Fiche de révision : Applications et nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Applications et images
2. Injectivité surjectivité bijectivité
3. Composition et applications réciproques
4. Lois et structure des réels
5. Ordre partie entière intervalles
6. Bornes et complétude de R
7. Propriétés des applications composées
8. Images réciproques et bornes
9. Structure du corps des réels
10. Parties ouvertes et fermées de R

📖 1. Applications et images

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : associe à tout élément de E un et un seul élément de F
• Image : L’image de f:E→F est l’ensemble Im f={y∈F tels qu’il existe x∈E avec y=f(x)}.
• Graphe : l’ensemble des couples (x,f(x)) pour x∈E

📝 Points essentiels

• Pour f:R→R définie par f(x)=x², l’image est R+ car x²≥0 et tout a≥0 vérifie a=(√a)².

💡 Astuce mémo

Départ E, arrivée F : l’antécédent part de E, l’image arrive dans F.

📖 2. Injectivité surjectivité bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injectivité : Une application f:E→F est injective si f(x)=f(x′) implique x=x′ pour tous x,x′∈E.
• Surjectivité : Une application f:E→F est surjective si tout y∈F possède au moins un antécédent dans E, c’est-à-dire si Im f=F.
• Bijectivité : est telle que tout y∈F possède un unique antécédent dans E

★ À maîtriser

📌 Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

Compléments

• L’application sin:R→[-1,1] est surjective mais non injective, tandis que sa restriction à [-π/2,π/2] est bijective vers [-1,1].

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : exactement un.

📖 3. Composition et applications réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : est définie par (g◦f)(x)=g(f(x))
• Application réciproque : Une application g:F→E est réciproque de f:E→F si f◦g=idF et g◦f=idE.

★ À maîtriser

• La composition est associative : h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.

• Une application admet une réciproque si et seulement si elle est bijective, et cette réciproque est unique et notée f⁻¹.

• Si f:E→F et g:F→G sont bijectives, alors g◦f est bijective et (g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹.

Compléments

📌 Pour toute application f:E→F, f◦idE=f et idF◦f=f.

• L’application f:R+→R+, f(x)=x², est bijective et sa réciproque est f⁻¹:R+→R+, f⁻¹(x)=√x.

💡 Astuce mémo

Pour g ◦ f, appliquer d’abord f, puis g ; pour inverser, remonter par g⁻¹ puis f⁻¹.

📖 4. Lois et structure des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de composition interne : associe à tout couple (x,y)∈E×E un résultat appartenant encore à E
• Groupe : Une loi interne est une loi de groupe si elle est associative, possède un élément neutre et si tout élément possède un opposé ou un inverse.
• Nombre irrationnel : un réel qui n’est pas rationnel

★ À maîtriser

• Un groupe est abélien si sa loi est commutative ; (Z,+) et (Q,+) sont des groupes abéliens, tandis que (N,+) n’en est pas un.

Compléments

📌 Dans la définition de l’élément neutre, il existe un élément e valable pour tout a, tandis que pour les opposés, chaque a possède éventuellement un opposé qui lui est propre.

• Le nombre √2 est irrationnel : supposer √2=p/q avec une fraction irréductible conduit à conclure que p et q sont tous deux pairs, contradiction.

💡 Astuce mémo

Dans N, la soustraction sort de l’ensemble ; dans Z, elle devient une addition avec l’opposé.

📖 5. Ordre partie entière intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : La relation ≤ sur R est réflexive, transitive et antisymétrique, et elle vérifie (a≤b) si et seulement si (a−b≤0).
• Partie entière : le plus grand entier inférieur ou égal à x
• Intervalle : une partie de R qui est ouverte, fermée, ou semi-ouverte de la forme ]a,b] ou [a,b[

★ À maîtriser

• La propriété d’Archimède affirme que pour tout réel A, il existe un entier naturel n tel que n>A.

📌 Tout intervalle ouvert non vide contient une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels.

Compléments

📌 Dans R, a≤b implique a+c≤b+c, et 0≤a ainsi que 0≤b impliquent 0≤ab.

📌 Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, il existe un unique entier k tel que ka≤x<(k+1)a.

• Si a<b, les extrémités d’un intervalle sont a et b, sa longueur est b−a et son centre est (a+b)/2.

💡 Astuce mémo

Comparer, encadrer, puis localiser : ordre → partie entière → intervalles.

📖 6. Bornes et complétude de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble borné : majorée s’il existe M tel que x≤M pour tout x∈A, minorée s’il existe m tel que m≤x pour tout x∈A, et bornée si elle est à la fois majorée et minorée
• Borne supérieure : le plus petit majorant
• Borne inférieure : le plus grand minorant

★ À maîtriser

• Une partie A de R est bornée si et seulement s’il existe M≥0 tel que |x|≤M pour tout x∈A.

• Un réel s est sup A si et seulement si tout x∈A vérifie x≤s et que pour tout t<s il existe x∈A tel que t<x.

• Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.

• La complétude distingue R de Q : l’axiome de la borne supérieure est valable dans R mais pas dans Q.

Compléments

• Pour a<b, sup[a,b]=b, sup]−∞,b]=b et sup]−∞,b[=b, même lorsque b n’appartient pas à l’intervalle ouvert.

• La dichotomie construit des segments emboîtés dont l’extrémité droite est un majorant, l’extrémité gauche n’est pas un majorant et la longueur est divisée par deux à chaque étape.

💡 Astuce mémo

Toute partie non vide majorée possède une borne supérieure, ce qui fonde la complétude de R.

📖 7. Propriétés des applications composées

★ À maîtriser

📌 Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.

Compléments

📐 Formule — Pour trois applications f, g et h telles que g ◦ f et h ◦ g soient bijectives, les trois applications f, g et h sont bijectives et $f^{-1}=(g after g)^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Injectivité : remonter vers f ; surjectivité : descendre vers g.

📖 8. Images réciproques et bornes

★ À maîtriser

• Pour toute partie B de F, l’image réciproque vérifie f(f^{-1}(B)) ⊂ B, avec égalité si f est surjective.

• Pour toute partie A de E, on a A ⊂ f^{-1}(f(A)), avec égalité si f est injective.

• Si A et B sont non vides et vérifient a<b pour tout (a,b)∈A×B, alors sup A≤inf B, sans que l’inégalité soit nécessairement stricte.

• Si A⊂B et si A et B sont non vides et bornées, alors $\sup A\leq\sup B$ et $\inf A\geq\inf B$.

• Pour une application croissante f:I→I avec I=[0,1], l’ensemble B={x∈I; f(x)≥x} est non vide, admet une borne supérieure b∈I, puis la croissance de f permet de montrer que f(b) est un majorant de B et que f(b)=b.

Compléments

• Pour E1={x∈R; −3≤x<7}, E2={x∈R; |x|≤5}, E3={x∈R; x²≥9} et E4={x∈R; x²<9}, les bornes et les éléments extrêmes se déterminent à partir des intervalles correspondants.

📌 L’union d’un nombre fini de parties bornées de R est bornée, tandis qu’une union infinie de parties bornées peut ne pas être bornée ; l’intersection d’un nombre quelconque de parties bornées est bornée lorsqu’elle est considérée comme sous-ensemble d’une partie bornée.

💡 Astuce mémo

Image directe avec injectivité ; image réciproque avec surjectivité.

📖 9. Structure du corps des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps commutatif : Un corps commutatif est une structure dans laquelle l’addition forme un groupe abélien, la multiplication est distributive par rapport à l’addition et l’ensemble privé de l’élément neutre additif forme un groupe abélien pour la multiplication.

★ À maîtriser

• Q est un corps commutatif, car tout rationnel non nul possède un inverse multiplicatif, tandis que Z n’est pas un corps puisque tout élément non nul n’y possède pas d’inverse multiplicatif.

Compléments

📐 Formule — La distributivité d’une loi ▽ par rapport à une loi ♢ s’écrit $a▽(b♢c)=(a▽b)♢(a▽c)$ pour tous a,b,c∈E.

💡 Astuce mémo

Inverse multiplicatif absent dans Z → Z n’est pas un corps.

📖 10. Parties ouvertes et fermées de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Ouvert de R : Un ouvert de R est toute partie de R qui est la réunion d’un nombre quelconque d’intervalles ouverts de R.
• Fermé de R : Un fermé de R est toute partie de R qui est le complémentaire d’une partie ouverte de R.

★ À maîtriser

📌 Une intersection finie d’ouverts est un ouvert et une réunion finie de fermés est un fermé.

Compléments

📌 L’ensemble vide et R sont à la fois ouverts et fermés.

📌 Une réunion quelconque de fermés n’est pas nécessairement fermée, car pour a<b on a $\bigcup_{n\in\mathbb N^*}[a+\frac1n,b-\frac1n]=]a,b[.$.

• Pour tout a∈R, le singleton {a} est un fermé de R.

💡 Astuce mémo

Ouvert = réunion d’intervalles ouverts ; fermé = complémentaire d’un ouvert.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications

Stabilité des ouverts et fermés