Fiche de révision : Analyse du second degré et parabole

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et discriminant
2. Résolution des équations du second degré
3. Racines et factorisation du trinôme
4. Signe d'un polynôme du second degré
5. Parabole et axe de symétrie

📖 1. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec des réels $\alpha$ et $\beta$.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ caractérise l’existence et le nombre de racines réelles d’un trinôme.

📝 Points essentiels

• Pour tout $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• On a toujours $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$ avec $\Delta=b^2-4ac$.
• On a la relation d’évaluation $f(\alpha)=\beta$ pour le passage à la forme canonique.
• Si $\Delta<0$, l’expression $(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ impose une impossible égalité entre un carré et un réel négatif.

💡 Astuce mémo

Carré complet : $\alpha=-\frac{b}{2a}$ centre la parabole et $\Delta$ décide le nombre de solutions.

📖 2. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, avec $\sqrt{\Delta}$ réel.
• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution $x_0=\dfrac{-b}{2a}$ (racine double).
• Si $\Delta<0$, l’équation n’a pas de solution réelle car un carré réel ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif.
• Pour résoudre, on peut transformer en forme canonique puis résoudre $(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
• Exemple $5x^2+4x-1=0$ : $\Delta=36>0$ donc solutions $S=\{-1,\;\frac{1}{5}\}$.
• Quand il manque le terme en $x$ ou le terme constant, le discriminant n’est pas nécessaire pour conclure rapidement.

💡 Astuce mémo

Le signe de $\Delta$ fait le tri : $>0$ deux solutions, $=0$ une, $<0$ aucune.

📖 3. Racines et factorisation du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Une racine d’un polynôme $P$ est un réel $t$ tel que $P(t)=0$.
• Factorisation en facteurs du premier degré : Factoriser un trinôme consiste à l’écrire comme un produit de deux facteurs linéaires, lorsqu’il admet des racines réelles.

📝 Points essentiels

• Les solutions d’une équation du second degré sont exactement les racines du trinôme associé.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0$ racine double.
• Si $\Delta<0$, on ne peut pas factoriser $f(x)$ en produit de facteurs linéaires réels.
• Exemple : $g(x)=5x^2-9x+4$ a $\Delta=1>0$, racines $\dfrac{9\pm 1}{10}$ et $g(x)=5(x-1)\left(x-\dfrac{4}{5}\right)$.

💡 Astuce mémo

Factorisation = racines : $\Delta$ positif donne deux facteurs $(x-x_1)(x-x_2)$.

📖 4. Signe d'un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signe : Un tableau de signe organise le signe d’un polynôme du second degré selon les intervalles définis par ses racines.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ et $\Delta>0$ (racines $x_1<x_2$), $f$ change de signe aux racines et le signe entre $x_1$ et $x_2$ est l’opposé de $a$.
• Si $\Delta>0$, le signe de $f(x)$ est le signe de $a$ pour $x<x_1$ et pour $x>x_2$ (extérieurs aux racines).
• Si $\Delta=0$, $f(x)$ s’annule en $x=x_0$ et garde le signe de $a$ pour tout réel différent de $x_0$.
• Si $\Delta<0$, $f(x)$ a le même signe que $a$ pour tous les réels.
• Exemple : $k(x)=-x^2-3x+6$ a $\Delta=33>0$ et un coefficient $a=-1$ ; pour étudier $k(x)<0$, il faut placer les racines sur la droite réelle avant de lire le signe.
• Une inéquation $k(x)<0$ revient à déterminer les $x$ pour lesquels le tableau donne un signe strictement négatif.

💡 Astuce mémo

Avec $\Delta>0$, pense “deux zéros = deux bascules” : entre les racines le signe s’inverse par rapport à $a$.

📖 5. Parabole et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet d’une parabole définie par $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est le point de coordonnées $(\alpha,\beta)$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est la droite $x=\alpha$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq 0$, le sommet a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$.
• On a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $f(\alpha)=\beta$ pour retrouver le sommet à partir des coefficients.
• La parabole admet toujours un axe de symétrie, donné par la droite $x=\alpha$.
• Le passage à la forme canonique $(x-\alpha)^2$ met directement en évidence la position de l’axe et du sommet.

💡 Astuce mémo

Forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$ → l’axe est $x=\alpha$ et le sommet vaut $\beta$ en $\alpha$.

📊 Tableaux de synthèse

Lien discriminant et nombre de solutions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la racine d’un polynôme avec son coefficient : une racine est un réel $t$ tel que $P(t)=0$.
2. Utiliser le signe de $a$ au lieu du signe de $\Delta$ pour décider du nombre de solutions.
3. D’oublier que pour $\Delta>0$ le signe du trinôme s’inverse entre $x_1$ et $x_2$ et ne s’inverse pas en dehors.
4. Écrire la forme canonique sans le bon déplacement : $\alpha$ vaut toujours $-\dfrac{b}{2a}$.
5. Croire que $\Delta<0$ permet une factorisation réelle : le cours dit au contraire que ce n’est pas possible en facteurs du premier degré.
6. Se tromper d’intervalle dans le tableau de signe en inversant $x_1$ et $x_2$ quand on suppose $x_1<x_2$.
7. Confondre sommet et discriminant : le sommet dépend de $\alpha$ et $\beta$, tandis que $\Delta$ sert à la résolution et au signe.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier une fonction du second degré sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir donner la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ d’un trinôme et calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$.
3. Savoir définir le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et l’utiliser pour conclure le nombre de solutions réelles.
4. Savoir résoudre $ax^2+bx+c=0$ en distinguant les cas $\Delta>0$, $\Delta=0$ et $\Delta<0$ avec les formules de $x_1$, $x_2$ et $x_0$.
5. Savoir transformer la résolution en équation sur un carré $(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
6. Savoir relier racines et solutions : les solutions de l’équation sont les racines du polynôme associé.
7. Savoir factoriser selon le signe de $\Delta$ : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta>0$, $a(x-x_0)^2$ si $\Delta=0$, impossibilité en facteurs linéaires si $\Delta<0$.
8. Savoir construire le tableau de signe pour $\Delta>0$ en plaçant $x_1<x_2$ et en lisant l’opposé de $a$ entre les racines.
9. Savoir lire le signe pour $\Delta=0$ et pour $\Delta<0$ : signe de $a$ partout sauf au point de nullité pour $\Delta=0$.
10. Savoir utiliser un exemple de type $k(x)<0$ : calculer les racines via $\Delta$, puis sélectionner les intervalles où le signe est strictement négatif.
11. Savoir donner le sommet $(\alpha,\beta)$ et l’axe $x=\alpha$ à partir de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
12. Savoir utiliser $f(\alpha)=\beta$ pour vérifier/obtenir la coordonnée verticale du sommet.