Fiche de révision : Applications et propriétés

📋 Plan du Cours

1. Ensembles, appartenance et inclusion
2. Cardinal et ensemble des parties
3. Opérations sur les ensembles
4. Produits cartésiens et partitions
5. Applications, images et antécédents
6. Injectivité, surjectivité et bijectivité
7. Composition et applications réciproques
8. Images directes et réciproques
9. Images et opérations ensemblistes
10. Images et images réciproques
11. Dénombrement des applications finies
12. Relations et classes d’équivalence

📖 1. Ensembles, appartenance et inclusion

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’éléments distincts, et l’appartenance de x à E se note x ∈ E.
• Inclusion : Si tout élément de A appartient à E.

★ À maîtriser

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊆ B et B ⊆ A.

Compléments

• Un ensemble peut être défini en extension en énumérant ses éléments ou en compréhension en donnant une propriété qui les caractérise.

• Pour tout ensemble E, on a ∅ ⊆ E, E ⊆ E et ∅, E ∈ P(E).

• Les ensembles {2n : n ∈ ℕ} et {n ∈ ℕ : n est pair} sont égaux, car ils contiennent les mêmes entiers pairs.

💡 Astuce mémo

L’élément appartient (∈) ; la partie est incluse (⊆).

📖 2. Cardinal et ensemble des parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Pour un ensemble fini E, le cardinal |E| est le nombre de ses éléments.
• Ensemble des parties : L’ensemble de tous les sous-ensembles de E.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si E est fini et |E| = n, alors $|P(E)| = 2^n$.

Compléments

• Pour compter les parties d’un ensemble fini, chaque élément est soit conservé, soit écarté ; les choix indépendants donnent $2^n$ parties pour n éléments.

• Si E = {a, b}, alors P(E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} et |P(E)| = 4.

💡 Astuce mémo

Pour chaque élément, une bifurcation : le garder ou l’écarter.

📖 3. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : L’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, le « ou » étant inclusif.
• Différence ensembliste : L’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E est Ac = E \ A, et l’univers E doit être précisé lorsqu’il n’est pas clair.
• Différence symétrique : La différence symétrique de A et B est A△B = (A \ B) ∪ (B \ A) ; elle contient les éléments appartenant à exactement l’un des deux ensembles.

★ À maîtriser

• Pour A, B et C inclus dans E, les intersections et réunions sont commutatives et associatives, chacune est distributive sur l’autre, A ∪ ∅ = A, A ∩ E = A, A ∩ Ac = ∅ et A ∪ Ac = E.

• Pour A et B inclus dans E, les lois de De Morgan sont (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc et (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc.

📌 Si A ⊆ B ⊆ E, alors Bc ⊆ Ac : l’inclusion s’inverse en passant aux complémentaires.

Compléments

• Dans la réunion A ∪ B, le « ou » est inclusif : un élément peut appartenir à A, à B ou aux deux.

• La différence symétrique est commutative et associative, A△A = ∅ et A△∅ = A.

• Pour prouver X = Y, on peut fixer un élément arbitraire x et transformer x ∈ X en une assertion équivalente à x ∈ Y, ou démontrer les deux inclusions ; pour établir une inclusion stricte, on donne un élément d’un côté qui n’appartient pas à l’autre.

💡 Astuce mémo

A ∩ B garde le commun ; A △ B garde le non-commun

📖 4. Produits cartésiens et partitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Le produit cartésien de A et B est A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
• Partition : Une famille (Ai)i∈I est une partition de E si ses éléments sont non vides, deux à deux disjoints et ont pour réunion E.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux ensembles finis A et B, $|A \times B| = |A|\,|B|$.

Compléments

📌 Un couple est ordonné : en général, (a, b) ≠ (b, a).

• Pour des parties convenables, (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D) et A × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D).

• Dans E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les ensembles {1, 4}, {2, 5} et {3, 6} constituent une partition de E.

💡 Astuce mémo

Un tableau croisé associe chaque élément de A à chaque élément de B

📖 5. Applications, images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application f : E → F associe à chaque x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F ; E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et f(x) l’image de x.
• Indicatrice : Pour A ⊆ E, l’indicatrice 1A : E → {0, 1} vaut 1 sur A et 0 ailleurs.
• Graphe d’une application : Le graphe de f : E → F est Γf = {(x, f(x)) : x ∈ E} ⊆ E × F.
• Identité : Application de E dans E qui associe à chaque x ∈ E l’élément x.

★ À maîtriser

• Un élément de l’ensemble d’arrivée peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, tandis que chaque élément de l’ensemble de départ doit avoir exactement une image.

Compléments

📌 Deux applications sont égales si leurs ensembles de départ et d’arrivée coïncident et si elles ont la même valeur en chaque point de leur ensemble de départ.

• Pour E = {0, 1, 2}, F = {a, b} et f(0) = a, f(1) = a, f(2) = b, le graphe est {(0, a), (1, a), (2, b)} et a possède deux antécédents.

• Une partie A ⊆ E se caractérise par A = {x ∈ E : 1A(x) = 1}.

💡 Astuce mémo

Au départ, une flèche exactement ; à l’arrivée, zéro, une ou plusieurs

📖 6. Injectivité, surjectivité et bijectivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Injection : Application pour laquelle aucun élément de F n’a deux antécédents distincts, c’est-à-dire que f(x) = f(x′) implique x = x′.
• Surjection : Une application f : E → F est surjective si chaque y ∈ F possède au moins un antécédent dans E.
• Bijection : Une application f : E → F est bijective si chaque y ∈ F possède exactement un antécédent.

📝 Points essentiels

📌 Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

• La fonction x ↦ x² est surjective de ℝ vers [0, +∞[, mais n’est pas surjective de ℝ vers ℝ, car −1 n’a pas d’antécédent.

📌 Toute fonction strictement monotone sur un intervalle est injective.

💡 Astuce mémo

L’injection interdit les images partagées ; la surjection interdit les éléments d’arrivée non atteints.

📖 7. Composition et applications réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Pour f : E → F et g : F → G, la composée g ◦ f : E → G est définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
• Application réciproque : Si f : E → F est bijective, son application réciproque f⁻¹ : F → E associe à chaque y son unique antécédent par f.
• Restriction : Si A ⊆ E, la restriction f|A : A → F est définie par f|A(x) = f(x).

★ À maîtriser

📌 La composée de deux applications injectives est injective, celle de deux applications surjectives est surjective, et celle de deux applications bijectives est bijective.

Compléments

• La composition n’est généralement pas commutative : pour f(x) = x + 1 et g(x) = x², (g ◦ f)(x) = (x + 1)² tandis que (f ◦ g)(x) = x² + 1.

• La composition des applications est associative et l’identité est neutre : (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f), f ◦ IdE = f et IdF ◦ f = f lorsque les compositions sont définies.

• Si g ◦ f est injective, alors f est injective ; si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.

• Une application f : E → F est bijective si et seulement s’il existe g : F → E telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF ; dans ce cas, g = f⁻¹.

📐 Formule - Si f : E → F et g : F → G sont bijectives, alors $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Pour composer, suivre f puis g ; pour inverser g ◦ f, inverser d’abord g puis f.

📖 8. Images directes et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : Pour f : E → F et A ⊆ E, l’image directe de A est f(A) = {f(x) : x ∈ A}.
• Image réciproque : Pour f : E → F et B ⊆ F, l’image réciproque de B est f⁻¹(B) = {x ∈ E : f(x) ∈ B}.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) = x² sur ℝ, f([−2, 1]) = [0, 4] et f⁻¹([1, 4]) = [−2, −1] ∪ [1, 2].

💡 Astuce mémo

L’image directe part d’une partie du départ ; l’image réciproque part d’une partie d’arrivée.

📖 9. Images et opérations ensemblistes

📝 Points essentiels

• Pour toute application f : E → F et toutes parties A,C ⊆ E, f(A ∪ C) = f(A) ∪ f(C) et f(A ∩ C) ⊆ f(A) ∩ f(C).

📌 Si f est injective, alors f(A ∩ C) = f(A) ∩ f(C) pour toutes parties A,C ⊆ E.

📖 10. Images et images réciproques

★ À maîtriser

• Pour toutes parties B,D ⊆ F, f⁻¹(B ∪ D)=f⁻¹(B) ∪ f⁻¹(D) et f⁻¹(B ∩ D)=f⁻¹(B) ∩ f⁻¹(D).

• Pour toute partie A ⊆ E, A ⊆ f⁻¹(f(A)), et cette inclusion est une égalité pour toute partie A si et seulement si f est injective.

• Pour toute partie B ⊆ F, f(f⁻¹(B))=B ∩ f(E) ⊆ B, et f(f⁻¹(B))=B pour toute partie B si et seulement si f est surjective.

Compléments

• Pour toute partie B ⊆ F, f⁻¹(F \ B)=E \ f⁻¹(B).

💡 Astuce mémo

L’image directe perd l’égalité de l’intersection ; l’image réciproque la conserve.

📖 11. Dénombrement des applications finies

★ À maîtriser

• Si E et F sont finis, avec |E|=m et |F|=n, le nombre d’applications E→F est $n^m$.

• Pour m≤n, le nombre d’injections d’un ensemble de m éléments vers un ensemble de n éléments est $n(n-1)\cdots(n-m+1)$.

📌 Une injection d’un ensemble de m éléments vers un ensemble de n éléments impose m≤n, tandis qu’une surjection impose m≥n.

Compléments

• Si E est vide, il existe exactement une application E→F, même lorsque F est vide ; si E est non vide et F vide, aucune application E→F n’existe.

• Lorsque m=n, le nombre de bijections entre deux ensembles de n éléments est $n!$.

• Il existe 9 applications de {a,b} vers {1,2,3}, dont 6 injections, et aucune n’est surjective.

📖 12. Relations et classes d’équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’équivalence : Une relation sur E est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
• Relation binaire : Partie de E × E ; on écrit xRy lorsque (x,y)∈R.
• Classe d’équivalence : La classe d’équivalence de x est [x]={y∈E : y∼x}, et l’ensemble des classes est parfois noté E/∼.

★ À maîtriser

• Les classes d’une relation d’équivalence constituent une partition de E, et toute partition de E définit une relation d’équivalence en déclarant équivalents les éléments appartenant à une même partie.

• Pour toute application f:E→F, la relation x∼y si et seulement si f(x)=f(y) est une équivalence, et sa classe [x] est l’ensemble des antécédents de f(x).

Compléments

• Sur ℤ, la relation a∼b définie par 3 divisant a−b est une équivalence dont les classes sont les entiers congrus à 0, 1 ou 2 modulo 3.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations ensemblistes