Fiche de révision : Vecteurs et opérations

📋 Plan du Cours

1. Vecteur et translation
2. Vecteurs particuliers et égalité
3. Somme et différence vectorielles
4. Produit par un réel
5. Calculs et configurations vectorielles

📖 1. Vecteur et translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur associé à une translation : Le vecteur associé à la translation qui transforme A en M est $\overrightarrow{AM}$ et symbolise le déplacement de A vers M.
• Norme d’un vecteur : La longueur d’un vecteur $\vec u$ est appelée sa norme et se note $\|\vec u\|$.

★ À maîtriser

• Une translation est caractérisée par :
  • sa direction
  • son sens
  • sa longueur

Compléments

• Un vecteur peut avoir une infinité de représentants et l’origine de son représentant peut être choisie en n’importe quel point du plan.

📖 2. Vecteurs particuliers et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Le vecteur nul $\vec 0$ vérifie, pour tout point M du plan, $\vec 0=\overrightarrow{MM}$.
• Vecteur opposé : Le vecteur opposé à $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}$, de même direction et de même norme, mais de sens contraire, et $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
• Vecteurs égaux : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

★ À maîtriser

📌 Pour quatre points A, B, C et D, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ équivaut au fait que D est l’image de C par la translation qui transforme A en B, que ABDC est un parallélogramme, ou que [AD] et [BC] ont le même milieu.

Compléments

• Le vecteur nul est le seul vecteur qui n’a pas de direction.

📖 3. Somme et différence vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
• Différence de vecteurs : Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé : $\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)$.

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour construire un représentant de $\vec u+\vec v$ d’origine A :

  1. Tracer un représentant de $\vec u$ d’origine A.
  2. Tracer un représentant de $\vec v$ à partir de l’extrémité obtenue.
  3. L’extrémité finale représente le vecteur somme depuis A.

• Pour deux points A et B, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec 0$.

💡 Astuce mémo

A → B → C : les vecteurs AB puis BC donnent AC.

📖 4. Produit par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d’un vecteur par un réel : Pour un vecteur non nul $\vec u$ et un réel non nul k, le vecteur $k\vec u$ a la même direction que $\vec u$, le même sens si $k>0$, le sens contraire si $k<0$, et une longueur égale à $|k|\cdot\|\vec u\|$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La longueur du produit d’un vecteur non nul $\vec u$ par un réel non nul k est $\|k\vec u\|=|k|\cdot\|\vec u\|$.

• L’égalité $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ indique que les deux vecteurs ont le même sens.

• L’égalité $\overrightarrow{RN}=-2\overrightarrow{MP}$ indique que les deux vecteurs ont des sens contraires.

💡 Astuce mémo

Réel positif : même sens ; réel négatif : sens contraire.

📖 5. Calculs et configurations vectorielles

📝 Points essentiels

• Le cours annonce des configurations concernant le milieu d’un segment, le théorème des milieux et le centre de gravité d’un triangle, sans donner les relations vectorielles correspondantes.