Fiche de révision : Analyse des variations et extrema locaux

📋 Plan du Cours

1. Sens de variation via la dérivée
2. Extremums locaux et condition sur f
3. Preuve du lien variation et signe de f
4. Critère d'existence d'un extremum local
5. Méthode du tableau de variation
6. Exemple de tableau de variation pour x²−2x

📖 1. Sens de variation via la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle si sa dérivée existe en tout point de cet intervalle.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ la valeur de la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ en $x$.
• Croissance : Une fonction est croissante sur un intervalle si ses valeurs ne diminuent pas quand $x$ augmente sur cet intervalle.
• Décroissance : Une fonction est décroissante sur un intervalle si ses valeurs ne croissent pas quand $x$ augmente sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'$ est positive sur $I$.
• $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'$ est négative sur $I$.
• $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'$ est nulle sur $I$.
• Les signes de $f'$ déterminent le sens de variation de $f$ sur tout l’intervalle considéré.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ → sens de $f$ : $+$ monte, $-$ descend, $0$ plat.

📖 2. Extremums locaux et condition sur f

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum local : Un maximum local en $c$ signifie que, dans un voisinage de $c$, la fonction ne dépasse pas sa valeur en $c$.
• Minimum local : Un minimum local en $c$ signifie que, dans un voisinage de $c$, la fonction ne descend pas sous sa valeur en $c$.
• Extremum local : Un extremum local en $c$ est soit un maximum local soit un minimum local au voisinage de $c$.

📝 Points essentiels

• $c$ est un maximum local si, dans un intervalle $]a,b[$ contenant $c$, on a $f(x)\le f(c)$ pour tout $x$ de $]a,b[$.
• $c$ est un minimum local si, dans un intervalle $]a,b[$ contenant $c$, on a $f(x)\ge f(c)$ pour tout $x$ de $]a,b[$.
• Un extremum local se lit comme une borne locale : la valeur en $c$ domine toutes les valeurs proches.
• La définition utilise l’existence de deux réels $a$ et $b$ tels que $c\in]a,b[$.

💡 Astuce mémo

Max local : $f(x)$ reste en dessous de $f(c)$ ; Min local : $f(x)$ reste au-dessus.

📖 3. Preuve du lien variation et signe de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation monotone : Une variation monotone décrit le fait que la fonction augmente, diminue ou reste constante sur un intervalle.
• Limite différentielle : La dérivée s’exprime comme une limite du quotient des accroissements quand l’incrément tend vers $0$.

📝 Points essentiels

• Pour $h>0$ tel que $x+h\in I$, on a $f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ avec $x+h>x$.
• Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f(x+h)-f(x)\ge 0$ donc $f'(x)\ge 0$.
• Si $f$ est décroissante sur $I$, alors $f(x+h)-f(x)\le 0$ donc $f'(x)\le 0$.
• Si $f$ est constante sur $I$, alors $f(x+h)-f(x)=0$ donc $f'(x)=0$.
• Le signe de $f'(x)$ provient du signe de l’accroissement $f(x+h)-f(x)$ pour $h>0$.

💡 Astuce mémo

Accroissement pour $h>0$ : positif → dérivée $\ge 0$ ; négatif → dérivée $\le 0$ ; nul → dérivée $=0$.

📖 4. Critère d'existence d'un extremum local

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère d’extremum local : Un critère d’extremum local donne une condition vérifiable pour savoir si la fonction admet un extremum en un point.
• Changement de signe : Un changement de signe signifie que la fonction passe d’un signe à l’autre au voisinage du point considéré.

📝 Points essentiels

• $f$ admet un extremum local en $c$ si et seulement si $f'(c)=0$ et $f'$ change de signe en $c$.
• Pour un extremum local, l’annulation de $f'$ seule ne suffit pas : il faut un changement de signe.
• Le critère relie directement la géométrie locale (extremum) à l’analyse (zéro de $f'$ et signe autour).
• Le critère est un biconditionnel : condition nécessaire et suffisante.

💡 Astuce mémo

Extremum local = $f'(c)=0$ + $f'$ change de signe (zéro “actif”).

📖 5. Méthode du tableau de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Un tableau de signes organise les valeurs de la dérivée $f'$ selon les intervalles où elle est positive, négative ou nulle.
• Tableau de variation : Un tableau de variation résume le sens de variation de $f$ sur chaque intervalle délimité par les zéros de $f'$.
• Dérivée : La dérivée $f'$ sert à déterminer les variations de $f$ via ses signes.

📝 Points essentiels

• Étape 1 : déterminer l’expression de $f'$ sur l’intervalle $I$.
• Étape 2 : tracer le tableau de signes de $f'$ pour repérer les intervalles où $f'$ est $\ge 0$, $\le 0$ ou $=0$.
• Étape 3 : en déduire le tableau de variation de $f$ en reliant les signes de $f'$ au sens de variation.
• Les changements de signe de $f'$ correspondent aux points où la variation de $f$ peut changer (extremums locaux).

💡 Astuce mémo

3 étapes : dériver → signer $f'$ → varier $f$.

📖 6. Exemple de tableau de variation pour x²−2x

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variation : Un tableau de variation décrit, sur chaque intervalle, si la fonction augmente, diminue ou reste constante.
• Dérivée de $x^2-2x$ : La dérivée de $x^2-2x$ est la fonction qui permet d’étudier les variations de $f(x)=x^2-2x$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=x^2-2x$ sur $\mathbb{R}$, on a $f'(x)=2x-2$.
• On résout $f'(x)\ge 0 \Leftrightarrow 2x-2\ge 0 \Leftrightarrow x\ge 1$.
• Le tableau de signes de $f'$ se construit à partir du seuil $x=1$ (où $f'$ s’annule).
• Le tableau de variation de $f$ se déduit du signe de $f'$ : $f$ augmente quand $f'\ge 0$ et diminue quand $f'\le 0$.

💡 Astuce mémo

Seuil clé : $2x-2=0$ donc $x=1$ ; à droite ça monte, à gauche ça descend.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “$f'$ positive” avec “$f$ strictement croissante” : le cours relie croissance à $f'$ positive sur l’intervalle, et décroissance à $f'$ négative, sans exiger ici la stricte variation.
2. Croire que $f'(c)=0$ suffit pour avoir un extremum : le critère exige aussi un changement de signe de $f'$ en $c$.
3. Oublier que la définition d’un extremum local est locale : elle porte sur un voisinage $]a,b[$, pas sur tout l’intervalle de définition.
4. Faire le tableau de variation sans passer par le tableau de signes de $f'$ : on risque d’inverser les sens de variation sur certains intervalles.

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer les équivalences : $f$ croissante/décroissante/constante sur $I$ selon le signe de $f'$ sur $I$.
2. Savoir donner la définition d’un maximum local et d’un minimum local via un voisinage $]a,b[$ autour de $c$.
3. Savoir appliquer le critère : extremum local en $c$ ⇔ $f'(c)=0$ et $f'$ change de signe en $c$.
4. Savoir construire un tableau de variation : calcul de $f'$, tableau de signes de $f'$, puis déduction du sens de variation de $f$.
5. Savoir traiter l’exemple $f(x)=x^2-2x$ : calcul de $f'(x)=2x-2$, résolution de $f'(x)\ge 0$ via $x\ge 1$, puis interprétation dans le tableau de variation.