées $(\alpha;\beta)$ associées à la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, et où se situe l’extrémum.
• Paramètres α et β : Réels qui positionnent le carré parfait et la valeur associée dans l’écriture canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

• Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ admet une écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Dans la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la valeur de $f$ au point $x=\alpha$ est égale à $\beta$.
• L’exemple $2x^2-20x+10$ se met en canonique en obtenant $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

Canonique = carré parfait $a(x-\alpha)^2$ plus un “reste” $\beta$.

📖 3. Méthode de mise en forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré parfait : Transformation qui permet d’écrire $x^2+px$ sous la forme $(x+\frac p2)^2-\frac{p^2}{4}$ avant de regrouper avec les constantes.
• Déterminer α : Calcul de la valeur alpha pour centrer le carré parfait dans l’expression $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Déterminer β : Calcul de beta pour obtenir la bonne valeur finale après la mise sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, on utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}$ pour centrer le carré parfait.
• On obtient ensuite $\beta=f(\alpha)$ pour compléter l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• La méthode sur $f(x)=2x^2-20x+10$ donne d’abord $x-5$ comme terme centré, puis la constante $-40$.

💡 Astuce mémo

Étapes rapides : $\alpha=-\frac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$.

📖 4. Variations du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de a : Information provenant du coefficient devant $x^2$ qui détermine le “sens” de la parabole et donc les variations.
• Point d’inflexion des variations : Le centre $x=\alpha$ où la fonction change de comportement en décroissance puis croissance ou l’inverse.
• Variations d’une fonction : Description du fait que $f(x)$ augmente ou diminue selon l’intervalle de $x$ considéré.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la fonction est d’abord décroissante puis croissante avec un minimum au niveau $x=\alpha$.
• Si $a<0$, la fonction est d’abord croissante puis décroissante avec un maximum au niveau $x=\alpha$.
• Le lien “début du développement” permet de voir que $(x-\alpha)^2$ engendre la même structure que $x^2-2\alpha x+\alpha^2$.

💡 Astuce mémo

$a>0$ : décroît puis croît (😊), $a<0$ : croît puis décroît (☹).

📖 5. Extremum du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Valeur maximale ou minimale atteinte par la fonction selon le signe de $a$.
• Minimum : Extremum lorsque la parabole s’ouvre vers le haut, donc pour $a>0$.
• Maximum : Extremum lorsque la parabole s’ouvre vers le bas, donc pour $a<0$.
• Sommet : Point $(\alpha;\beta)$ associé à l’extrémum dans la représentation canonique.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a>0$ alors $f$ admet un minimum en $x=\alpha$ égal à $\beta$.
• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a<0$ alors $f$ admet un maximum en $x=\alpha$ égal à $\beta$.
• Dans l’exemple $f(x)=2(x-1)^2+3$, on a $2(x-1)^2\ge 0$ donc $f(x)\ge 3$ et le minimum vaut $3$ en $x=1$.
• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Comme $(x-\alpha)^2\ge 0$, le minimum vient “au centre” quand $a>0$ et le maximum quand $a<0$.

📖 6. Parabole et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
• Sommet (parabole) : Point $(\alpha;\beta)$ où la parabole atteint son extremum.
• Axe de symétrie : Droite verticale qui partage la parabole en deux images symétriques.

📝 Points essentiels

• La parabole associée à $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ a pour sommet le point $(\alpha;\beta)$ et pour extremum la valeur $\beta$.
• L’axe de symétrie de la parabole est la droite $x=\alpha$.
• Pour $f(x)=2x^2-12x+1$, on trouve $\alpha=3$ et $\beta=f(3)=-17$, donc le sommet est $(3;-17)$ et l’axe est $x=3$.

💡 Astuce mémo

Sommet $(\alpha;\beta)$ donc axe : même $\alpha$, droite $x=\alpha$.

📖 7. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ lorsque $x$ parcourt ℝ.
• Symétrie par rapport à l’axe : Propriété qui permet de déduire des points de la courbe à partir d’autres via la droite $x=\alpha$.
• Caractéristiques d’une parabole : Ensemble des informations utiles pour tracer : sommet et axe, puis quelques points pour la courbe.

📝 Points essentiels

• Pour représenter $f(x)=ax^2+bx+c$, on commence par la forme canonique pour obtenir $\alpha$ et $\beta$.
• Sur $f(x)=-x^2+4x$, la forme canonique est $f(x)=-(x-2)^2+4$, donc il y a un maximum en $x=2$ égal à $4$.
• Pour $f(x)=-x^2+4x$, on trace par exemple $f(0)=0$ et $f(1)=3$, puis on complète par symétrie autour de $x=2$.

💡 Astuce mémo

On trace 2-3 points d’un côté puis on “miroite” de l’autre côté de $x=\alpha$.

📊 Tableaux de synthèse

Variations selon le signe de a

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction affine et trinôme : $mx+b$ (degré 1) n’a pas de forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
2. Se tromper dans $\alpha=-\frac{b}{2a}$ en oubliant le signe de $b$ ou le $2a$ au dénominateur.
3. Prendre $\beta$ comme $c$ : en canonique, $\beta$ correspond à $f(\alpha)$ et dépend de $a,b,c.
4. Oublier que l’axe de symétrie est $x=\alpha$ et tracer une droite avec la valeur $\beta$.
5. Croire que l’extremum est atteint au hasard : il se produit exactement au sommet, donc pour $x=\alpha$.
6. Mélanger variations et ouverture : $a>0$ correspond à une parabole en “U” et donc à un minimum, pas un maximum.

✅ Checklist Examen

1. Reconnaître une fonction polynôme du second degré et vérifier que $a\neq 0$ dans $ax^2+bx+c$.
2. Transformer $ax^2+bx+c$ en forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ en utilisant $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
3. Calculer correctement $\beta=f(\alpha)$ une fois $\alpha$ trouvé.
4. Déterminer l’extremum : minimum si $a>0$ et maximum si $a<0$, avec valeur égale à $\beta$.
5. Donner les coordonnées du sommet $(\alpha;\beta)$ à partir de la forme canonique.
6. Écrire l’équation de l’axe de symétrie : $x=\alpha$.
7. Établir le sens des variations : décroissante puis croissante si $a>0$, sinon l’inverse.
8. Représenter graphiquement en traçant quelques points $(x,f(x))$ et en complétant par symétrie par rapport à $x=\alpha$.