Fiche de révision : Analyse des Fréquences et Tableaux Croisés

📋 Plan du Cours

1. Fréquence marginale
2. Tableaux d’effectifs à deux variables
3. Fréquence conditionnelle
4. Calculs de fréquences dans un tableau
5. Intersection, union et interprétation

📖 1. Fréquence marginale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence marginale : La fréquence marginale d’une modalité est le quotient de l’effectif de cette modalité par l’effectif total de la population.
• Card(A) : Card(A) désigne le nombre d’individus appartenant à la sous-population A.
• Fréquence f(A) : La fréquence de A dans l’ensemble E est le rapport f(A)=Card(A)/Card(E).

📝 Points essentiels

• Si f(A) est connue, on retrouve Card(A) par Card(A)=f(A)×Card(E).
• Dans un tableau croisant deux variables A et B, les totaux correspondent aux Card(A) et Card(B) sur l’ensemble E.

💡 Astuce mémo

Marginale = rapport à tout (effectif de A sur effectif total).

📖 2. Tableaux d’effectifs à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau d’effectifs à deux entrées : Un tableau d’effectifs à deux variables croise deux caractères sur le même ensemble d’individus.
• Card(A∩B) : Card(A∩B) est l’effectif des individus qui vérifient à la fois A et B.
• Card(A∪B) : Card(A∪B) correspond à l’effectif des individus qui vérifient A ou B (au moins un des deux).

📝 Points essentiels

• Les lignes et colonnes donnent respectivement des totaux de sous-populations, comme Card(A) et Card(B), calculables à partir des cases.
• L’effectif total de la population est la somme des 4 effectifs des cases du tableau (intersection des deux sous-classes à chaque variable).

💡 Astuce mémo

Croisement à 4 cases : A/B et non A/non B ; chaque case est une intersection.

📖 3. Fréquence conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence conditionnelle fA(B) : La fréquence conditionnelle de B sachant A est le rapport fA(B)=Card(A∩B)/Card(A), avec Card(A)≠0.
• B parmi A : Dire B parmi A revient à considérer la proportion de B dans la sous-population A uniquement.
• A∩B dans A : Dans une lecture conditionnelle, Card(A∩B) est l’effectif compatible avec A et B simultanément.

📝 Points essentiels

• Si fA(B) est connue et Card(A) est connu, alors Card(A∩B)=fA(B)×Card(A).
• Deux notations équivalentes sont utilisées : fA(B) et l’expression B parmi A.

💡 Astuce mémo

Conditionnelle = rapport dans A (numérateur dans A∩B, dénominateur Card(A)).

📖 4. Calculs de fréquences dans un tableau

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection M∩S : M∩S désigne les personnes qui ont la maladie cardio-vasculaire et pratiquent une activité physique régulière.
• Union M∪S : M∪S désigne les personnes qui sont atteintes de maladie cardio-vasculaire ou qui pratiquent une activité physique régulière.
• Complément S̅ : S̅ désigne les personnes qui ne pratiquent pas une activité physique régulière.

📝 Points essentiels

• Population (10 000) : f(S)=5865/10000≈0,59, donc environ 59% pratiquent une activité physique régulière.
• f(M∩S)=405/10000≈0,04, donc environ 4% sont atteintes et pratiquent une activité régulière.
• f(M∪S)=(5865+900-405)/10000≈0,64, donc environ 64% sont dans M ou dans S.
• fM(S̅)=495/900=0,55, donc parmi M, 55% ne pratiquent pas.
• fS(M̅)=5460/5865≈0,93, donc parmi S, environ 93% ne sont pas atteintes; alors fS(M)=405/5865≈0,07, soit environ 7%.

💡 Astuce mémo

Dans le tableau : marginale = /10000, conditionnelle = /ligne (par exemple /900 si on est parmi M).

📖 5. Intersection, union et interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• M∩S : M∩S est la sous-population des personnes atteintes et pratiquant une activité physique régulière.
• M∪S : M∪S est la sous-population des personnes atteintes ou pratiquant une activité physique régulière.
• Complément par déduction : Le complément d’une proportion conditionnelle se calcule par différence avec 100% lorsque la donnée porte sur le “reste”.

📝 Points essentiels

• Interpréter une fréquence marginale consiste à exprimer la proportion dans l’ensemble total (exemple : environ 59% pour S).
• Interpréter M∩S revient à dire la proportion simultanée des deux caractéristiques dans la population totale (environ 4%).
• Pour éviter le double comptage, l’union se calcule par addition puis soustraction de l’intersection (exemple : 5865+900-405).
• Par déduction, fM(S̅)=100%-fM(S) et fS(M)=100%-fS(M̅), ce qui donne 55% et 7% dans l’exemple.

💡 Astuce mémo

Union = addition – intersection (pour ne pas compter deux fois la case M∩S).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fréquence marginale et fréquence conditionnelle : la première divise par Card(E), la seconde divise par Card(A) pour “sachant A”.
2. Oublier que fA(B) exige Card(A) non nul; sans Card(A), la fréquence conditionnelle n’a pas de sens.
3. Calculer une union en additionnant deux totaux sans soustraire l’intersection, ce qui surestime M∪S.
4. Interpréter f(M∩S) comme une proportion “parmi M” alors qu’elle est donnée sur l’ensemble total E.
5. Se tromper d’entités sur les dénominations : S̅ est le “non pratiquant” (pas le pratiquant).
6. Confondre déduction 100%-proportion avec une règle de complément sur un mauvais dénominateur (ensemble total vs sous-population).

✅ Checklist Examen

1. Définir la fréquence marginale d’une modalité et donner sa formule avec les effectifs.
2. Utiliser Card(A)=f(A)×Card(E) pour retrouver un effectif à partir d’une fréquence marginale.
3. Lire un tableau d’effectifs à deux variables et relier chaque case aux intersections (A∩B, A∩B̅, A̅∩B, A̅∩B̅).
4. Calculer une fréquence marginale à partir d’effectifs issus des cases ou des totaux.
5. Définir la fréquence conditionnelle fA(B)=Card(A∩B)/Card(A) et rappeler la condition Card(A)≠0.
6. Retrouver Card(A∩B) grâce à Card(A∩B)=fA(B)×Card(A) quand fA(B) et Card(A) sont donnés.
7. Calculer une intersection comme proportion sur l’effectif total E et savoir interpréter le résultat en termes de simultanéité.
8. Calculer une union avec la formule d’addition-soustraction : Card(M∪S)=Card(M)+Card(S)-Card(M∩S).
9. Savoir passer de fM(S) à fM(S̅) par déduction 100%-proportion dans le même cadre conditionnel.
10. Savoir calculer fS(M) et fS(M̅) et interpréter chacune des deux proportions “parmi S”.
11. Maîtriser l’exemple numérique : 900, 405, 495, 5460, 3640, 5865, 4135 et les fréquences arrondies (0,59; 0,04; 0,64; 0,55; 0,93; 0,07).