Fiche de révision : Analyse des fonctions réelles et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Étude des fonctions réelles
2. Ensembles de nombres réels
3. Image et restriction d’une fonction
4. Fonctions usuelles
5. Parité, impairs et symétries
6. Périodicité des fonctions
7. Injectivité et fonctions réciproques
8. Limites et comportements asymptotiques
9. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
10. Dérivées, monotonie et extrema
11. Développements limités et primitives

📖 1. Étude des fonctions réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Le domaine de définition est l’ensemble des réels $x$ pour lesquels l’expression $f(x)$ a un sens.
• Graphe d’une fonction : Le graphe d’une fonction est l’ensemble des points $(x,f(x))$ avec $x$ parcourant le domaine de définition.
• Restriction d’une fonction : La restriction d’une fonction à un sous-ensemble $A$ du domaine garde la même règle $x\mapsto f(x)$ mais sur le domaine $A$ seulement.
• Image d’une fonction : L’image d’une fonction est l’ensemble des valeurs réellement atteintes par $f$ quand $x$ parcourt son domaine.
• Fonction paire : Une fonction est paire si elle vérifie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de son domaine.

📝 Points essentiels

• On étudie une fonction réelle $f$ en particulier via son domaine, ses symétries ou périodicités, ses limites et son comportement asymptotique, puis via la dérivée et les variations, et enfin via les primitives pour calculer des intégrales.
• On peut choisir librement le domaine d’arrivée $F$ (on prend souvent $F=\mathbb{R}$), alors que le domaine de définition $D_f$ est imposé par la formule de $f(x)$.
• Pour la composée $h(x)=g(f(x))$, le domaine de définition maximal est $D_h=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$.
• Si $f$ est impaire et $0\in D_f$, alors $f(0)=0$ et la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
• Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$ et celui d’une fonction impaire est invariant par symétrie centrale de centre $O$.
• Si $f$ est périodique de période $T$, alors on peut reconstruire le graphe à partir d’un intervalle de longueur $T$, par translations horizontales de longueurs $nT$ avec $n\in\mathbb{Z}$.

💡 Astuce mémo

Paire = miroir (Oy) : $f(-x)=f(x)$ ; Impaire = demi-tour (O) : $f(-x)=-f(x)$ ; Périodique = répétition : $f(x+T)=f(x)$.

📖 2. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des réels R : Ensemble de référence où toutes les fonctions et intervalles du cours vivent.
• Ensemble des rationnels Q : Ensemble des nombres qui s’écrivent comme un quotient de deux entiers.
• Ensemble des entiers relatifs Z : Ensemble des nombres entiers positifs, négatifs et nuls.
• Ensemble des entiers naturels N : Ensemble des entiers de Z pour lesquels la valeur est ≥ 0.
• Réels positifs ou nuls R+ : Sous-ensemble de R constitué des réels ≥ 0, noté aussi [0,+∞[.

📝 Points essentiels

• $N=\{x\in Z\mid x\ge 0\}$ définit les entiers naturels.
• $R^+=[0,+\infty[$ et $R^-]= -\infty,0]$ séparant positifs/négatifs avec zéro inclus.
• $R^*=\{x\in R\mid x\ne 0\}=]-\infty,0[\cup]0,+\infty[$, donc $R^*+=]0,+\infty[$ et $R^*-=]-\infty,0[$.
• Le cours utilise aussi la notation $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{N}$ pour les notations standards d’ensemble de base.

📖 3. Image et restriction d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine maximal d’une composée : Le domaine maximal d’une composée $g\circ f$ est l’ensemble des $x$ de $Df$ pour lesquels $f(x)$ appartient au domaine de $g$, donc pour lesquels l’expression a un sens.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire quand, pour tout $x$ de son domaine, la valeur en $-x$ est l’opposée de celle en $x$.

📝 Points essentiels

• La composée $g\circ f$ est définie sur $Dh=\{x\in Df\mid f(x)\in Dg\}$ et vérifie $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ pour tout $x\in Dh$.
• Pour $h(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$, on impose $x^2-3x+2\ge 0$ ; comme $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, on obtient $Dh=]-\infty,1]\cup[2,+\infty[$.
• Si $f$ est paire, le graphe sur $Df\cap\mathbb{R}^+$ se complète sur $Df$ par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées $x=0$.
• Si $f$ est impaire, le graphe sur $Df\cap\mathbb{R}^+$ se complète sur $Df$ par symétrie centrale de centre $O(0,0)$.

💡 Astuce mémo

Pour $g\circ f$, on garde seulement les $x$ tels que $f(x)$ “tombe” dans le domaine de $g$, sinon la composée n’a pas de sens.

📖 4. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction tangente : La tangente est la fonction définie par $\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ quand $\cos(\theta)\neq 0$.
• Période d’une fonction : La période d’une fonction est une valeur $T>0$ telle que, pour tout $x$ du domaine, $f(x+T)=f(x)$.
• Symétrie du graphe : Une symétrie du graphe correspond à un changement (par exemple $x\mapsto a+(x-a)$ ou échange des coordonnées) qui laisse le tracé invariant.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est $T$-périodique et que $\Gamma_f$ admet une symétrie par rapport à $x=a$ ou au point $(a,b)$, on réduit l’étude à $[a,a+T/2]\cap D_f$, puis on reconstruit par symétrie et périodicité de période $T$.
• Si la restriction à $[a,a+T/2]\cap D_f$ présente encore une symétrie, on réduit encore à $[a,a+T/4]\cap D_f$ puis on complète jusqu’à $[a,a+T/2]\cap D_f$.
• Le domaine de définition de la tangente est $D_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\;\middle|\;k\in\mathbb{Z}\right\}$, c’est-à-dire \left[-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right selon la décomposition indiquée dans le cours.
• La tangente est impaire et vérifie $\tan(-\theta)=-\tan(\theta)$ grâce à la parité de $\sin$ et $\cos$.
• La tangente est $\pi$-périodique et son étude suffit sur $[0,\pi/2[\cap D_{\tan}$, où $\tan$ croît strictement de $0$ vers $+\infty$.
• L’image de la tangente est $\mathrm{Im}(\tan)=\mathbb{R}$ et elle n’admet pas de période strictement plus petite que $\pi$.

💡 Astuce mémo

Tan = signe inversé et répétition : impaire + période $\pi$ (une “branche” sur $[0,\pi/2[$ suffit).

📖 5. Parité, impairs et symétries

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction x ↦ xn : Une application qui élève x à la puissance n, dont la bijectivité dépend de la parité de n sur l’ensemble de départ considéré.
• Restriction à R+ : Limitation d’une fonction à l’ensemble des réels positifs, utilisée ici pour récupérer une bijection quand la parité casse la symétrie sur R.
• Exponentielle rationnelle xα : Définition de la fonction x ↦ xα pour α = p/q irréductible, avec un domaine qui dépend de la parité de q.

📝 Points essentiels

• Si n ∈ N* est pair, la fonction x ↦ xn n’est pas bijective de R vers R, mais elle l’est de R+ vers R+.
• Pour α = p/q irréductible, on pose xα = (x1/q)p sur R+ si q est pair, et sur R si q est impair.
• Pour tout x > 0, quel que soit p/q irréductible, on a xα = eα ln(x).

💡 Astuce mémo

q pair : “racine carrée/à paires” impose x ≥ 0 ; q impair : la racine conserve un sens sur R (donc domaine R).

📖 6. Périodicité des fonctions

📖 7. Injectivité et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Une fonction est injective si deux valeurs distinctes de l’entrée donnent deux valeurs distinctes en sortie.
• Bijection : Une bijection est une fonction à la fois injective et surjective, donc chaque valeur de l’arrivée correspond à une unique antécédent.
• Fonction réciproque : La fonction réciproque échange les rôles entrée et sortie d’une bijection, en associant à chaque valeur son unique antécédent.

📝 Points essentiels

• Si $f:I\to\mathbb{R}$ est continue sur un intervalle $I$ et strictement monotone, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$.
• Dans ce cas, la réciproque $f^{-1}:f(I)\to I$ est continue et strictement monotone, avec le même sens de variation que $f$.
• Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence de solutions, tandis que la stricte monotonie (via la bijection) garantit leur unicité.
• Les fonctions $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$ s’obtiennent comme réciproques de fonctions continues strictement monotones sur leurs domaines, ce qui justifie leur existence et leur monotonie.

💡 Astuce mémo

Monotone continue sur un intervalle = bijection : une valeur y donne un seul x, donc la réciproque existe et garde la monotonie.

📖 8. Limites et comportements asymptotiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Voisinage épointé : En un point $x_0$, c’est un ensemble du type $V\setminus\{x_0\}$, où $V$ est un voisinage de $x_0$, pour étudier le comportement autour de $x_0$ sans exiger la définition en $x_0$.
• Développement limité généralisé : C’est une écriture asymptotique où $f(x)$ est approchée par un polynôme en $(x-x_0)$ (avec éventuellement une partie en puissance négative), plus un reste négligeable, sur un voisinage épointé de $x_0$.
• Asymptote : C’est la courbe du type déterminée par la partie polynomiale principale du développement généralisé, vers laquelle le graphe de $f$ se rapproche au voisinage de $x_0$.
• Asymptote oblique : Sur $+\infty$, c’est une asymptote de forme $y=b_1x+a_0$ obtenue quand le terme principal du développement généralisé en $+\infty$ est de degré $1$.

📝 Points essentiels

• Dans un développement limité généralisé en $x_0$, l’asymptote est donnée par le polynôme $bp(x-x_0)^p+\cdots+b_1(x-x_0)+a_0$, et sa position relative se détermine en étudiant le signe du premier terme non nul $a_q(x-x_0)^q$.
• Pour préciser la place exacte du graphe par rapport à l’asymptote, on prend $q\ge1$ le plus petit entier tel que $a_q\neq0$, puis on étudie le signe de $a_q(x-x_0)^q$ dans un voisinage de $x_0$.
• En particulier, pour $f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x}$ au voisinage de $0$, le graphe a pour asymptotes la droite verticale $x=0$ et l’hyperbole $y=\dfrac{1}{x}$.
• Dans l’exemple précédent, le terme suivant $-\dfrac{x}{2}$ force que pour $x>0$ assez proche de $0$, le graphe de $\dfrac{\cos(x)}{x}$ est situé en-dessous de l’hyperbole $y=\dfrac{1}{x}$.
• Quand $f$ admet un développement généralisé en $+\infty$, le reste est de l’ordre $o(1/x^n)$ et l’asymptote est fournie par $bp\,x^p+\cdots+b_1x+a_0$.
• Si dans ce cadre on a $p=1$, alors l’asymptote à $+\infty$ est oblique et s’écrit $y=b_1x+a_0$.

💡 Astuce mémo

Premier coefficient non nul après le terme principal ⇒ signe ⇒ au-dessus ou au-dessous de l’asymptote.

📖 9. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation de Landau : Notation d’approximation décrivant un reste qui devient négligeable quand l’entrée tend vers un point, notée o((x−x0)^n).
• Continuité d’ordre 0 : Cas n=0 du Taylor–Young : la forme f(x)=f(x0)+o(1) équivaut à la continuité de f en x0.
• Formule de Taylor–Young : Théorème liant la dérivabilité d’ordre n au développement limité en x0 avec un reste o((x−x0)^n).

📝 Points essentiels

• Si f admet un développement limité en x0 de la forme f(x)=Pn(x)+o((x−x0)^n), alors le polynôme Pn est unique à l’ordre n.
• Pour n=0, la formule de Taylor–Young donne f(x)=f(x0)+o(1) et équivaut à lim_{x→x0}(f(x)−f(x0))=0, donc à la continuité en x0.
• Pour n=1, Taylor–Young donne f(x)=f(x0)+f'(x0)(x−x0)+o(x−x0), équivalant à lim_{x→x0}((f(x)−f(x0))/(x−x0)−f'(x0))=0, donc à la dérivabilité en x0.

💡 Astuce mémo

Taylor–Young : n=0 → continuité, n=1 → dérivabilité (le reste o((x−x0)^n) devient assez petit).

📖 10. Dérivées, monotonie et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Point ordinaire : Un point ordinaire est un point où la courbe coupe sa tangente sans « se retourner » localement.
• Point d’inflexion : Un point d’inflexion est un point où la courbe change de concavité au voisinage immédiat, ce qui entraîne une position relative particulière par rapport à la tangente.
• Contact d’ordre : Deux courbes ont un contact d’ordre n quand leurs écarts sont d’ordre supérieur à n près du point, ce qui se lit sur le premier terme non nul du développement.

📝 Points essentiels

• La position relative de la courbe et de sa tangente se détermine uniquement dans un voisinage de l’abscisse considérée, pas ailleurs.
• Si $f(x)$ admet en $x_0$ un DL d’ordre $n+k$ avec $a_n\neq 0$ et que le premier terme non nul après $P_n$ est $a_{n+k}(x-x_0)^{n+k}$, alors le signe de $a_{n+k}(x-x_0)^{n+k}$ fixe si la courbe est au-dessus ou au-dessous de $P_n$ près de $x_0$.
• Pour $\cos(x)$ en $\pi/2$, le graphe traverse sa tangente : il est sous la tangente à gauche et au-dessus à droite, ce qui caractérise un point d’inflexion en $(\pi/2,0)$.
• Pour $\exp(x)$ en $1$, le graphe est au-dessus de sa tangente $y=e+e(x-1)$ car le terme suivant du DL vaut $\frac{e}{2}(x-1)^2>0$.
• Le contact avec une approximation polynomiale $P_n$ issu d’un DL d’ordre $n+k$ est d’ordre $n+k-1$ (dans le voisinage du point).
• Pour $\cos(x)$ en $0$, le contact d’ordre 3 avec la parabole $y=1-\frac{x^2}{2}$ vient de l’expression $\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$ et du signe positif de $\frac{x^4}{24}$ près de 0.

💡 Astuce mémo

DL→signe : le 1er terme « après » l’approximation (celui de coefficient $a_{n+k}$) décide AU-DESSUS vs AU-DESSOUS, et son changement de signe provoque souvent un point d’inflexion.

📖 11. Développements limités et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante additive : Une primitive d’une fonction est définie à une constante près, car l’intégration ne fixe pas la valeur exacte du résultat.
• Changement de variable : Le changement de variable transforme une intégrale en remplaçant une expression par une fonction composée afin de réutiliser une primitive déjà connue.
• Intégration par parties : L’intégration par parties exprime l’intégrale d’un produit à l’aide d’un produit évalué puis d’une intégrale plus simple.
• Décomposition en éléments simples : Toute fraction rationnelle se décompose en une somme de fractions de formes standard (éléments simples) dont les primitives sont calculables.

📝 Points essentiels

• Une primitive trouvée via une identité du type arsin(x)= -arccos(x)+cte ne reste valable que sur un intervalle I contenu dans ]-1,+1[ où les fonctions sont définies correctement.
• Si $F$ est une primitive de $f$ et si $g$ est dérivable sur $I$, alors 7 f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+ ext{cte} pour $x\in I$.
• Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $I$, alors 7 f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-7 f'(x)g(x)dx.
• Toute fraction rationnelle $r(x)=p(x)/q(x)$, avec $q$ factorisé en facteurs linéaires et irréductibles quadratiques, s’écrit comme une somme d’éléments simples plus un polynôme.
• Pour un élément simple du type $Ax^n$ ($A\neq0$), 7 Ax^n dx=\dfrac{A}{n+1}x^{n+1}+ ext{cte}, et pour $A(x-a)^n$ avec $n\in\mathbb N^*\setminus\{1\}$, 7 A(x-a)^n dx=\dfrac{A}{n+1}(x-a)^{n+1}+ ext{cte} (et pour $n=1$ on obtient un logarithme).
• Si $f(x)=\dfrac{x-3}{x^2-4x+5}$ (discriminant $\Delta=-4<0$), alors $\u00187 f(x)dx=\dfrac12\ln(x^2-4x+5)-\arctan(x-2)+\text{cte}$.

📊 Tableaux de synthèse

Parité : propriétés graphiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre domaine de définition Df (imposé par l’expression) et domaine d’arrivée F (choix possible, souvent R).
2. Oublier de filtrer la composition g∘f : Dh={x∈Df | f(x)∈Dg}, sinon la composée n’a pas de sens.
3. Penser que f(−x) = −f(x) suffit pour être impaire sans vérifier l’inclusion de −x dans le domaine (Df symétrique par rapport à 0).
4. Croire que la somme de deux fonctions périodiques est toujours périodique : il faut la commensurabilité des périodes (hypothèse T1/T2∈Q).
5. Mélanger « limite à gauche/à droite » : une seule limite n’existe pas si les deux limites diffèrent.
6. En équivalents, croire que f−g→0 suffit : il faut f=(1+ε)g avec ε→0 (et g ne doit pas s’annuler).
7. Pour DL : décider le “dessus/dessous” ou le “traverse” uniquement avec le premier terme non nul après l’approximation (signe de a_{n+k}(x−x0)^{n+k}).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir domaine Df, domaine d’arrivée F (souvent pris égal à R), graphe Γf et image Im(f), puis donner la restriction f|A et son graphe sur A.
2. Savoir composer deux fonctions et déterminer le domaine maximal Dh={x∈Df|f(x)∈Dg}, puis calculer (g∘f)(x).
3. Appliquer les symétries : si f est paire/impair, reconstituer Γf à partir de Df∩R+ par symétrie axiale/centrale (et vérifier les conditions sur le domaine).
4. Déterminer les périodes et restreindre l’étude : si période T et symétrie en x=a ou (a,b), réduire à [a,a+T/2] (et éventuellement encore à T/4) puis reconstruire par symétrie et périodicité.
5. Maîtriser la fonction tangente : domaine de définition, impaire, π-périodique, image Im(tan)=R et étude sur [0,π/2[∩Dtan.
6. Pour injection/surjection/bijection : savoir utiliser la caractérisation par le nombre d’antécédents (≤1, ≥1, exactement 1) et donner des exemples de restrictions (carré, exp, sin, tan).
7. Construire et lire les fonctions réciproques : vérifier bijection, comprendre que Γ_{f^{-1}} est le symétrique de Γ_f par rapport à y=x, et utiliser les arcsin/arccos/arctan comme réciproques.
8. Faire des limites : écrire correctement une limite finie, infinie, à droite/gauche, utiliser unicité et encadrement, et savoir reconnaître les asymptotes verticales/horizontales.
9. Utiliser les équivalents : vérifier f∼g à un point par f/g→1, appliquer les règles de passage aux limites (produits/quotients) et attention au cas somme.
10. Étudier continuité et dérivabilité : savoir appliquer les théorèmes (valeurs intermédiaires, valeurs extrêmes sur [a,b] fermé-borné, dérivabilité ⇒ continuité, théorème de la bijection).
11. Réaliser l’étude des variations et extrema via signe de f' (croissante/décroissante/constante) et via f'(c)=0 + test sur f'' (sauf cas indécidable f''=0).
12. Calculer avec des DL : connaître Taylor–Young (récupérer continuité n=0, dérivabilité n=1), utiliser le signe du premier terme non nul pour position relative à la tangente/asymptotes, et traiter les DL généralisés (asymptotes verticale/oblique, hyperbole).
13. Savoir calculer des primitives et des intégrales : définition, linéarité, relation de Chasles, et surtout théorème fondamental (aire = F(b)−F(a)), puis méthodes (linéarité, changement de variable, intégration par parties).
14. Calculer des primitives de fractions rationnelles via décomposition en éléments simples, puis appliquer les formules (monôme, éléments du 1er type, 2e type avec log/arctan selon le discriminant).