Fiche de révision : Analyse du Signe de la Dérivée et Variations

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation & interprétation graphique
2. Nombre dérivé & limite h→0
3. Dérivée & tangente à la courbe
4. Dérivée fonctions usuelles & formules
5. Dérivée somme & propriété
6. Dérivée produit & règle
7. Dérivée quotient & règle
8. Signe de la dérivée & variation
9. Extremum local & dérivée nulle
10. Signe de la dérivée & sens de variation

📖 1. Taux de variation & interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, représentant la pente moyenne de la fonction entre deux points $a$ et $b$.
• Interprétation graphique du taux de variation : Coefficient directeur de la sécante reliant les points $A(a, f(a))$ et $M(a+h, f(a+h))$.
• Nombre dérivé : Limite du taux de variation lorsque $h \to 0$, noté $f'(a)$, représentant la pente de la tangente en un point.
• Interprétation graphique du nombre dérivé : Coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point $a$.
• Dérivabilité : Fonction est dérivable en $a$ si la limite du taux de variation existe finie en ce point.
• Dérivée d’une fonction : Fonction $f'$ associée à $f$, donnant la pente de la tangente en chaque point où elle existe.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation entre $a$ et $b$ est la pente de la sécante entre ces deux points.
• La dérivabilité en $a$ implique l’existence d’une limite du taux de variation lorsque $h \to 0$.
• La dérivée $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe en $a$.
• La relation entre la dérivée et le sens de variation : si $f'(a) > 0$, la fonction est croissante en $a$; si $f'(a) < 0$, elle est décroissante.
• La dérivée permet d’étudier les extrema locaux et la concavité de la courbe.

💡 À retenir

Le taux de variation mesure la pente moyenne entre deux points, tandis que la dérivée en un point donne la pente instantanée, permettant d’analyser le comportement local de la fonction.

📖 2. Nombre dérivé & limite h→0

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient (f(b) - f(a)) / (b - a), représentant la pente moyenne entre deux points a et b d'une fonction f.
• Limite h→0 : Limite du taux de variation lorsque l'écart h entre deux points tend vers zéro, permettant de définir la dérivée en un point.
• Nombre dérivé (f′(a)) : Limite du taux de variation lorsque h→0, si elle existe, elle donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Dérivabilité en un point : La fonction f est dérivable en a si la limite lim_{h→0} (f(a+h) - f(a)) / h existe et est finie.
• Interprétation graphique : La dérivée en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Tangente à la courbe : La droite passant par (a, f(a)) avec pente f′(a), donnée par y = f′(a)(x - a) + f(a).

📝 Points essentiels

• La limite du taux de variation (f(a+h) - f(a)) / h quand h→0 définit la dérivée f′(a).
• La dérivée f′(a) représente la pente de la tangente à la courbe en a.
• La dérivabilité en un point implique que la limite du taux de variation existe et est finie.
• La dérivée peut être interprétée graphiquement comme la pente de la tangente ou comme la vitesse instantanée dans un contexte physique.
• La limite h→0 est essentielle pour passer du taux de variation moyen à la pente instantanée.
• La dérivée est une notion locale : elle ne donne pas d'information sur le comportement global de la fonction.

💡 À retenir

La dérivée en un point est la limite du taux de variation entre deux points proches, représentant la pente de la tangente à la courbe en ce point. Elle traduit le comportement local de la fonction et permet d'analyser ses variations.

📖 3. Dérivée & tangente à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient (f(b) - f(a)) / (b - a), représentant la pente moyenne entre deux points a et b sur la courbe.
• Nombre dérivé (f'(a)) : Limite du taux de variation lorsque h → 0, c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe en un point a.
• Dérivée d’une fonction : Fonction qui associe à chaque point x la pente de la tangente à la courbe en x, notée f'(x).
• Tangente à la courbe : Droite passant par un point (a, f(a)) dont le coefficient directeur est la dérivée f'(a).
• Interprétation graphique : La dérivée en a est la pente de la tangente à la courbe en ce point, donnant une idée du sens et de la vitesse de variation locale.

📝 Points essentiels

• La dérivée en un point a est définie par la limite :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
• La tangente au point a a pour équation :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
• La dérivée permet d’étudier le sens de variation de la fonction :
  • Si f'(x) > 0, la fonction est croissante en x.
  • Si f'(x) < 0, la fonction est décroissante en x.
  • Si f'(x) = 0, la fonction peut avoir un extremum local en x.
• La dérivée d’une fonction classique (constante, affine, polynôme, racine, inverse, etc.) se calcule à partir des règles de dérivation.
• La tangente à la courbe en un point donne une approximation locale de la fonction.

💡 À retenir

La dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe en ce point, permettant d’analyser la variation locale de la fonction et de déterminer ses extrema.

📖 4. Dérivée fonctions usuelles & formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une fonction en un point : Limite du taux de variation lorsque h → 0, notée f′(a) = limₕ→0 [f(a + h) - f(a)] / h. Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.

• Fonction dérivée : Fonction qui, à chaque point de l'intervalle de définition, associe la dérivée en ce point, notée f′ ou df/dx.

• Fonctions usuelles dérivables : Fonctions classiques dont la dérivée est connue ou facilement calculable, telles que :

  • Constantes : f(x) = k, f′(x) = 0.
  • Affines : f(x) = ax + b, f′(x) = a.
  • Carré : f(x) = x², f′(x) = 2x.
  • Cube : f(x) = x³, f′(x) = 3x².
  • Racine carrée : f(x) = √x, f′(x) = 1 / (2√x) pour x > 0.
  • Valeur absolue : f(x) = |x|, dérivée = 1 si x > 0, -1 si x < 0, non dérivable en 0.

• Règles de dérivation :

  • Somme : (u + v)′ = u′ + v′.
  • Produit : (uv)′ = u′v + uv′.
  • Quotient : (u/v)′ = (u′v - uv′) / v².
  • Fonction composée : (g(ax + b))′ = a × g′(ax + b).

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une constante est nulle ; celle d'une fonction affine est constante.

• La dérivée d'une puissance xⁿ (n entier naturel ou Z) est nxⁿ⁻¹.

• La dérivée de x⁻¹ (inverse) est -1 / x², définie sur R*.

• La dérivée de √x est 1 / (2√x), définie sur (0, +∞).

• La dérivée de |x| est 1 si x > 0, -1 si x < 0, non définie en 0.

• La dérivée d'une somme ou d'un produit est la somme ou le produit de leurs dérivées, selon les règles.

• La dérivée indique le sens de variation : si f′(x) > 0, f est croissante ; si f′(x) < 0, f est décroissante.

• La dérivée permet de repérer les extrema locaux : un extremum local en a si f′(a) = 0 et change de signe autour de a.

💡 À retenir

Les dérivées des fonctions usuelles sont essentielles pour analyser leur comportement local, déterminer leur sens de variation, et étudier leurs extrema. Les règles de dérivation permettent de calculer rapidement la dérivée de fonctions composées ou combinées, facilitant ainsi l'étude de leur croissance ou décroissance.

📖 5. Dérivée somme & propriété

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une somme : Si $f = u + v$, alors $f' = u' + v'$. La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées respectives.

• Dérivée d'un produit : Si $f = u \times v$, alors $f' = u' v + u v'$. La dérivée du produit de deux fonctions est donnée par la formule de Leibniz.

• Dérivée d'un quotient : Si $f = \frac{u}{v}$ avec $v \neq 0$, alors $f' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$. La dérivée du quotient utilise la règle de dérivation du quotient.

• Propriété de linéarité : La dérivée est une opération linéaire, c’est-à-dire qu’elle respecte la somme et la multiplication par une constante.

• Fonction dérivable : Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ existe. La valeur de cette limite est la dérivée en $a$.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : $(u + v)' = u' + v'$.

• La dérivée d’un produit est donnée par la formule : $(u v)' = u' v + u v'$.

• La dérivée d’un quotient est donnée par : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$.

• La dérivée d'une fonction composée $f(x) = g(ax + b)$ est : $f'(x) = a \times g'(ax + b)$.

• La dérivée est un outil pour étudier le sens de variation d’une fonction, ses extrema, et ses points d’inflexion.

• La dérivée d’une fonction constante est nulle : $f(x) = k \Rightarrow f'(x) = 0$.

• La dérivée d’une fonction affine $f(x) = ax + b$ est constante : $f'(x) = a$.

💡 À retenir

Les opérations de dérivation sont linéaires et respectent des règles précises : la somme, le produit, et le quotient. Ces propriétés permettent de calculer facilement la dérivée de fonctions complexes en décomposant en opérations simples.

📖 6. Dérivée produit & règle

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’un produit : Si u et v sont deux fonctions dérivables en un point, la dérivée de leur produit en ce point est donnée par la formule :
  $(uv)′(x) = u′(x) v(x) + u(x) v′(x)$
  Point essentiel pour différencier le produit de deux fonctions.

• Règle du produit : Règle permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, en utilisant leurs dérivées et valeurs en un point.

• Dérivée d’un quotient : Si u et v sont deux fonctions dérivables en un point, avec v(x) ≠ 0, la dérivée du quotient u/v est :
  $\left(\frac{u}{v}\right)′(x) = \frac{u′(x) v(x) - u(x) v′(x)}{v(x)^2}$
  Point clé pour différencier une division de fonctions.

• Règle du quotient : Règle pour calculer la dérivée d’un quotient de deux fonctions dérivables, en combinant leurs dérivées et valeurs.

• Dérivée d’une fonction composée : Si g est dérivable en ax + b, alors la dérivée de f(x) = g(ax + b) est :
  $f′(x) = a \times g′(ax + b)$
  Règle de la chaîne pour différencier une composition.

📝 Points essentiels

• La dérivée du produit u×v est la somme du produit de la dérivée de u par v, et de u par la dérivée de v.
• La dérivée du quotient u/v implique la dérivée de u multipliée par v, moins u multiplié par la dérivée de v, le tout divisé par v².
• La règle de la chaîne permet de différencier une fonction composée en multipliant la dérivée de la fonction extérieure par la dérivée de la fonction intérieure, multipliée par le coefficient a si la composition est de la forme g(ax + b).
• Ces règles sont fondamentales pour dériver des fonctions complexes en utilisant des opérations simples.

💡 À retenir

La dérivée d’un produit ou d’un quotient se calcule à partir des dérivées des fonctions de base en utilisant des formules précises, et la règle de la chaîne permet de différencier efficacement des fonctions composées.

📖 7. Dérivée quotient & règle

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, mesure la variation moyenne de $f$ entre $a$ et $b$.
• Nombre dérivé : Limite du taux de variation quand $b \to a$, noté $f' (a)$, représentant la pente de la tangente à la courbe en $a$.
• Dérivée d’une fonction : Fonction $f'$ associée à $f$, donnant la pente de la tangente en chaque point où elle existe.
• Règle du quotient : Formule pour la dérivée du quotient de deux fonctions $u$ et $v$ :
  $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• Dérivée d’une inverse : Si $f$ est dérivable et non nulle, alors
  $\left(\frac{1}{f}\right)' = -\frac{f'}{f^2}$

📝 Points essentiels

• La dérivée du quotient s’obtient en utilisant la formule : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• La règle du quotient nécessite que $v(x) \neq 0$ pour que la dérivée soit définie.
• La dérivée de l’inverse d’une fonction non nulle est $-\frac{f'}{f^2}$.
• La dérivée d’une somme ou d’une différence est la somme ou la différence des dérivées : $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
• La dérivée d’un produit est donnée par : $(uv)' = u'v + uv'$.
• La dérivée d’une fonction composée $f(g(x))$ avec $g$ dérivable est : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)$.

💡 À retenir

La règle du quotient permet de dériver efficacement le rapport de deux fonctions, en combinant leurs dérivées et en respectant la condition que le dénominateur ne s’annule pas. La dérivée de l’inverse d’une fonction est liée à la dérivée de la fonction elle-même, avec un signe négatif et un carré au dénominateur.

📖 8. Signe de la dérivée & variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, représentant la pente de la sécante entre deux points $a$ et $b$ d'une fonction $f$.
• Nombre dérivé : Limite du taux de variation lorsque $b$ tend vers $a$, notée $f' (a)$, si cette limite existe.
• Dérivée en un point : Coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point $a$, donnée par $f' (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• Signe de la dérivée : Indicateur du sens de variation de $f$ :
  • $f' (x) > 0$ : $f$ est croissante en $x$.
  • $f' (x) < 0$ : $f$ est décroissante en $x$.
  • $f' (x) = 0$ : $f$ est constante ou en extremum local en $x$.
• Variation d'une fonction :
  • Croissante si $f' (x) \geq 0$ sur l'intervalle.
  • Décroissante si $f' (x) \leq 0$ sur l'intervalle.

📝 Points essentiels

• La signe de la dérivée en un point détermine le sens de variation de la fonction en ce point.
• La limite du taux de variation quand $h \to 0$ donne la dérivée.
• Si $f' (x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
• Si $f' (x) < 0$, alors $f$ est strictement décroissante.
• En cas de changement de signe de la dérivée, la fonction peut avoir un ** extremum local** (maximum ou minimum).
• La constance d'une fonction correspond à une dérivée nulle sur l'intervalle.

💡 À retenir

Le signe de la dérivée d'une fonction en un point ou sur un intervalle permet de déterminer précisément le sens de variation de cette fonction, ce qui est essentiel pour analyser son comportement et identifier ses extrema.

📖 9. Extremum local & dérivée nulle

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum local : Point $x_0$ où une fonction $f$ atteint un maximum ou minimum dans un voisinage, c’est-à-dire qu’il existe un intervalle $I$ contenant $x_0$ tel que $f(x_0) \geq f(x)$ (maximum local) ou $f(x_0) \leq f(x)$ (minimum local) pour tout $x \in I$.
• Dérivée nulle en un point : Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = 0$, alors la pente de la tangente à la courbe en $x_0$ est horizontale.
• Critère du premier ordre pour un extremum local : Si $f$ est dérivable en $x_0$ et que $f'(x_0) = 0$, alors $x_0$ est un candidat pour un extremum local ; il faut vérifier le signe de la dérivée ou utiliser le second critère.
• Point critique : Point $x_0$ où $f'(x_0) = 0$ ou $f'$ n’est pas défini. Ces points sont à examiner pour déterminer la nature de l’extremum.
• Point d’inflexion : Point où la concavité change, souvent associé à une dérivée seconde nulle ou changeant de signe.

📝 Points essentiels

• Lien entre extremum local et dérivée nulle : Tout extremum local en un point $x_0$ où $f$ est dérivable implique que $f'(x_0) = 0$ ou que $f'$ n’est pas défini en $x_0$.
• Critère du premier ordre : Si $f'$ change de signe autour de $x_0$, alors $x_0$ est un extremum (maximum si $f'$ passe de positif à négatif, minimum si de négatif à positif).
• Dérivée nulle ne garantit pas un extremum : La dérivée nulle en un point ne signifie pas forcément un maximum ou un minimum (exemple : point selle).
• Exemples de fonctions usuelles :
  • $f(x) = x^2$ a un minimum en 0 avec $f'(0) = 0$.
  • $f(x) = x^3$ a une dérivée nulle en 0 mais pas d’extremum local.
• Second ordre : La dérivée seconde $f''(x_0)$ permet de déterminer la nature du point critique :
  • $f''(x_0) > 0$ : minimum local.
  • $f''(x_0) < 0$ : maximum local.
  • $f''(x_0) = 0$ : test indéterminé, autre méthode nécessaire.

💡 À retenir

Un point où la dérivée s’annule est une étape clé pour identifier un extremum local, mais il faut analyser le signe de la dérivée ou utiliser la dérivée seconde pour confirmer la nature de ce point. La dérivée nulle ne garantit pas toujours un extremum, notamment en présence de points selles.

📖 10. Signe de la dérivée & sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Quotient (f(b) - f(a)) / (b - a), représentant la pente de la sécante entre deux points a et b.
• Nombre dérivé : Limite du taux de variation lorsque h → 0, noté f′(a), indiquant la pente de la tangente à la courbe en a.
• Dérivée : Fonction qui associe à chaque point x le nombre dérivé f′(x), permettant d’étudier le comportement local de la fonction.
• Sens de variation : La façon dont une fonction augmente ou diminue sur un intervalle, liée au signe de sa dérivée.
• Signe de la dérivée : Indicateur du sens de variation ; si f′(x) > 0, f est croissante en x ; si f′(x) < 0, f est décroissante.
• Extremum local : Point où la fonction atteint un maximum ou un minimum local, souvent lié au changement de signe de la dérivée.

📝 Points essentiels

• La dérivée en un point donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• La variation d’une fonction est déterminée par le signe de sa dérivée :
  • Si f′(x) ≥ 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle.
  • Si f′(x) ≤ 0 sur un intervalle, f est décroissante.
• Le passage du signe de la dérivée (de positif à négatif ou inversement) indique un extremum local.
• La dérivée n’est pas toujours définie en un point, notamment en points de cuspide ou en points où la fonction n’est pas dérivable.
• La connaissance du signe de la dérivée permet de tracer le tableau de variations de la fonction.

💡 À retenir

Le signe de la dérivée d’une fonction en un point ou sur un intervalle détermine son sens de variation : positive pour une croissance, négative pour une décroissance. La variation de la dérivée permet aussi d’identifier les extrema locaux.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre taux de variation moyen et dérivée instantanée.
2. Oublier que la dérivée d'une constante est nulle.
3. Confondre dérivée d’une fonction et limite h→0 du taux de variation.
4. Négliger la non-dérivabilité en points où la fonction n’est pas continue ou présente un coin.
5. Confondre signe de la dérivée et signe de la fonction.
6. Mal appliquer la règle du quotient en oubliant que v ≠ 0.
7. Confondre la dérivée d’une somme et la somme des dérivées dans le cas où les fonctions ne sont pas dérivables partout.

✅ Checklist Examen

1. Définir le taux de variation entre deux points et l’interpréter graphiquement.
2. Expliquer la notion de nombre dérivé en lien avec la limite h→0.
3. Écrire l’équation de la tangente à la courbe en un point à partir de la dérivée.
4. Calculer la dérivée d’une fonction simple (constante, affine, puissance).
5. Appliquer la règle de dérivation d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
6. Déterminer le signe de la dérivée pour analyser la croissance ou décroissance d’une fonction.
7. Identifier un extremum local en utilisant la dérivée nulle et le changement de signe.
8. Vérifier la dérivabilité en un point, notamment en 0 ou en points de coin.
9. Utiliser la dérivée pour étudier la concavité et la convexité (si applicable).
10. Rappeler la formule de la dérivée de la racine carrée et de la valeur absolue.
11. Vérifier la continuité et la dérivabilité d’une fonction composite.
12. Conclure sur le comportement global de la fonction à partir de ses dérivées.