Fiche de révision : Analyse et résolution de fonctions polynômiales de degré 2

📋 Plan du Cours

1. Modélisation d’un bénéfice
2. Forme développée du polynôme
3. Parabole et variations
4. Maximum et zéros de la fonction
5. Forme factorisée et racines
6. Résoudre une inéquation du second degré
7. Signe d’un polynôme factorisé

📖 1. Modélisation d’un bénéfice

🔑 Notions clés & Définitions

• Chiffre d’affaires : La grandeur économique qui représente l’argent reçu par l’entreprise grâce aux ventes.
• Coût de fabrication : La somme dépensée pour produire les écouteurs, utilisée comme référence pour mesurer le bénéfice.
• Fonction bénéfice : Une fonction polynôme modélisant la différence entre chiffre d’affaires et coût, avec un bénéfice quand la valeur est strictement positive.
• Fonction g du bénéfice : La fonction polynôme de degré 2 définie sur [0 ; 1200] qui modélise la différence en euros selon le nombre de ventes exprimé en centaines.

📝 Points essentiels

• La modélisation utilise un écart g(x) = -(x - 942)(x - 8) avec x en centaines de ventes et g(x) en euros.
• Un bénéfice correspond aux valeurs de x pour lesquelles g(x) est strictement positive.
• Les zéros de g(x) sont donnés par x = 8 et x = 942, car g(x)=0 équivaut à (x-942)(x-8)=0.
• Le maximum de g(x) se lit avec le sommet de la parabole, ici atteint pour x = 475 centaines de ventes.

💡 Astuce mémo

Zéros faciles : g(x)=0 quand (x-942)=0 ou (x-8)=0, donc 8 et 942.

📖 2. Forme développée du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : Écriture d’un polynôme de degré 2 sous la forme g(x) = ax² + bx + c.
• Coefficients a b c : Les nombres réels a, b et c qui fixent entièrement un polynôme de degré 2 en forme développée.

📝 Points essentiels

• Pour g(x) = -(x - 942)(x - 8), on obtient l’identité g(x) = -x² + 950x - 7356 avec a=-1, b=950 et c=-7356.
• Le signe de a vaut ici -1, donc la parabole est tournée vers le bas (maximum plutôt que minimum).

💡 Astuce mémo

Développer puis identifier : on retrouve directement a, b et c à partir des coefficients de x², x et constante.

📖 3. Parabole et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2.
• Variations : Le sens du mouvement de la valeur de la fonction quand x augmente sur un intervalle (croissante ou décroissante).

📝 Points essentiels

• Sur la représentation, g est croissante puis décroissante autour de x = 475, qui correspond au sommet de la parabole.
• Sur [0 ; 475], g est décroissante, puis sur [475 ; 1200], g est croissante.
• Le sens des variations dépend du signe de a : ici comme a est négatif (a=-1), la parabole est tournée vers le bas.
• La valeur de x séparant croissance et décroissance est x = 475 centaines de ventes.

💡 Astuce mémo

Sommet = frontière : pour une parabole tournée vers le bas, ça monte puis ça redescend (frontière au sommet).

📖 4. Maximum et zéros de la fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : La plus grande valeur atteinte par la fonction sur l’intervalle étudié, atteinte au sommet pour une parabole.
• Zéros d’une fonction : Les valeurs de x pour lesquelles la fonction vaut 0, donc les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• La valeur maximale de g est environ 248 089 euros, atteinte pour x = 475 centaines de ventes.
• Le bénéfice maximal correspond à 248 089 et à 47500 ventes (car x est en centaines).
• Les zéros de g correspondent aux valeurs x = 8 et x = 942 (d’après la factorisation initiale).
• Le bénéfice est positif entre les deux zéros, donc pour des ventes entières strictement comprises entre 800 et 94200.

💡 Astuce mémo

Bénéfice > 0 entre les deux zéros, et le maximum au milieu des racines pour une parabole.

📖 5. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : Écriture d’un polynôme de degré 2 sous la forme f(x) = a(x - x₁)(x - x₂).
• Racine : Valeur de x qui annule le polynôme, c’est-à-dire pour laquelle f(x)=0.
• Racine double : Cas où un polynôme admet une seule racine x₀, et s’écrit alors sous la forme f(x)=a(x-x₀)².

📝 Points essentiels

• Si f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) avec x₁ et x₂ réelles, alors les solutions de f(x)=0 sont exactement x₁ et x₂.
• Dans le cas d’une racine double, le polynôme s’écrit f(x)=a(x-x₀)² et la courbe touche l’axe en x₀.
• Pour g(x)=-(x-942)(x-8), les racines sont 942 et 8, donc g(x)=0 pour ces deux abscisses.
• Le signe de a détermine l’orientation de la parabole dans la forme factorisée.

💡 Astuce mémo

Factorisée : les racines sont dans les parenthèses (x-x₁) et (x-x₂).

📖 6. Résoudre une inéquation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Inéquation avec un polynôme de degré 2, typiquement du type ax²+bx+c > 0 ou ≥ 0.
• Solutions d’une inéquation : Ensemble des valeurs de x qui rendent l’inéquation vraie.

📝 Points essentiels

• Pour l’entreprise de vigilance, f(x) > 80 devient -20x² + 400x - 1 980 > 0 après simplification.
• Les solutions de -20x² + 400x - 1 980 = 0 sont x₁ = 9 et x₂ = 11, déterminées avec la calculatrice.
• Comme le polynôme est un produit quadratique, le test par le signe donne que f(x) > 80 correspond à l’intervalle ]9 ; 11[.
• La conclusion est que le degré de vigilance est supérieur à 80% de 9h à 11h.

💡 Astuce mémo

Étapes types : mettre tout d’un côté, résoudre l’équation =0, puis garder où le polynôme est strictement positif.

📖 7. Signe d’un polynôme factorisé

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Tableau qui indique le signe d’un polynôme sur les intervalles séparés par ses racines.
• Signe de a : Le signe du coefficient a dans la forme factorisée, qui influence le signe du polynôme entre les racines.

📝 Points essentiels

• Si P(x)=a(x-x₁)(x-x₂) avec x₁<x₂, alors P(x) est de signe a entre x₁ et x₂ et de signe -a à l’extérieur.
• Dans l’exemple P(x)=-20(x-9)(x-11), on a P(x) > 0 exactement pour x dans ]9 ; 11[.
• Pour une racine double P(x)=a(x-x₀)², le polynôme ne change pas de signe : il vaut 0 en x₀ et garde le signe de a ailleurs.
• Le tableau utilisé se base sur l’ordre des points x₁ et x₂ et sur la valeur de a=-20.

💡 Astuce mémo

Racines : elles découpent l’axe ; sur chaque intervalle, le signe alterne comme un produit de facteurs (x-x₁)(x-x₂).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre x exprimé en centaines de ventes avec le nombre réel de ventes, ce qui fausse les réponses numériques (par exemple x=475 donne 47500 ventes).
2. Prendre g(x) ≥ 0 au lieu de g(x) > 0, ce qui changerait les bornes pour les ventes entières (ici on exclut les racines).
3. Écrire les racines dans le mauvais ordre ou oublier qu’elles correspondent aux zéros (intersections avec l’axe des abscisses).
4. Se tromper sur le sens des variations en oubliant que le signe de a détermine l’orientation de la parabole et donc le maximum/minimum.
5. Déduire le signe sans tableau de signes, notamment quand le coefficient a est négatif (le signe s’inverse).
6. Confondre forme factorisée et forme développée : dans la factorisée, les racines sont directement lues dans les parenthèses.
7. Oublier le cas de racine double : la courbe touche l’axe sans changer de signe autour de x₀.

✅ Checklist Examen

1. Développer g(x)=-(x-942)(x-8) pour obtenir une forme ax²+bx+c avec a, b, c.
2. Identifier les racines d’un polynôme donné en forme factorisée a(x-x₁)(x-x₂).
3. Relier g(x)>0 à l’intervalle strict entre les deux racines, puis convertir en ventes entières si demandé.
4. Lire le maximum d’une fonction polynôme de degré 2 sur le sommet, et donner la valeur correspondante.
5. Déterminer le sens des variations (croissante/décroissante) sur des intervalles séparés par le sommet à partir du signe de a.
6. Savoir résoudre une inéquation du second degré en passant par l’équation P(x)=0 puis le signe de P(x).
7. Compléter et exploiter un tableau de signes pour un polynôme factorisé a(x-x₁)(x-x₂) afin de trouver P(x)>0.
8. Traiter le cas d’une racine double : P(x)=a(x-x₀)² et la règle de signe associée.
9. Présenter une réponse en heures ou en intervalle de valeurs cohérente avec l’interprétation du problème (supérieur à 80% seulement).