Fiche de révision : ANOVA à un facteur

📋 Plan du Cours

1. Objectifs et cadre de l’ANOVA
2. Plans expérimentaux complets et équilibrés
3. Variabilité totale de la réponse
4. Variabilité intergroupes expliquée
5. Variabilité intragroupes résiduelle
6. Décomposition des sommes de carrés

📖 1. Objectifs et cadre de l’ANOVA

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA à un facteur : Méthode qui compare les moyennes d’une variable réponse quantitative entre les modalités d’un facteur qualitatif.

★ À maîtriser

• Plus généralement, l’ANOVA étudie l’influence d’un ou plusieurs facteurs et de leurs interactions sur une variable réponse.

Compléments

• Dans la notation du plan S < A >, S désigne les groupes indépendants de sujets et A le facteur dont les modalités déterminent les conditions expérimentales.

• Les trois modalités du facteur type d’alerte sont :

  • visuelle
  • auditive
  • visuelle plus auditive

• Dans cet exemple, la variable réponse est le nombre d’erreurs de détection commises par un pilote.

💡 Astuce mémo

Facteur qualitatif → réponse quantitative

📖 2. Plans expérimentaux complets et équilibrés

★ À maîtriser

📌 Un plan expérimental complet comprend toutes les combinaisons possibles des modalités des facteurs étudiés.

📌 Un plan expérimental équilibré comporte autant d’observations pour chaque combinaison de modalités.

Compléments

• Pour étudier les effets du type d’alerte et de l’expérience, les 60 pilotes sont répartis dans les six combinaisons des deux facteurs, avec 10 pilotes par combinaison.

• Un plan complet et équilibré permet d’estimer les effets des facteurs avec précision en évitant leur confusion dans l’analyse.

📖 3. Variabilité totale de la réponse

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des carrés totale : Mesure de la dispersion des observations de la variable réponse autour de leur moyenne générale.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des alertes, la moyenne générale du nombre d’erreurs est de 5,87 et la somme des carrés totale vaut 119,73.

• Une somme des carrés totale élevée indique que les valeurs observées de la réponse sont hétérogènes et que le phénomène est moins prévisible.

📖 4. Variabilité intergroupes expliquée

🔑 Notions clés & Définitions

• Variabilité intergroupes : Mesure des écarts entre les moyennes des groupes et la moyenne générale ; elle correspond à la part de variabilité attribuée au facteur.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des carrés intergroupes est $SC_{Inter} = \sum_{j=1}^{k} n_j(\bar{y}_j-\bar{y})^2$, où $n_j$ et $\bar{y}_j$ sont l’effectif et la moyenne du groupe $j$.

Compléments

• Dans l’exemple des alertes, les moyennes des groupes sont de 4,00 pour l’alerte auditive, 8,60 pour l’alerte visuelle et 5,00 pour l’alerte visuelle et auditive.

• Dans l’exemple des alertes, la somme des carrés intergroupes vaut 58,53.

• Plus la somme des carrés intergroupes est élevée, plus les moyennes des groupes diffèrent et plus l’effet associé au facteur est intense.

📖 5. Variabilité intragroupes résiduelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Variabilité intragroupes : Mesure de la dispersion des observations autour de la moyenne de leur propre groupe et non expliquée par le facteur contrôlé.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des carrés intragroupes est $SC_{Intra} = \sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(y_{ij}-\bar{y}_j)^2$.

Compléments

• Dans l’exemple des alertes, la somme des carrés intragroupes vaut 61,20.

• La variabilité intragroupes, également dite résiduelle ou aléatoire, provient notamment de différences individuelles entre les sujets qui ne sont pas contrôlées dans l’expérience.

• Plus la somme des carrés intragroupes est élevée, plus les observations d’un même groupe sont dispersées et moins la réponse est prévisible.

📖 6. Décomposition des sommes de carrés

★ À maîtriser

📐 Formule - La décomposition de la variabilité s’écrit $SC_{Totale} = SC_{Inter} + SC_{Intra}$.

• La somme des carrés totale se décompose en une part intergroupes expliquée par le facteur et une part intragroupes résiduelle.

Compléments

• La décomposition des sommes de carrés sert de base à la construction du tableau ANOVA et au test de l’effet du facteur.

• La relation entre les sommes de carrés permet également de définir une mesure d’intensité de l’effet du facteur, telle que $\eta^2$ ou $R^2$.

💡 Astuce mémo

Totale = intergroupes + intragroupes