Qu'est-ce qu'une propriété mathématique ?
Une phrase avec un verbe, vraie ou fausse, parfois avec des symboles mathématiques.
Comment note-t-on une propriété concernant un entier naturel n ?
On la note P(n).
Quelle forme peut prendre une propriété mathématique P(n) ?
Une égalité, une inégalité ou une phrase mathématique.
Quelle condition doit vérifier P(n₀) pour la récurrence ?
P(n₀) doit être vraie.
Que doit impliquer P(k) vraie pour tout k ≥ n₀ en récurrence ?
P(k) vraie doit impliquer P(k + 1) vraie.
Quelle conclusion tire-t-on si les conditions de récurrence sont vraies ?
P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.
Quelles étapes comprend une démonstration par récurrence ?
Initialisation, hérédité sous hypothèse de récurrence, puis conclusion.
Que vérifie-t-on lors de l'initialisation en récurrence ?
Que P(n₀) est vraie.
Quelle formule pour uₙ dans la suite u₀=3, uₙ₊₁=3uₙ−2 ?
uₙ = 2 × 3ⁿ + 1 pour tout entier naturel n.
Quelle inégalité exprime l'inégalité de Bernoulli pour a>0 et n entier ?
.
Quelle propriété a 4ⁿ + 5 pour tout entier naturel n ?
4ⁿ + 5 est un multiple de 3.
Qu'impose la limite +∞ pour une suite à partir d'un certain rang ?
Tous ses termes appartiennent à tout intervalle ]A ; +∞[.
Qu'impose la limite −∞ pour une suite à partir d'un certain rang ?
Tous ses termes appartiennent à tout intervalle ]−∞ ; −A[.
Qu'est-ce qu'une suite convergeante vers un réel l ?
Ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant l à partir d'un certain rang.
Qu'est-ce qu'une suite divergente ?
Une suite qui possède une limite infinie ou aucune limite.
Quel exemple illustre une suite divergente sans limite ?
La suite uₙ = (−1)ⁿ.
Comment la limite de kuₙ se déduit-elle de celle de uₙ selon le signe de k ?
Elle conserve le signe si k est positif, l'inverse si k est négatif.
Comment calcule-t-on la limite d'une somme, produit ou quotient de suites ?
À partir des limites des suites si aucune forme indéterminée n'apparaît.
Quelles formes indéterminées apparaissent dans les opérations sur les limites ?
−∞ + ∞, 0 × (+∞), 0/0 et ∞/∞.
Comment traiter une forme indéterminée polynomiale ?
On peut factoriser par le terme de plus haut degré, développer le produit ou réduire au même dénominateur.
Quelle condition implique que vₙ tend vers l si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ ?
uₙ et wₙ tendent vers le même réel l à partir d’un certain rang.
À quels rangs l'initialisation d'une récurrence se fait-elle souvent ?
Au rang n₀ = 0 ou n₀ = 1.
Quelle étape montre que 4ⁿ + 5 reste multiple de 3 au rang suivant ?
On écrit 4ᵏ + 5 = 3p puis on utilise cette expression dans 4ᵏ⁺¹ + 5 en ajoutant et retranchant 4 × 5.
Vers quelle limite tendent les suites k n, k n², k n³, k√n et keⁿ avec k > 0 ?
Elles tendent vers +∞.
Vers quelle limite tendent les suites opposées de k n, k n², k n³, k√n et keⁿ avec k > 0 ?
Elles tendent vers −∞.
Vers quelle valeur tend la suite uₙ = −n² + 3n après factorisation par n² ?
Elle tend vers −∞.
Comment s'écrit la suite uₙ = −n² + 3n après factorisation par n² ?
uₙ = n²(−1 + 3/n).
Vers quelle valeur la suite converge-t-elle ?
Elle converge vers .
Quelle est la méthode utilisée pour étudier la limite de ?
Factorisation du numérateur et du dénominateur par .
Quelle est la limite de la suite ?
Elle tend vers +∞.
Comment s'exprime la suite après développement ?
.
Pourquoi la suite n + sin(n) tend-elle vers +∞ ?
Parce que n + sin(n) ≥ n − 1 et n − 1 tend vers +∞.
Quelle inégalité encadre la suite ?
.
Vers quelle valeur tend la suite ?
Elle tend vers 0 par encadrement.
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1. Qu’est-ce qu’une propriété mathématique ?
2. Lorsqu’une propriété dépend d’un entier naturel , quelle notation et quelles formes peut-elle prendre ?
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