Fiche de révision : Analyse mathématique des suites et limites

📌 L'essentiel

• Une suite est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ qui donne une valeur pour chaque entier naturel.
• La convergence d'une suite est définie par la limite $l$, avec la propriété : $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, |u(n) - l| \leq \varepsilon$.
• Les suites peuvent être bornées (majorées et minorées) ou non, et ces propriétés influencent leur convergence.
• Une suite monotone (croissante ou décroissante) qui est bornée converge d'après le théorème de convergence des suites monotones bornées.
• Les suites géométriques ont la forme $u_n = a^{n}$ avec $a \in \mathbb{R}$ ; leur limite dépend de $|a|$.
• Les suites récurrentes (définies par une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$) peuvent converger vers des points fixes vérifiant $f(\ell) = \ell$.
• Les formes indéterminées comme $0/0$ ou $\infty / \infty$ nécessitent un traitement particulier.

📖 Concepts clés

Suite : Fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$assignant une valeur à chaque entier, souvent écrite sous la forme $(u(n))_{n \in \mathbb{N}}$.

Suite majorée : $\exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u(n) \leq M$.

Suite minorée : $\exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u(n) \geq m$.

Suite bornée : Majorée et minorée simultanément.

Suite croissante : $\forall n, u(n+1) \geq u(n)$.

Suite décroissante : $\forall n, u(n+1) \leq u(n)$.

Suite monotone : Croissante ou décroissante.

Limite finie : $\lim_{n \to \infty} u(n) = l \in \mathbb{R}$.

Limite infinie : La suite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

Divergence : Absence de limite finie.

📐 Formules et lois

Limite d'une suite :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u(n) - l| \leq \varepsilon$$

Limités par opérations :

• $\lim_{n \to \infty} \lambda u(n) = \lambda \lim_{n \to \infty} u(n)$ (si la limite existe)
• $\lim_{n \to \infty} (u(n) + v(n)) = \lim_{n \to \infty} u(n) + \lim_{n \to \infty} v(n)$
• $\lim_{n \to \infty} u(n) v(n) = (\lim_{n \to \infty} u(n)) (\lim_{n \to \infty} v(n))$
• Si $u(n) \neq 0$ pour $n$ suffisamment grand :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{u(n)} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} u(n)} \quad \text{(si la limite n'est pas nulle)}$$

🔍 Méthodes

1. Vérifier si la suite est majorée ou minorée.
2. Déterminer si la suite est croissante ou décroissante.
3. Utiliser le théorème des suites monotones bornées pour conclure à la convergence.
4. Prouver la limite avec la définition (approche epsilon).
5. Étudier la limite à partir des opérations ou suites adjacentes.
6. Résoudre l’équation du point fixe $f(\ell) = \ell$ dans le cas des suites récurrentes.
7. Pour une suite géométrique $u_n = a^n$, appliquer la formule de la somme pour la série.

💡 Exemples

• Suite alternée : $((-1)^n)$, divergence car elle n’admet pas de limite finie.
• Suite géométrique : $u_n = a^n$ :
  • Si $|a|<1$, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.
  • Si $a=1$, $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$.
  • Si $|a|>1$, suite diverge.
• Suite récurrente : $u_{n+1} = f(u_n)$, convergence vers un point fixe $\ell$ avec $f(\ell) = \ell$.
• Série géométrique : $\sum_{k=0}^n a^k$, convergence quand $|a|<1$, limite $= \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}$.
• Suite harmonique : $u_n=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$, divergence vers $+\infty$.

⚠️ Pièges

• Confondre suite divergente et suite non convergente (une suite divergente ne tend pas nécessairement vers l’infini).
• Ignorer la nécessité de vérifier la monotonie et la bornitude pour la convergence.
• Utiliser une limite sans vérifier que la suite est convergente.
• Confondre limite infinie et divergence.
• Négliger la précision lors d’approximation décimale.

📊 Synthèse comparative

✅ Checklist examen

• Définir et reconnaître une suite bornée, monotone.
• Appliquer la définition de la limite.
• Identifier un point fixe dans une suite récurrente.
• Déterminer la limite d’une suite géométrique.
• Conclure à la convergence ou divergence en utilisant le théorème approprié.
• Résoudre une équation du type $f(\ell) = \ell$ dans le contexte des suites récurrentes.
• Maîtriser les opérations sur limites.
• Savoir analyser une série géométrique.
• Éviter les pièges classiques liés aux limites infinies et aux formes indéterminées.

Synthèse rapide

• Définir une suite : $u(n)$ dans $\mathbb{R}$.
• Suites majorées, minorées, bornées.
• Suites croissantes, décroissantes, monotones.
• Limites finies, infinies, suites divergentes.
• Opérations sur limites : addition, multiplication, inverse.
• Suites géométriques, séries géométriques.
• Suites récurrentes, points fixes.
• Convergence, divergence, suites adjacentes.
• Approximations décimales et précisions.