Fiche de révision : Récurrence et limites de suites

📋 Plan du Cours

1. Propriétés mathématiques
2. Principe de récurrence
3. Applications de la récurrence
4. Types de limites
5. Opérations sur les limites
6. Formes indéterminées
7. Comparaison et encadrement

📖 1. Propriétés mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété mathématique : Une phrase, éventuellement écrite avec des symboles mathématiques, qui contient un verbe et qui est vraie ou fausse.

📝 Points essentiels

• Une propriété concernant n peut être:
  • une égalité
  • une inégalité
  • une phrase mathématique

📖 2. Principe de récurrence

★ À maîtriser

📌 Si P(n) est vraie pour un entier n₀ et si, pour tout entier k ≥ n₀, P(k) vraie implique P(k + 1) vraie, alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

• Une démonstration par récurrence consiste à vérifier l’initialisation, à démontrer l’hérédité sous l’hypothèse de récurrence, puis à conclure que la propriété est vraie pour tout n ≥ n₀.

Compléments

• L’initialisation d’une récurrence se fait souvent au rang n₀ = 0 ou n₀ = 1.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 3. Applications de la récurrence

★ À maîtriser

• Pour la suite définie par u₀ = 3 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 2, une récurrence démontre que uₙ = 2 × 3ⁿ + 1 pour tout entier naturel n.

📐 Formule — Pour tout réel a strictement positif et tout entier naturel n, l’inégalité de Bernoulli est $\left(1+a\right)^n \geq 1+na$.

• Pour tout entier naturel n, 4ⁿ + 5 est un multiple de 3.

Compléments

• Pour montrer que 4ⁿ + 5 reste un multiple de 3 au rang suivant, on écrit 4ᵏ + 5 = 3p puis on fait apparaître cette expression dans 4ᵏ⁺¹ + 5 en ajoutant et retranchant 4 × 5.

📖 4. Types de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite a pour limite +∞ si, à partir d’un certain rang, tous ses termes appartiennent à tout intervalle ]A ; +∞[ ; elle a pour limite −∞ si ses termes appartiennent à tout intervalle ]−∞ ; −A[.
• Limite finie : Une suite converge vers un réel l si, à partir d’un certain rang, tous ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant l.

★ À maîtriser

📌 Une suite divergente est une suite qui possède une limite infinie ou qui ne possède aucune limite, comme la suite uₙ = (−1)ⁿ.

Compléments

• Les suites de référence qui tendent vers +∞ sont:
  • k n
  • k n²
  • k n³
  • k√n
  • k eⁿ

💡 Astuce mémo

Convergence vers un réel, divergence vers l’infini ou absence de limite

📖 5. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

📌 Pour un réel k, la limite de kuₙ se déduit de celle de uₙ en conservant ou en inversant le signe selon que k est positif ou négatif.

📌 Les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient se calculent à partir des limites des suites lorsque les opérations ne produisent pas de forme indéterminée.

• Les formes indéterminées rencontrées dans les opérations sur les limites comprennent −∞ + ∞, 0 × (+∞), 0/0 et ∞/∞.

📖 6. Formes indéterminées

★ À maîtriser

• Pour lever une forme indéterminée, on peut:
  • factoriser par le terme de plus haut degré
  • développer l’expression
  • réduire au même dénominateur

Compléments

• La suite uₙ = −n² + 3n tend vers −∞ après factorisation par n², car uₙ = n²(−1 + 3/n).

• La suite $v_n=\frac{n^3+2n}{5n^3+1}$ converge vers $\frac{1}{5}$ après factorisation du numérateur et du dénominateur par n³.

• La suite $w_n=\frac{1}{n^2}(1+2n^3)$ tend vers +∞ après développement en $w_n=\frac{1}{n^2}+2n$.

💡 Astuce mémo

Factoriser, développer ou réduire au même dénominateur

📖 7. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ à partir d’un certain rang et si uₙ et wₙ tendent vers le même réel l, alors vₙ tend vers l.

Compléments

• Comme n + sin(n) ≥ n − 1 et que n − 1 tend vers +∞, la suite n + sin(n) tend vers +∞ par comparaison.

• Comme $-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos(n)}{n}\leq\frac{1}{n}$ et que les deux bornes tendent vers 0, la suite $\frac{\cos(n)}{n}$ tend vers 0 par encadrement.

💡 Astuce mémo

Minoration pour +∞, majoration pour −∞, encadrement pour une limite finie

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites et méthodes