f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0
Explication
Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme ax^2+bx+c avec a non nul. Une expression affine comme mx+b est de degré 1, pas de degré 2.
Parce que son degré est 4 et non 2
Explication
Un trinôme du second degré doit être de degré 2. Ici, le terme de plus haut degré est x^4, donc ce n’est pas une fonction du second degré.
f(x)=a(x-b1)^2+b2
Explication
La forme canonique d’un trinôme est a(x-b1)^2+b2. Elle met en évidence le sommet et l’extrémum de la parabole.
b2
Explication
Quand x=b1, le terme carré s’annule, donc f(b1)=b2. C’est précisément le point du sommet en forme canonique.
b1=-b/(2a)
Explication
La valeur b1=-b/(2a) sert à compléter le carré et à recentrer l’expression. Elle dépend à la fois de b et de a.
On calcule b2=f(b1)
Explication
Après avoir déterminé b1, on remplace x par b1 dans la fonction pour obtenir b2=f(b1). Cette valeur complète l’écriture canonique.
Elle décroît puis croît
Explication
Si a>0, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît avant b1 puis croît après b1. Le point x=b1 correspond alors à un minimum.
La fonction croît puis décroît
Explication
Lorsque a<0, la parabole est tournée vers le bas. La fonction croît jusqu’à x=b1 puis décroît ensuite.
Un minimum
Explication
Si a>0, la parabole s’ouvre vers le haut, donc l’extrémum est un minimum. Il est atteint en x=b1 et vaut b2.
L’extrémum est un maximum égal à b2
Explication
Quand a<0, la parabole est ouverte vers le bas, donc l’extrémum est un maximum. Il est atteint au sommet, en x=b1, et sa valeur est b2.
La droite $x=\alpha$
Explication
L’axe de symétrie d’une parabole en forme canonique est la droite verticale d’équation $x=\alpha$. La valeur $\beta$ correspond à l’ordonnée du sommet, pas à l’axe.
$(3\,;\,-17)$
Explication
On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot 2}=3$, puis $\beta=f(3)=2\cdot 9-36+1=-17$. Le sommet est donc $(3\,;\,-17)$.
$f(x)=-(x-2)^2+4$
Explication
La forme canonique met en évidence le sommet et l’axe de symétrie, ce qui facilite le tracé. Ici, $f(x)=-(x-2)^2+4$ montre directement un sommet en $(2\,;\,4)$.
On reporte leurs symétriques de l’autre côté de la droite $x=\alpha$
Explication
La parabole est symétrique par rapport à l’axe $x=\alpha$, donc les points trouvés d’un côté se complètent par leurs symétriques. Relier par des segments donnerait une figure anguleuse, pas une parabole.
Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Analyse des fonctions polynômes du second degré.
Fonction polynôme du second degré — définition ?
Fonction de la forme $ax^2+bx+c$, avec $a eq 0$.
Trinôme — terme utilisé pour ?
Une fonction polynôme du second degré.
Coefficient directeur a — rôle ?
Détermine la concavité et le sens des variations.
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