Fiche de révision : Géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Solides usuels et vocabulaire
2. Aires et volumes des solides
3. Diagonales et théorème de Pythagore
4. Sections planes et agrandissements
5. Méthode de résolution
6. Applications et pièges classiques

📖 1. Solides usuels et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide : Objet en trois dimensions limité par des faces qui sont des polygones ou des surfaces courbes.

📝 Points essentiels

• Les solides usuels étudiés sont:
  • le pavé droit
  • le cube
  • le cylindre
  • la pyramide
  • le cône
  • la boule

📖 2. Aires et volumes des solides

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un pavé droit de dimensions a, b et c, l'aire totale vérifie $A=2(ab+ac+bc)$ et le volume vérifie $V=abc$.

📐 Formule — Pour un cube d'arête a, l'aire totale vérifie $A=6a^2$ et le volume vérifie $V=a^3$.

📐 Formule — Pour un cylindre de rayon r et de hauteur h, l'aire totale vérifie $A=2\pi r^2+2\pi rh$ et le volume vérifie $V=\pi r^2h$.

📐 Formule — Pour une pyramide de base d'aire B et de hauteur h, le volume vérifie $V=\frac{1}{3}Bh$.

📐 Formule — Pour un cône de rayon r et de hauteur h, l'aire totale vérifie $A=\pi r^2+\pi rh$ et le volume vérifie $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$.

📐 Formule — Pour une boule de rayon r, l'aire totale vérifie $A=4\pi r^2$ et le volume vérifie $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

💡 Astuce mémo

PCCPCB : pavé, cube, cylindre, pyramide, cône, boule

📖 3. Diagonales et théorème de Pythagore

★ À maîtriser

• La diagonale d'un pavé droit se calcule en appliquant successivement le théorème de Pythagore dans ses faces.

Compléments

• Pour un pavé droit de dimensions 5 cm, 12 cm et 13 cm, la face de côtés 5 cm et 12 cm est un triangle rectangle car ses longueurs vérifient le théorème de Pythagore.

💡 Astuce mémo

Face rectangle → Pythagore → diagonale du pavé

📖 4. Sections planes et agrandissements

🔑 Notions clés & Définitions

• Section plane : Figure obtenue en coupant un solide par un plan.

★ À maîtriser

📌 La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un cercle.

📌 Les volumes sont proportionnels au cube du coefficient d'agrandissement ou de réduction des longueurs.

Compléments

• Une section plane peut être:

  • un polygone
  • un triangle
  • un rectangle
  • un cercle

• Une réduction de coefficient 1/2 des longueurs multiplie le volume par le cube de 1/2, tandis qu'un doublement des longueurs multiplie le volume par le cube de 2.

💡 Astuce mémo

Coefficient des longueurs → coefficient des volumes au cube

📖 5. Méthode de résolution

★ À maîtriser

• 🔄 Pour résoudre un problème de géométrie dans l'espace, il faut: faire un schéma en perspective ou une figure à main levée, identifier le solide et les données utiles, choisir la formule adaptée, effectuer les calculs en détaillant les étapes, vérifier la cohérence du résultat avec les unités et l'ordre de grandeur

Compléments

• La méthode express consiste à:
  • identifier le solide et ses dimensions
  • écrire la formule
  • remplacer par les valeurs et calculer
  • conclure avec les unités

💡 Astuce mémo

Schéma → données → formule → calculs → vérification

📖 6. Applications et pièges classiques

★ À maîtriser

• Les pièges classiques sont: se tromper de surface, oublier de diviser par 3 pour une pyramide ou un cône, confondre aire et volume, calculer dans le mauvais sens la hauteur ou la base

Compléments

• Un aquarium de dimensions 60 cm × 30 cm × 40 cm a un volume qui peut être converti en litres, puis la quantité d'eau correspondant à un remplissage aux 3/4 se calcule par proportionnalité.

• Pour une boîte sans couvercle de longueur 20 cm, largeur 12 cm et hauteur 8 cm, on peut calculer le volume, l'aire intérieure sans couvercle et la quantité de peinture nécessaire pour l'extérieur sans le dessous.

💡 Astuce mémo

Aire en unités carrées, volume en unités cubes

📊 Tableaux de synthèse

Formules des solides usuels