Fiche de révision : Analyse des relations linéaires et non linéaires en statistique

📋 Plan du Cours

1. Nuage de points en statistique
2. Point moyen du nuage
3. Ajustement affine
4. Méthode de Mayer
5. Droite des moindres carrés
6. Variance et covariance
7. Coefficient de corrélation linéaire
8. Changement de variable pour ajustement
9. Extrapolation et interpolation
10. Relations fonctions exponentielles et quadratiques

📖 1. Nuage de points en statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique à deux variables quantitatives : Ensemble de couples (xᵢ ; yᵢ) où xᵢ et yᵢ représentent les valeurs observées pour deux variables mesurées sur la même population de n individus. Elle permet d'étudier la relation entre ces deux variables.

• Nuage de points : Représentation graphique dans un repère orthogonal de l'ensemble des points Mᵢ de coordonnées (xᵢ ; yᵢ), associés à une série statistique à deux variables. Il visualise la distribution conjointe des valeurs.

• Représentation graphique du nuage de points : Méthode visuelle consistant à tracer dans un repère orthogonal chaque point Mᵢ (xᵢ ; yᵢ) pour analyser la tendance ou la dispersion des données.

• Point moyen du nuage : Le point G de coordonnées (x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont respectivement les moyennes des valeurs xᵢ et yᵢ. Il représente le centre de gravité du nuage de points.

📝 Points essentiels

• La série statistique à deux variables permet d’étudier la dépendance ou la relation entre deux grandeurs mesurées simultanément.
• Le nuage de points est une représentation graphique essentielle pour visualiser la dispersion, la tendance ou la corrélation entre x et y.
• La position du point moyen G (x̄ ; ȳ) est centrale dans l’analyse, car il sert de référence pour diverses méthodes d’ajustement, notamment la droite de régression (voir section 3).
• La représentation graphique du nuage de points facilite la détection visuelle de la nature de la relation (linéaire, non linéaire, absence de relation).
• La méthode de représentation graphique est une étape préliminaire pour toute modélisation ou prédiction à partir des données.

💡 À retenir

Le nuage de points est une représentation visuelle fondamentale en statistique pour analyser la relation entre deux variables quantitatives, en mettant en évidence la tendance centrale et la dispersion des données.

📖 2. Point moyen du nuage

🔑 Notions clés & Définitions

• Point moyen : Le point G de coordonnées (x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont respectivement les moyennes des valeurs xᵢ et yᵢ du nuage de points. Il représente le centre de gravité du nuage et sert de référence dans la représentation graphique (voir section 1).

• Calcul des moyennes : x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n et ȳ = (y₁ + y₂ + ... + yₙ) / n. Ces valeurs permettent de déterminer le point moyen G, qui est essentiel pour analyser la tendance centrale du nuage.

• Utilisation du point moyen dans la représentation : Le point G est souvent tracé dans le graphique du nuage de points, car il indique la position moyenne des données et sert de point de passage pour la droite d’ajustement (voir section 1).

📝 Points essentiels

• Le point moyen G (x̄ ; ȳ) est calculé à partir des moyennes arithmétiques des ensembles de données xᵢ et yᵢ. Il constitue le centre du nuage de points en coordonnées cartésiennes.

• La formule pour déterminer x̄ est :
  $x̄ = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
  et pour ȳ :
  $ȳ = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$

• La position du point G est utilisée dans la construction de la droite d’ajustement, notamment dans la méthode des moindres carrés, car elle garantit que la droite passe par ce point (voir section 5).

• Le point moyen permet aussi d’avoir une première idée de la tendance générale des données, facilitant ainsi l’interprétation graphique et la modélisation.

💡 À retenir

Le point moyen du nuage, défini par les moyennes des variables, est le centre de gravité du nuage de points et joue un rôle clé dans la représentation graphique et l’ajustement des données.

📖 3. Ajustement affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Ajustement affine d'un nuage de points : C'est la recherche d'une droite de l'équation y = ax + b qui minimise la distance entre elle et l'ensemble des points du nuage, en particulier la somme des carrés des écarts verticaux (méthode des moindres carrés). Selon PERROUX (date), cet ajustement vise à représenter une relation linéaire approximative entre deux variables.

• Droite d'ajustement ou de régression : C'est la droite passant « au plus près » des points du nuage, c'est-à-dire celle qui minimise la somme des carrés des distances verticales entre chaque point et la droite. Elle sert à modéliser la relation linéaire entre deux variables (voir section 5).

• Objectif de l'ajustement affine : Estimer des valeurs inconnues de la série en utilisant la droite d'ajustement. Par exemple, prévoir une valeur y pour une nouvelle valeur x en utilisant l'équation de la droite, que ce soit par interpolation (dans le domaine d'étude) ou extrapolation (en dehors du domaine d'étude).

📝 Points essentiels

L'ajustement affine consiste à tracer une droite qui « passe le plus près possible » des points du nuage, en minimisant la somme des carrés des écarts verticaux (méthode des moindres carrés). La droite d'ajustement, ou de régression, doit passer par le point moyen G(x̄ ; ȳ) du nuage, ce qui est une propriété fondamentale (PERROUX, date). La formule de cette droite est généralement y = ax + b, avec :

• a = cov(x,y) / v(x), où cov(x,y) est la covariance entre x et y, et v(x) la variance de x.
• b = ȳ - a x̄, avec ȳ et x̄ les moyennes des séries y et x.

L'objectif principal est d'utiliser cette droite pour faire des estimations, notamment par interpolation ou extrapolation. La méthode des moindres carrés garantit que la somme des carrés des écarts verticaux est minimale, assurant ainsi la meilleure approximation linéaire possible.

💡 À retenir

L'ajustement affine permet de modéliser une relation linéaire entre deux variables et d'estimer des valeurs inconnues en utilisant la droite de régression, qui minimise la somme des carrés des écarts. Il repose sur la propriété que cette droite passe par le point moyen du nuage de points.

📖 4. Méthode de Mayer

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de Mayer : technique d'ajustement consistant à déterminer une droite passant par deux points moyens du nuage de points, afin d'estimer la relation entre deux variables.
• Calcul des points moyens G₁ et G₂ : pour sous-ensembles du nuage, on calcule les coordonnées moyennes de chaque sous-ensemble afin d'obtenir deux points moyens distincts.
• Détermination de la pente et de l'ordonnée à l'origine : en utilisant les deux points moyens G₁ et G₂, on calcule la pente α = (y_G₂ - y_G₁) / (x_G₂ - x_G₁) et l'ordonnée à l'origine b en résolvant l'équation y = αx + b passant par G₁ ou G₂.

📝 Points essentiels

La méthode de Mayer repose sur le calcul de deux points moyens G₁ et G₂, issus de la subdivision du nuage de points en deux groupes. Ces points sont déterminés par la moyenne des coordonnées x et y de chaque sous-ensemble. La droite d'ajustement est tracée en passant par G₁ et G₂, ce qui permet d'estimer la relation entre x et y sans recourir à la méthode des moindres carrés. La pente α est calculée par la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, puis l'ordonnée à l'origine b est trouvée en substituant dans l'équation y = αx + b. Cette approche simple est utile pour une première approximation ou lorsque la répartition des points suggère une ligne droite approximative.

💡 À retenir

La méthode de Mayer consiste à tracer une droite passant par deux points moyens issus du nuage de points, permettant une estimation rapide de la relation linéaire entre deux variables.

📖 5. Droite des moindres carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de la méthode des moindres carrés : cette méthode consiste à déterminer la droite d’ajustement dont la position minimise la somme des carrés des distances verticales (en vert) entre chaque point du nuage et la droite elle-même, afin d’obtenir un meilleur compromis pour représenter la relation entre deux variables.
• Minimisation de la somme des carrés des distances verticales : cela signifie que l’on cherche à réduire la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yᵢ et celles prédites par la droite (axᵢ + b), soit :
  $\sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2$
• Formule de la droite des moindres carrés : la droite d’ajustement y = ax + b est définie par :
  $a = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{v(x)} \quad \text{et} \quad b = \bar{y} - a \bar{x}$ où cov(x,y) est la covariance entre x et y, et v(x) la variance de x.
• Propriété : cette droite passe par le point moyen G(x̄ ; ȳ) du nuage de points, ce qui signifie que les moyennes des abscisses et ordonnées sont sur la droite d’ajustement.

📝 Points essentiels

• La méthode des moindres carrés vise à ajuster une droite y = ax + b en minimisant la somme des carrés des écarts verticaux entre chaque point (xᵢ, yᵢ) et la droite.
• La pente a de la droite d’ajustement est donnée par le rapport entre la covariance des variables x et y et la variance de x, soit :
  $a = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{v(x)}$
• L’ordonnée à l’origine b est calculée à partir de la moyenne de y, de x, et de la pente a :
  $b = \bar{y} - a \bar{x}$
• La droite d’ajustement passe toujours par le point moyen G(x̄ ; ȳ), ce qui garantit une cohérence avec la distribution des points.
• La covariance et la variance sont calculées à partir des données du nuage, selon :
  $\operatorname{cov}(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \quad \text{et} \quad v(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
• La formule de la droite des moindres carrés permet d’obtenir une estimation quantitative de la relation entre deux variables, en particulier dans le contexte de l’ajustement linéaire.

💡 À retenir

La droite des moindres carrés, passant par le point moyen du nuage, minimise la somme des carrés des écarts verticaux, et ses coefficients sont calculés à partir de la covariance et de la variance des données.

📖 6. Variance et covariance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance v(x) : La variance de la série (xᵢ) est une mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne x̄, calculée par la formule $v(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$. Elle indique à quel point les valeurs de x sont dispersées par rapport à leur moyenne.
• Variance v(y) : La variance de la série (yᵢ) est définie de manière similaire, $v(y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$, représentant la dispersion des valeurs y autour de leur moyenne ȳ.
• Covariance cov(x,y) : La covariance entre deux séries (xᵢ) et (yᵢ) est un nombre réel noté cov(x,y), défini par $cov(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$. Elle mesure la tendance à évoluer conjointement des deux variables : une covariance positive indique une évolution dans le même sens, négative dans des sens opposés.
• Formules de calcul à partir des données :
  • Variance : $v(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
  • Covariance : $cov(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
  • Moyennes : $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$, $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$

📝 Points essentiels

• La variance v(x) et v(y) quantifient la dispersion des valeurs de chaque série autour de leur moyenne respective, en utilisant la formule $v(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ (voir notions clés).
• La covariance cov(x,y) mesure la relation conjointe entre deux variables, en indiquant si elles ont tendance à augmenter ou diminuer ensemble ou si elles évoluent indépendamment. La formule est $cov(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$.
• La covariance est positive si les deux variables ont tendance à augmenter ou diminuer simultanément, négative si elles évoluent en sens inverse.
• La formule de la covariance à partir des données repose sur la moyenne des produits des écarts à la moyenne : $cov(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$.
• La variance et la covariance sont des mesures fondamentales pour analyser la dispersion et la relation entre deux séries statistiques, notamment dans le contexte de l’ajustement de modèles (voir autres sections).

💡 À retenir

La variance mesure la dispersion d'une série autour de sa moyenne, tandis que la covariance quantifie la tendance conjointe de deux séries à évoluer dans le même ou dans des sens opposés.

📖 7. Coefficient de corrélation linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation linéaire (r ou ρxy) : Nombre réel défini par la formule r = ρxy = cov(x,y) / √(v(x) v(y)), où cov(x,y) est la covariance entre x et y, et v(x), v(y) sont les variances respectives. Il mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables quantitatives (source : source).

• Interprétation du coefficient r : La valeur de r est comprise entre -1 et 1.

  • r = 1 : corrélation positive parfaite, points alignés avec une pente positive.
  • r = -1 : corrélation négative parfaite, points alignés avec une pente négative.
  • r = 0 : absence de relation linéaire, variables indépendantes dans le contexte linéaire (source : source).

• Signe de r :

  • Positif (r > 0) : lorsque x augmente, y tend à augmenter.
  • Négatif (r < 0) : lorsque x augmente, y tend à diminuer.
  • Nul (r = 0) : aucune tendance linéaire apparente, variables indépendantes dans le cadre d’une relation linéaire (source : source).

• Valeur absolue de r :

  • Plus elle est proche de 1, plus la relation linéaire est forte.
  • Plus elle est proche de 0, plus la relation est faible ou inexistante.

📝 Points essentiels

• Le coefficient de corrélation r quantifie la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables.
• La formule r = cov(x,y) / √(v(x) v(y)) relie la covariance à la variabilité des variables.
• La propriété -1 ≤ r ≤ 1 permet d’interpréter la qualité de l’ajustement linéaire :
  • r = 1 ou r = -1 : relation parfaitement linéaire, points alignés.
  • r = 0 : absence de relation linéaire, variables indépendantes dans le cadre linéaire.
• La valeur de r indique si la relation est positive ou négative, et sa magnitude indique la force de cette relation.
• La corrélation n’implique pas nécessairement causalité, elle ne mesure que la relation linéaire (source : source).

💡 À retenir

Le coefficient de corrélation linéaire r, compris entre -1 et 1, permet de quantifier la force et la direction d’une relation linéaire entre deux variables, sans impliquer une causalité.

📖 8. Changement de variable pour ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Changement de variable : Technique consistant à transformer une relation non linéaire en une relation affine en introduisant une nouvelle variable, facilitant ainsi l’application de méthodes d’ajustement linéaire (voir section 4).
• Transformation quadratique (u = x²) : Transformation où la variable x est remplacée par u = x², permettant de linéariser une relation quadratique y = ax² + b en une relation affine y = au + b.
• Transformation exponentielle (u = eˣ) : Transformation où x est remplacé par u = eˣ, permettant de linéariser une relation exponentielle y = aeˣ + b en une relation affine y = au + b.
• Utilisation de la méthode des moindres carrés sur variables transformées : Application de la méthode pour déterminer les coefficients d’une relation affine entre la nouvelle variable u et y, après transformation, afin de modéliser une relation initialement non linéaire.
• Relation entre variables non linéaires et transformations : La possibilité de modéliser une relation complexe en effectuant une transformation de la variable indépendante pour obtenir une relation affine, simplifiant ainsi l’ajustement (voir exemples dans le contenu source).

📝 Points essentiels

• La technique de changement de variable permet de ramener un ajustement non linéaire à un ajustement affine, en utilisant des transformations spécifiques comme u = x² pour une relation quadratique ou u = eˣ pour une relation exponentielle.
• La méthode consiste à effectuer la transformation sur la variable x, puis à appliquer la méthode des moindres carrés pour ajuster une droite y = au + b entre y et la nouvelle variable u.
• Par exemple, si la relation initiale est y = ax² + b, en posant u = x², on obtient y = au + b, une relation affine entre y et u, facilitant l’estimation des paramètres a et b.
• La démarche est aussi valable pour des relations exponentielles en posant u = eˣ, ce qui permet de linéariser la relation y = aeˣ + b.
• La validité du modèle en dehors du domaine d’étude repose sur l’hypothèse que la relation transformée reste linéaire, ce qui permet d’effectuer des extrapolations (voir exemple de la croissance démographique).

💡 À retenir

Le changement de variable permet de transformer une relation non linéaire en une relation affine, simplifiant ainsi l’application de la méthode des moindres carrés pour modéliser et prévoir des données.

📖 9. Extrapolation et interpolation

🔑 Notions clés & Définitions

• Interpolation : estimation d'une valeur inconnue dans le domaine d'étude des données, c'est-à-dire à l'intérieur de l'intervalle des valeurs observées. La méthode consiste à utiliser la relation ou le modèle mathématique ajusté pour prévoir une valeur située entre deux points connus.
• Extrapolation : estimation d'une valeur en dehors du domaine d'étude des données, c'est-à-dire à l'extérieur de l'intervalle des valeurs observées. Elle repose sur l'extension du modèle mathématique au-delà des données disponibles, mais elle est plus incertaine car rien ne garantit la validité du modèle dans cette zone.
• Droite d'ajustement (ou droite de régression) : droite passant « le plus près possible » des points du nuage, permettant de faire des estimations par lecture graphique ou calcul. La méthode des moindres carrés sert à déterminer cette droite en minimisant la somme des carrés des distances verticales entre chaque point et la droite (voir section 6).
• Méthode de Mayer : technique d'ajustement consistant à tracer une droite passant par deux points moyens du nuage, souvent utilisée pour simplifier le calcul de la droite d'ajustement (voir section 4).
• Coefficient de corrélation linéaire (r = ρxy) : nombre compris entre -1 et 1 qui mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables x et y. Un r proche de 1 ou -1 indique une forte dépendance linéaire, tandis qu’un r proche de 0 indique une absence de relation linéaire (voir section 7).

📝 Points essentiels

• La distinction entre interpolation et extrapolation repose sur la localisation de la valeur inconnue par rapport au domaine d'étude : dans ou hors de l'intervalle des données observées.
• L'interpolation est généralement fiable car elle reste dans le domaine connu, tandis que l'extrapolation doit être utilisée avec précaution, car le modèle peut ne pas être valable en dehors de ce domaine.
• La droite d'ajustement, obtenue par la méthode des moindres carrés, permet de faire des estimations précises dans le domaine d'étude, en utilisant l'équation y = ax + b, où a et b sont déterminés pour minimiser la somme des carrés des écarts.
• La méthode de Mayer, en utilisant deux points moyens, offre une approche simple pour déterminer une droite d'ajustement, notamment lorsque le nuage de points présente une forme allongée.
• Le coefficient de corrélation linéaire r permet d’évaluer la qualité de l’ajustement : une valeur proche de 1 ou -1 indique une forte relation linéaire, ce qui justifie une extrapolation ou une interpolation basée sur le modèle.

💡 À retenir

L'interpolation permet d'estimer des valeurs à l'intérieur du domaine des données avec une relative confiance, tandis que l'extrapolation, en dehors de ce domaine, doit être utilisée avec prudence car le modèle peut ne pas rester valable.

📖 10. Relations fonctions exponentielles et quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Relations fonctionnelles quadratiques : Forme y = ax² + b, où y est une variable dépendante en fonction de x, avec a et b des constantes. Cette relation modélise une courbe en parabole, souvent utilisée pour représenter des phénomènes avec une croissance ou décroissance non linéaire.

• Relations fonctionnelles exponentielles : Forme y = aeˣ + b, où y dépend de x selon une croissance ou décroissance exponentielle, avec a, b constants et e la base du logarithme naturel. Elle sert à modéliser des processus de croissance rapide ou de décroissance.

• Transformation pour linéariser : Technique consistant à appliquer une modification de la variable x ou y pour rendre une relation non linéaire linéaire, facilitant ainsi l’ajustement par une droite. Par exemple, pour une relation quadratique, on pose u = x² ; pour une relation exponentielle, on pose u = eˣ.

• Application sur données de population (exponentielle) : Exemple illustrant l’utilisation de la transformation u = eˣ pour ajuster un modèle exponentiel à des données de population, permettant une estimation fiable même en dehors du domaine d’étude.

• Auteurs et dates : La méthode de linéarisation par transformation est une approche classique en modélisation mathématique, utilisée pour simplifier l’ajustement de relations non linéaires, sans référence spécifique à un auteur ou une date dans le contenu source.

📝 Points essentiels

• Les relations quadratiques et exponentielles sont deux formes courantes pour modéliser des relations non linéaires entre variables. La forme y = ax² + b permet de représenter des courbes paraboliques, tandis que y = aeˣ + b modélise une croissance ou décroissance exponentielle.

• La transformation de variables est une étape clé pour linéariser ces relations. Pour une relation quadratique, on utilise u = x² ; pour une relation exponentielle, u = eˣ. Après transformation, on applique la méthode des moindres carrés pour ajuster une droite à ces nouvelles variables.

• Exemple d’application : ajustement exponentiel d’une population sur plusieurs années en utilisant u = eˣ, ce qui permet d’estimer la population future en dehors du domaine d’étude, sous réserve que le modèle reste valable.

• La linéarisation facilite l’utilisation de techniques classiques d’ajustement (méthode des moindres carrés) pour des relations initialement non linéaires, évitant ainsi des méthodes plus complexes.

💡 À retenir

Les relations quadratiques et exponentielles peuvent être linéarisées par des transformations appropriées, permettant d’utiliser la méthode des moindres carrés pour ajuster facilement ces modèles à des données réelles.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la moyenne arithmétique (x̄, ȳ) avec la médiane ou d’autres mesures de tendance centrale.
2. Croire que la droite d’ajustement doit passer par tous les points du nuage.
3. Confondre la méthode de Mayer et la méthode des moindres carrés : la première passe par deux points moyens, la seconde minimise une somme d’écarts.
4. Omettre que la droite de régression passe toujours par le point moyen (x̄, ȳ).
5. Confondre la covariance et la variance : la covariance concerne deux variables, la variance une seule.
6. Mal interpréter le coefficient de corrélation : une valeur proche de 0 n’indique pas forcément absence de relation, mais absence de relation linéaire.
7. Confondre extrapolation (hors domaine) et interpolation (dans le domaine) lors de l’utilisation de la droite d’ajustement.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un nuage de points et sa représentation graphique.
2. Savoir calculer le point moyen (x̄, ȳ) à partir des données.
3. Expliquer le principe de la méthode des moindres carrés pour l’ajustement affine.
4. Savoir que la droite d’ajustement passe par le point moyen du nuage.
5. Calculer la pente a = cov(x,y)/v(x) et l’ordonnée à l’origine b = ȳ - a x̄.
6. Connaître la formule de la covariance et de la variance.
7. Comprendre la différence entre interpolation et extrapolation.
8. Savoir appliquer la méthode de Mayer en utilisant deux points moyens G₁ et G₂.
9. Maîtriser la relation entre la covariance, la variance et le coefficient de corrélation linéaire r.
10. Savoir établir la relation entre fonctions exponentielles et quadratiques dans un contexte de modélisation.
11. Connaître la définition et l’utilité du coefficient de corrélation linéaire.
12. Vérifier que la droite de régression minimise la somme des carrés des écarts verticaux.