QCM : Récurrence et limites de suites (17 questions)

Question 1

1. Qu’est-ce qu’une propriété mathématique ?

Une phrase contenant un verbe qui est vraie ou fausse

Une expression numérique dépourvue de signification verbale

Une procédure de calcul donnant nécessairement un résultat

Une figure géométrique décrite par plusieurs mesures

Explication

Une propriété mathématique est une phrase, éventuellement écrite avec des symboles, qui contient un verbe et possède une valeur de vérité. Une simple expression numérique n’est pas une propriété puisqu’elle ne constitue pas une phrase susceptible d’être vraie ou fausse.

Answer

Une phrase contenant un verbe qui est vraie ou fausse

Question 2

2. Lorsqu’une propriété dépend d’un entier naturel $n$ , quelle notation et quelles formes peut-elle prendre ?

Elle peut être notée

P(n)

et être une égalité, une inégalité ou une phrase mathématique

Elle est notée

n(P)

et s’écrit sous la forme d’une équation polynomiale

Elle est notée

P(n)

et doit être une égalité entre deux entiers

Elle est notée

P+n

et prend la forme d’un produit ou d’une somme

Explication

Une propriété portant sur un entier naturel $n$ peut être notée $P(n)$ et prendre la forme d’une égalité, d’une inégalité ou d’une phrase mathématique. Elle n’est donc pas limitée aux égalités.

Answer

Elle peut être notée $$P(n)$$ et être une égalité, une inégalité ou une phrase mathématique

Question 3

3. Quelle condition permet d’appliquer le principe de récurrence à une propriété $P(n)$ à partir d’un rang $n_0$ ?

Montrer

P(k)

pour quelques valeurs de

k

sans établir de passage au rang suivant

Vérifier

P(n_0+1)

, puis montrer que

P(k+1)

implique

P(k)

pour tout

k\geq n_0

Vérifier

P(n_0)

, puis montrer que

P(k)

implique

P(k+1)

pour tout

k\geq n_0

Vérifier

P(0)

, puis démontrer l’implication de

P(k+1)

vers

P(k+2)

Explication

Le principe exige une initialisation au rang $n_0$ et une hérédité montrant que la validité de $P(k)$ entraîne celle de $P(k+1)$ pour tout $k\geq n_0$ . Vérifier plusieurs rangs particuliers ne suffit pas à établir la propriété pour tous les entiers concernés.

Answer

Vérifier $$P(n_0)$$, puis montrer que $$P(k)$$ implique $$P(k+1)$$ pour tout $$k\geq n_0$$

Question 4

4. Dans l’étape d’hérédité d’une démonstration par récurrence, quelle distinction faut-il respecter ?

L’hypothèse porte sur

P(n_0)

et l’objectif est de démontrer

P(k)

L’hypothèse porte sur

P(k-1)

et l’objectif est de démontrer

P(k-2)

L’hypothèse porte sur

P(k+1)

et l’objectif est de démontrer

P(k)

L’hypothèse porte sur

P(k)

et l’objectif est de démontrer

P(k+1)

Explication

L’hérédité suppose la propriété vraie au rang général $k$ , puis utilise cette hypothèse pour établir la propriété au rang suivant $k+1$ . Prendre $P(k+1)$ comme hypothèse reviendrait à supposer déjà démontré l’objectif de cette étape.

Answer

L’hypothèse porte sur $$P(k)$$ et l’objectif est de démontrer $$P(k+1)$$

Question 5

5. Pour la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ , quelle formule une récurrence permet-elle de démontrer ?

u_n=3\times 2^n-1

pour tout entier naturel

n

u_n=3^n+2

pour tout entier naturel

n

u_n=2\times 3^{n+1}-1

pour tout entier naturel

n

u_n=2\times 3^n+1

pour tout entier naturel

n

Explication

La formule explicite associée à cette suite est $u_n=2\times 3^n+1$ , et elle vérifie à la fois le terme initial et la relation de récurrence. La formule $3\times 2^n-1$ , par exemple, donne bien $u_0=2$ et ne respecte donc pas la condition initiale.

Answer

$$u_n=2\times 3^n+1$$ pour tout entier naturel $$n$$

Question 6

6. Quelles conditions accompagnent l’inégalité de Bernoulli $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$ dans ce cadre ?

a\in\mathbb{R}

et

n>0

est un réel quelconque

a>0

et

n

est un entier naturel

a<0

et

n

est un entier naturel non nul

a\geq 0

et

n

est un entier relatif négatif

Explication

Dans ce cadre, l’inégalité de Bernoulli est formulée pour un réel strictement positif $a$ et un entier naturel $n$ . Confondre les rôles de ces variables conduit à autoriser des valeurs de $n$ ou de $a$ qui ne correspondent pas aux conditions données.

Answer

$$a>0$$ et $$n$$ est un entier naturel

Question 7

7. Quelle affirmation est établie par récurrence concernant l’expression $4^n+5$ ?

Pour tout entier naturel

n

,

4^n+5

est un multiple de

3

Pour tout entier naturel

n

,

4^n+5

est divisible par

5

Pour tout entier naturel

n

,

4^n+5

est un nombre premier

Pour tout entier naturel

n

,

4^n+5

est un multiple de

4

Explication

La propriété démontrée est que $4^n+5$ est divisible par $3$ pour tout entier naturel $n$ . Elle n’est pas divisible par $4$ en général, car pour $n=0$ on obtient $6$ .

Answer

Pour tout entier naturel $$n$$, $$4^n+5$$ est un multiple de $$3$$

Question 8

8. Quelle condition caractérise une suite de limite $+\infty$ ?

À partir d’un certain rang, ses termes restent dans un intervalle borné fixé

À partir d’un certain rang, ses termes alternent entre deux valeurs opposées

À partir d’un certain rang, ses termes dépassent tout seuil réel fixé

À partir d’un certain rang, ses termes se rapprochent d’un réel déterminé

Explication

Une suite tend vers $+\infty$ lorsque, quel que soit le seuil réel considéré, ses termes le dépassent à partir d’un certain rang. La convergence vers un réel correspond au rapprochement des termes autour d’une valeur finie, et non au dépassement de tous les seuils.

Answer

À partir d’un certain rang, ses termes dépassent tout seuil réel fixé

Question 9

9. Comment reconnaît-on qu’une suite converge vers un réel $l$ ?

Ses termes prennent alternativement des valeurs de signes opposés

Ses termes deviennent finalement inférieurs à tout seuil négatif

Ses termes dépassent finalement tout nombre réel positif

Ses termes appartiennent finalement à tout intervalle ouvert contenant

l

Explication

La convergence vers $l$ signifie que, pour tout intervalle ouvert contenant $l$ , tous les termes appartiennent à cet intervalle à partir d’un certain rang. Le dépassement de tout seuil caractérise une limite infinie, tandis que l’alternance de signes peut empêcher toute limite.

Answer

Ses termes appartiennent finalement à tout intervalle ouvert contenant $$l$$

Question 10

10. Laquelle de ces situations décrit une suite divergente ?

Elle converge vers un réel après un certain rang

Elle tend vers zéro en rapprochant ses termes de cette valeur

Elle possède une limite infinie ou ne possède aucune limite

Elle reste dans tout intervalle ouvert contenant une valeur fixe

Explication

Une suite est divergente lorsqu’elle admet une limite infinie ou lorsqu’elle n’admet aucune limite, comme la suite $u_n=(-1)^n$ . Les autres descriptions correspondent à des situations de convergence vers un réel.

Answer

Elle possède une limite infinie ou ne possède aucune limite

Question 11

11. Si $u_n\to +\infty$ , quelle est la limite de $ku_n$ lorsque $k<0$ ?

+\infty

, car la multiplication conserve la croissance

Aucune limite, car un facteur négatif interdit toute opération

Un réel fini, car le facteur annule la divergence

-\infty

, car la multiplication inverse le signe

Explication

Multiplier une suite tendant vers $+\infty$ par un réel négatif inverse le signe et donne une limite égale à $-\infty$ . Un facteur positif conserverait au contraire la limite $+\infty$ .

Answer

$$-\infty$$, car la multiplication inverse le signe

Question 12

12. Dans quel cas peut-on calculer directement la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de suites ?

Lorsque les expressions contiennent au moins un terme de degré maximal

Lorsque les deux suites possèdent nécessairement des limites infinies

Lorsque les limites permettent l’opération sans produire de forme indéterminée

Lorsque le quotient comporte un dénominateur qui tend vers zéro

Explication

Les opérations sur les limites sont valables lorsque les limites des suites permettent d’effectuer l’opération sans obtenir une forme indéterminée. Un dénominateur tendant vers zéro peut au contraire conduire à une forme nécessitant une étude supplémentaire.

Answer

Lorsque les limites permettent l’opération sans produire de forme indéterminée

Question 13

13. Que signifie l’apparition d’une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

La suite ne possède pas de limite dans tous les cas

La limite est égale à l’infini avec le signe du terme dominant

La limite vaut nécessairement zéro après simplification

Aucune conclusion générale sur la limite n’est encore possible

Explication

Une forme telle que $0\times(+\infty)$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ indique qu’il faut transformer ou approfondir l’expression avant de conclure. Elle ne constitue pas une valeur de limite et n’implique pas automatiquement une divergence.

Answer

Aucune conclusion générale sur la limite n’est encore possible

Question 14

14. Quelle méthode convient notamment à une somme de termes polynomiaux dominée par le degré maximal ?

Factoriser par le terme de plus haut degré

Remplacer chaque variable par sa limite séparément

Comparer directement les signes sans transformer l’expression

Développer systématiquement chaque produit obtenu

Explication

Pour une somme polynomiale, on peut factoriser par le terme de plus haut degré afin de faire apparaître les termes négligeables. Le développement est plutôt adapté à un produit, tandis que la substitution directe peut laisser une forme indéterminée.

Answer

Factoriser par le terme de plus haut degré

Question 15

15. Quelle est la limite de la suite $v_n=\frac{n^3+2n}{5n^3+1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

5

+\infty

0

\frac{1}{5}

Explication

En factorisant le numérateur et le dénominateur par $n^3$ , les termes dominants donnent $\frac{1+2/n^2}{5+1/n^3}$ , qui tend vers $\frac{1}{5}$ . La présence de termes de degré inférieur ne modifie pas le rapport des coefficients dominants.

Answer

$$\frac{1}{5}$$

Question 16

16. Dans quelle situation le théorème d’encadrement permet-il de conclure que la suite $v_n$ converge vers un réel $l$ ?

Lorsque

u_n\leq v_n\leq w_n

à partir d’un certain rang et que

u_n

et

w_n

convergent vers

l

Lorsque

v_n

est positive à partir d’un certain rang et que les deux bornes sont bornées

Lorsque

u_n\leq v_n\leq w_n

à partir d’un certain rang et que les deux bornes divergent vers des limites différentes

Lorsque

u_n\leq v_n\leq w_n

à partir d’un certain rang et qu’une seule borne converge vers

l

Explication

Le théorème d’encadrement exige que les deux suites bornes convergent vers le même réel fini $l$ , ce qui impose alors à $v_n$ de converger vers $l$ . Le fait qu’une seule borne ait cette limite ne suffit pas à déterminer celle de la suite encadrée.

Answer

Lorsque $$u_n\leq v_n\leq w_n$$ à partir d’un certain rang et que $$u_n$$ et $$w_n$$ convergent vers $$l$$

Question 17

17. Quelle conclusion peut-on tirer de l’encadrement $-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos(n)}{n}\leq\frac{1}{n}$ ?

La suite

\frac{\cos(n)}{n}

converge vers

0

, car ses deux bornes convergent vers

0

La suite

\frac{\cos(n)}{n}

converge vers

1

, car son numérateur reste borné

La suite

\frac{\cos(n)}{n}

diverge, car la suite

\cos(n)

oscille entre des valeurs positives et négatives

La suite

\cos(n)

converge vers

0

, car elle est divisée par

n

dans l’encadrement

Explication

Les suites $-\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$ tendent toutes deux vers $0$ , donc l’encadrement entraîne la convergence de $\frac{\cos(n)}{n}$ vers $0$ . Cette conclusion concerne le quotient, et l’encadrement ne permet pas d’affirmer que $\cos(n)$ lui-même converge vers $0$ .

Answer

La suite $$\frac{\cos(n)}{n}$$ converge vers $$0$$, car ses deux bornes convergent vers $$0$$

QCM : Récurrence et limites de suites (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’une propriété mathématique ?

2. Lorsqu’une propriété dépend d’un entier naturel $n$ , quelle notation et quelles formes peut-elle prendre ?

3. Quelle condition permet d’appliquer le principe de récurrence à une propriété $P(n)$ à partir d’un rang $n_0$ ?

4. Dans l’étape d’hérédité d’une démonstration par récurrence, quelle distinction faut-il respecter ?

5. Pour la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ , quelle formule une récurrence permet-elle de démontrer ?

6. Quelles conditions accompagnent l’inégalité de Bernoulli $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$ dans ce cadre ?

7. Quelle affirmation est établie par récurrence concernant l’expression $4^n+5$ ?

8. Quelle condition caractérise une suite de limite $+\infty$ ?

9. Comment reconnaît-on qu’une suite converge vers un réel $l$ ?

10. Laquelle de ces situations décrit une suite divergente ?

11. Si $u_n\to +\infty$ , quelle est la limite de $ku_n$ lorsque $k<0$ ?

12. Dans quel cas peut-on calculer directement la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de suites ?

13. Que signifie l’apparition d’une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

14. Quelle méthode convient notamment à une somme de termes polynomiaux dominée par le degré maximal ?

15. Quelle est la limite de la suite $v_n=\frac{n^3+2n}{5n^3+1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

16. Dans quelle situation le théorème d’encadrement permet-il de conclure que la suite $v_n$ converge vers un réel $l$ ?

17. Quelle conclusion peut-on tirer de l’encadrement $-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos(n)}{n}\leq\frac{1}{n}$ ?

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QCM : Récurrence et limites de suites (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’une propriété mathématique ?

2. Lorsqu’une propriété dépend d’un entier naturel nnn, quelle notation et quelles formes peut-elle prendre ?

3. Quelle condition permet d’appliquer le principe de récurrence à une propriété P(n)P(n)P(n) à partir d’un rang n0n_0n0​ ?

4. Dans l’étape d’hérédité d’une démonstration par récurrence, quelle distinction faut-il respecter ?

5. Pour la suite définie par u0=3u_0=3u0​=3 et un+1=3un−2u_{n+1}=3u_n-2un+1​=3un​−2, quelle formule une récurrence permet-elle de démontrer ?

6. Quelles conditions accompagnent l’inégalité de Bernoulli (1+a)n≥1+na\left(1+a\right)^n\geq 1+na(1+a)n≥1+na dans ce cadre ?

7. Quelle affirmation est établie par récurrence concernant l’expression 4n+54^n+54n+5 ?

8. Quelle condition caractérise une suite de limite +∞+\infty+∞ ?

9. Comment reconnaît-on qu’une suite converge vers un réel lll ?

10. Laquelle de ces situations décrit une suite divergente ?

11. Si un→+∞u_n\to +\inftyun​→+∞, quelle est la limite de kunku_nkun​ lorsque k<0k<0k<0 ?

12. Dans quel cas peut-on calculer directement la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de suites ?

13. Que signifie l’apparition d’une forme indéterminée lors d’un calcul de limite ?

14. Quelle méthode convient notamment à une somme de termes polynomiaux dominée par le degré maximal ?

15. Quelle est la limite de la suite vn=n3+2n5n3+1v_n=\frac{n^3+2n}{5n^3+1}vn​=5n3+1n3+2n​ lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

16. Dans quelle situation le théorème d’encadrement permet-il de conclure que la suite vnv_nvn​ converge vers un réel lll ?

17. Quelle conclusion peut-on tirer de l’encadrement −1n≤cos⁡(n)n≤1n-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos(n)}{n}\leq\frac{1}{n}−n1​≤ncos(n)​≤n1​ ?

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2. Lorsqu’une propriété dépend d’un entier naturel $n$ , quelle notation et quelles formes peut-elle prendre ?

3. Quelle condition permet d’appliquer le principe de récurrence à une propriété $P(n)$ à partir d’un rang $n_0$ ?

5. Pour la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ , quelle formule une récurrence permet-elle de démontrer ?

6. Quelles conditions accompagnent l’inégalité de Bernoulli $\left(1+a\right)^n\geq 1+na$ dans ce cadre ?

7. Quelle affirmation est établie par récurrence concernant l’expression $4^n+5$ ?

8. Quelle condition caractérise une suite de limite $+\infty$ ?

9. Comment reconnaît-on qu’une suite converge vers un réel $l$ ?

11. Si $u_n\to +\infty$ , quelle est la limite de $ku_n$ lorsque $k<0$ ?

15. Quelle est la limite de la suite $v_n=\frac{n^3+2n}{5n^3+1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

16. Dans quelle situation le théorème d’encadrement permet-il de conclure que la suite $v_n$ converge vers un réel $l$ ?

17. Quelle conclusion peut-on tirer de l’encadrement $-\frac{1}{n}\leq\frac{\cos(n)}{n}\leq\frac{1}{n}$ ?