Sa dérivée est positive sur cet intervalle
Explication
Une fonction est croissante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée y est positive. Une dérivée négative correspond au contraire à une décroissance.
Elle est constante sur cet intervalle
Explication
Si la dérivée est nulle sur un intervalle, la fonction y est constante. Cela ne signifie pas à lui seul qu’un extremum local est présent en un point précis.
Dans un voisinage de c, les valeurs de la fonction ne dépassent pas f(c)
Explication
Un maximum local signifie qu’autour de c, la fonction ne prend pas de valeur supérieure à f(c). La propriété est locale, pas globale.
Dans un voisinage de c, on a f(x) ≥ f(c)
Explication
Un minimum local est un point où les valeurs voisines de la fonction ne descendent pas en dessous de f(c). L’inégalité opposée correspond à un maximum local.
Parce que la dérivée est la limite du quotient de cet accroissement par h
Explication
La dérivée est définie comme la limite du quotient des accroissements, ce qui relie directement le signe de f'(x) à celui de f(x+h)-f(x) lorsque h>0. C’est le cœur de la preuve du lien entre variation et signe.
Elle est négative
Explication
Pour une fonction décroissante, les accroissements sont négatifs quand x augmente, donc la dérivée est ≤ 0 sur l’intervalle. Le signe positif correspond au cas croissant.
f'(c)=0 et f' change de signe en c
Explication
Un extremum local existe en c si et seulement si la dérivée s’annule en c et change de signe en ce point. L’annulation seule ne suffit pas.
Parce qu’il faut aussi un changement de signe de f' autour de c
Explication
Le cours précise que l’annulation de f' est nécessaire mais pas suffisante : il faut un changement de signe au voisinage de c. Sans ce changement, il peut ne pas y avoir d’extremum.
Déterminer l’expression de f' sur l’intervalle étudié
Explication
La méthode commence par calculer la dérivée de la fonction sur l’intervalle. Les signes de f' permettront ensuite de construire le tableau de signes puis le tableau de variation.
À repérer les intervalles où f est croissante, décroissante ou constante
Explication
Le tableau de signes de f' sert à traduire ses signes en sens de variation de f. C’est l’étape intermédiaire entre la dérivation et le tableau de variation final.
2x−2
Explication
En dérivant x²−2x, on obtient 2x−2. Cette expression permet ensuite d’étudier les signes de f'.
Elle est croissante
Explication
Comme f'(x)=2x−2, on a f'(x)≥0 lorsque x≥1, donc f est croissante à partir de 1. À gauche de 1, la dérivée est négative et la fonction décroît.
Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Analyse des variations et extrema locaux.
Sens de variation — via dérivée ?
Signes de $f'$ déterminent croissance ou décroissance.
Extremum local — définition ?
Maximum ou minimum dans un voisinage.
Lien variation et signe de f — mécanisme ?
Signe de $f'$ indique si $f$ augmente ou diminue.
Consultez la fiche de révision complète sur Analyse des variations et extrema locaux.
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