QCM : Analyse des fonctions réelles et leurs propriétés — 22 questions

Explication

Le domaine de définition est l’ensemble des réels x pour lesquels l’expression f(x) est bien définie. L’ensemble des valeurs prises par la fonction correspond à son image, pas à son domaine.

Explication

Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x), ce qui implique une symétrie du graphe par rapport à l’axe des ordonnées. La symétrie par rapport à la première bissectrice concerne plutôt une réciproque.

Explication

Les entiers relatifs regroupent les entiers négatifs, nuls et positifs. Les nombres écrits comme un quotient de deux entiers sont les rationnels.

Explication

R* désigne l’ensemble des réels différents de 0, soit ]-∞,0[ ∪ ]0,+∞[. R+ contient au contraire les réels positifs ou nuls.

Explication

La restriction conserve la même loi x↦f(x), mais on limite simplement le domaine à A. On ne change donc pas la formule de la fonction.

Explication

La composée g∘f n’a un sens que pour les x de Df dont l’image par f appartient au domaine de g. L’intersection de Df et Dg n’est pas le bon critère.

Explication

La tangente n’est pas définie lorsque cos(θ)=0, c’est-à-dire pour θ=π/2+kπ. Elle est bien définie ailleurs sur ℝ.

Explication

On a tan(-θ)=-tan(θ), donc la tangente est impaire, et elle vérifie aussi tan(θ+π)=tan(θ), donc elle est π-périodique. Son image est d’ailleurs tout ℝ.

Explication

Une fonction est impaire lorsque la valeur en -x est l’opposée de celle en x. La condition f(-x)=f(x) définit au contraire une fonction paire.

Explication

Si une fonction est à la fois paire et impaire, alors f(x)=f(-x) et f(x)=-f(-x), donc f(x)=0 pour tout x. La seule possibilité est donc la fonction nulle.

Explication

Une fonction est T-périodique si ajouter T à l’entrée ne change pas la valeur : f(x+T)=f(x). La relation f(-x)=f(x) décrit au contraire la parité, pas la périodicité.

Explication

Si une fonction est périodique de période T, son graphe se répète par translations horizontales de longueur nT, avec n entier. Les symétries concernent la parité, pas la périodicité en elle-même.

Explication

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective de I sur son image f(I). La stricte monotonie assure l’unicité de l’antécédent, et la continuité joue avec le théorème des valeurs intermédiaires pour l’existence.

Explication

La réciproque d’une bijection continue et strictement monotone est elle aussi continue et strictement monotone, avec le même sens de variation. Son graphe est symétrique par rapport à la droite y=x, et non à l’axe des ordonnées.

Explication

Quand le terme principal du développement généralisé à +∞ est de degré 1, l’asymptote est oblique et s’écrit y=b1x+a0. Une asymptote verticale concerne plutôt un voisinage d’un point fini.

Explication

La position relative se lit avec le premier terme non nul après la partie asymptotique : son signe indique si le graphe est au-dessus ou au-dessous. C’est ce terme qui gouverne le comportement local près de x0.

Explication

Pour n=0, Taylor–Young donne f(x)=f(x0)+o(1), ce qui équivaut à la continuité en x0. Le cas n=1 correspond, lui, à la dérivabilité.

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires entre deux valeurs qu’elle atteint. L’unicité ne vient pas de ce théorème, mais de la stricte monotonie.

Explication

Le signe de f' détermine si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur l’intervalle. En revanche, il ne donne pas directement la valeur exacte des extrema.

Explication

Au voisinage de π/2, la courbe de cosinus traverse sa tangente, en passant d’un côté à l’autre. Ce changement de position traduit un point d’inflexion.

Explication

Le positionnement du graphe par rapport à l’asymptote se lit avec le premier terme non nul après l’approximation principale. Son signe indique si la courbe est au-dessus ou au-dessous près du point étudié.

Explication

L’intégration par parties réécrit l’intégrale d’un produit à l’aide d’un produit évalué et d’une nouvelle intégrale souvent plus simple. Les autres propositions ne donnent pas directement cette transformation.