Fiche de révision : Analyse des polynômes et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Polynôme du second degré
2. Forme canonique et discriminant
3. Résolution des équations du second degré
4. Définition des suites numériques
5. Suites explicites et de récurrence
6. Sens de variation des suites
7. Limite d’une suite

📖 1. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré associe à tout réel $x$ une expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Coefficient $a$ non nul : Le coefficient $a$ détermine l’orientation de la parabole et doit être différent de $0$ pour être vraiment du second degré.
• Parabole : La courbe d’une fonction polynôme du second degré est une parabole, représentation graphique du polynôme en fonction de $x$.

📝 Points essentiels

• Toute expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ est bien un polynôme du second degré.
• Exemple donné : $f(x)=-3x^2+5x-11$ correspond à $a=-3$, $b=5$, $c=-11.

💡 Astuce mémo

Second degré = $x^2$ : sans $x^2$ (donc $a=0$), ce n’est plus le bon niveau.

📖 2. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec des réels $\alpha$ et $\beta$ adaptés.
• Discriminant $\Delta$ : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ permet de caractériser le nombre de solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Centre $\alpha$ : Le centre de la forme canonique est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, valeur liée au sommet de la parabole.

📝 Points essentiels

• Pour $ax^2+bx+c$, on peut réécrire $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• On note $\Delta=b^2-4ac$ et la forme canonique devient $f(x)=a(x-\alpha)^2+\dfrac{\Delta}{4a}$.
• Dans l’exemple $f(x)=2x^2+x-5$, on obtient $\Delta=41$, $\alpha=\dfrac14$ et $\beta=-\dfrac{41}{8}$.

💡 Astuce mémo

$\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta$ est positif, ça “coupe” (deux racines) ; si zéro, ça “touche” (une racine) ; si négatif, ça “ne coupe pas” (pas de racine réelle).

📖 3. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.
• Solutions réelles selon $\Delta$ : Le discriminant $\Delta$ détermine si l’équation possède 0, 1 ou 2 solutions réelles.
• Formules de $x_1$ et $x_2$ : Quand $\Delta>0$, les racines réelles s’expriment par $x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, alors il y a deux solutions distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors l’équation admet une unique solution réelle $x_0=\dfrac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, alors l’équation n’a pas de solutions réelles.
• Exemple $4x^2-4x+1=0$ : $\Delta=0$ donc $S=\{\tfrac12\}$.

💡 Astuce mémo

Racines = $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ : le signe du $\pm$ n’apparaît que quand $\Delta>0$.

📖 4. Définition des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite réelle $U$ est une fonction dont la variable est un entier naturel et dont l’image $U(n)$ s’écrit $U_n$.
• Terme $U_n$ : Le terme de rang $n$ est noté $U_n$ et se lit “$U$ indice $n$” ou “terme du rang $n$”.
• Notation d’une suite : On note une suite par le symbole $(U_n)$ pour indiquer la dépendance au rang.

📝 Points essentiels

• Définition : $U$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $U_n$.
• Remarque de notation : on peut écrire $U: m\mapsto U(m)=U_n$ avec $m\in\mathbb{N}$ et $U_n\in\mathbb{R}$.
• Exemple : avec l’expression donnée, $U_5=\sqrt3\cdot 5-75=0$ et $U_6=\sqrt3\cdot 6-75=\sqrt3$.

💡 Astuce mémo

Suite = “valeur pour chaque rang” : $n \mapsto U_n$.

📖 5. Suites explicites et de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Une suite est dite explicite quand le terme $U_n$ est donné directement en fonction de $n$ : $U_n=f(n)$.
• Suite de récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on donne un premier terme et une relation qui calcule $U_{n+1}$ à partir de $U_n$.
• Relation $U_{n+1}=f(U_n)$ : Dans une récurrence, la fonction $f$ permet de calculer le terme suivant en utilisant le terme courant.

📝 Points essentiels

• Exemple explicite : $U_n=\dfrac{1}{2n+1}$ et le premier terme est $U_0=1$ (puis $U_1=\tfrac13$, $U_2=\tfrac15$).
• Exemple explicite : $U_n=\sqrt{3n-75}$ est définie à partir du rang $n\ge 5$ car $3n-75\ge 0$.
• Exemple de récurrence : $U_0=\tfrac12$ et $U_{n+1}=-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{U_n}$ permettent de calculer $U_1=3$, $U_2=\tfrac43$, $U_3=\tfrac74$.

💡 Astuce mémo

Explicite = “direct” ($U_n$ en fonction de $n$) ; récurrence = “un après l’autre” ($U_{n+1}$ via $U_n$).

📖 6. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante à partir d’un rang $p$ si, pour tout $m\ge p$, on a $U_{m+1}\ge U_m$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante à partir d’un rang $p$ si, pour tout $m\ge p$, on a $U_{m+1}\le U_m$.
• Suite constante (stationnaire) : Une suite est constante à partir d’un rang $p$ si, pour tout $m\ge p$, on a $U_{m+1}=U_m$.

📝 Points essentiels

• Méthode 1 : si $U_{n+1}-U_n>0$ pour tout $n$ alors la suite est strictement croissante.
• Méthode 3 (termes $>0$) : si $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}>1$ alors $U_{n+1}>U_n$, donc la suite est strictement croissante ; si $<1$ alors elle est strictement décroissante.
• Exemple : pour $U_n=n^2+6n+1$, on trouve $U_{n+1}-U_n=2n+7>0$, donc la suite est strictement croissante.
• Exemple : pour $U_n=\left(\tfrac23\right)^n$, on a $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\tfrac23<1$, donc la suite est strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

Produit ou rapport : $U_n>0$ → regarder $U_{n+1}/U_n$ ; sinon, utiliser plutôt la différence $U_{n+1}-U_n$.

📖 7. Limite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite : La limite d’une suite est la valeur que les termes $U_n$ approchent quand $n$ devient très grand.
• Convergence : Une suite converge vers une valeur $L$ si ses termes se rapprochent de $L$ quand $n\to+\infty$.
• Notation $\lim_{n\to+\infty}U_n$ : On note la limite par $\lim_{m\to+\infty}U_m$ (ou $n\to+\infty$) pour indiquer le comportement à l’infini.

📝 Points essentiels

• Exemple : si $U_0=1$ et $U_{n+1}=\tfrac12 U_n$, alors la suite converge et sa limite vaut $4$ d’après le texte fourni.
• Le texte relie la limite au fait que “quand $n$ devient très grand” la valeur de $U_n$ tend vers $4$.

📅 Repères chronologiques

1. -287 ; -212Archimède de Syracuse utilise une procédure itérative pour approcher le nombre π\piπ.
2. 1789 ; 1857Augustin Louis Cauchy apporte un formalisme rigoureux de la notion de suite.
3. 1659Pierre de Fermat présente une descente à l’infini, idée de poursuite à l’infini dépendant d’un entier nnn.
4. 1789Mention de la date liée à Cauchy (début de la période donnée dans l’introduction).
5. l’an 800Al-Khwarizmi étudie les formes d’une équation du second degré.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ (centre) et $\beta$ (terme constant de la forme canonique), car $\beta$ dépend de $\Delta$ et $a$.
2. Croire qu’un discriminant négatif donne quand même des racines réelles, alors que $\Delta<0$ implique l’absence de solutions réelles.
3. Se tromper de cas en utilisant les formules à deux racines quand $\Delta=0$ (une seule solution $x_0$).
4. Mélanger les signes dans $x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ et inverser $x_1$ et $x_2$.
5. Utiliser la méthode par le rapport $U_{n+1}/U_n$ sans vérifier que les termes sont strictement positifs comme exigé dans le cours.
6. Penser qu’une suite “décroissante” signifie “strictement décroissante” alors que la définition donnée autorise $\le$ (non strict).
7. Inverser la condition de définition d’une suite explicite sous une racine : il faut résoudre $3n-75\ge 0$ pour $U_n=\sqrt{3n-75}$.

✅ Checklist Examen

1. Identifier un polynôme du second degré à partir de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Donner la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ et calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
3. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ à partir de $a,b,c$.
4. Déterminer le nombre de solutions réelles à partir du signe de $\Delta$ : $>0$, $=0$, ou $<0$.
5. Calculer $x_1$ et $x_2$ avec $x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ quand $\Delta>0$.
6. Calculer la solution unique $x_0=\dfrac{-b}{2a}$ quand $\Delta=0$.
7. Définir une suite numérique comme fonction d’une variable entière naturelle et préciser la notation $U_n$.
8. Distinguer suite explicite ($U_n=f(n)$) et suite de récurrence (calcul de $U_{n+1}$ depuis le précédent).
9. Appliquer une récurrence à partir du premier terme pour obtenir un terme suivant (exemple : obtenir $U_1,U_2,U_3$).
10. Déterminer si une suite est croissante, décroissante ou constante à partir des inégalités $U_{m+1}\ge U_m$, $\le$, ou $=$.
11. Choisir une méthode d’étude : signe de $U_{n+1}-U_n$ ou comparaison du rapport $U_{n+1}/U_n$ à $1$ en utilisant que $U_n>0$.
12. Énoncer ce que signifie une limite de suite et savoir interpréter l’exemple où la limite annoncée est $4$.