QCM : Applications et propriétés (11 questions)

Question 1

1. Dans un ensemble $E$ , que signifie la notation $x \in E$ ?

x

est l’ensemble de toutes les parties de

E

E

est une partie de

x

x

est un élément de

E

x

n’est pas un élément de

E

Explication

La notation $x \in E$ exprime l’appartenance : $x$ est un élément de $E$ . L’inclusion concerne une partie et un ensemble, tandis que $x \notin E$ exprime la non-appartenance.

Answer

$$x$$ est un élément de $$E$$

Question 2

2. Soient $A=\{2,5\}$ et $E=\{1,2,4,5,7\}$ . Quelle affirmation traduit correctement que $A$ est inclus dans $E$ ?

A

est un élément de

E

Un élément de

A

appartient à

E

, sans condition sur l’autre

Chaque élément de

A

appartient à

E

Les éléments de

A

et de

E

sont exactement les mêmes

Explication

L’inclusion $A \subseteq E$ signifie que tout élément de $A$ appartient à $E$ . Dire que $A$ est un élément de $E$ confond inclusion et appartenance; l’égalité demande en plus l’inclusion réciproque, et vérifier un seul élément ne suffit pas.

Answer

Chaque élément de $$A$$ appartient à $$E$$

Question 3

3. Un ensemble fini $F$ contient exactement cinq éléments distincts. Quelle est la valeur de son cardinal $|F|$ ?

2^5

4

6

5

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments; ici, $|F|=5$ . La valeur $2^5$ compterait les parties, tandis que $4$ et $6$ ne correspondent pas au nombre d’éléments indiqué.

Answer

Les éléments qui appartiennent à exactement l’un des deux ensembles

Answer

$$\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}$$

Answer

Il contient les valeurs que l’application peut associer aux éléments de départ.

Answer

L’injectivité interdit à deux éléments distincts du départ d’avoir la même image, tandis que la surjectivité exige que chaque élément d’arrivée ait un antécédent.

Answer

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée de $$g$$ est atteint par $$g$$.

Answer

Calculer l’image de chaque élément de l’ensemble, puis réunir les valeurs obtenues.

Answer

Elle est égale à l’intersection des images de $$A$$ et de $$C$$.

Question 4

4. Un ensemble fini $G$ possède quatre éléments. Combien l’ensemble de ses parties $P(G)$ contient-il de sous-ensembles ?

8

15

4

16

Explication

Pour un ensemble fini de cardinal $n$ , le nombre de parties est $2^n$ ; avec quatre éléments, $|P(G)|=2^4=16$ . $4$ est le cardinal de $G$ , $8$ résulte de doubler ce cardinal et $15$ omet une partie.

Question 5

5. Que désigne la différence symétrique de deux ensembles $A$ et $B$ ?

Les éléments qui appartiennent à exactement l’un des deux ensembles

Les éléments de

A

qui n’appartiennent pas à

B

Les éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles

Les éléments qui appartiennent simultanément aux deux ensembles

Explication

La différence symétrique rassemble les éléments présents dans l’un des ensembles, mais pas dans les deux. L’intersection, contrairement à cette opération, retient les éléments communs à $A$ et $B$ .

Question 6

6. Dans $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ , quelle famille d’ensembles est donnée comme une partition de $E$ ?

\{1,2,3\},\{4,5\}

\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}

\{1,3,5\},\{2,4\}

\{1,2\},\{2,3\},\{4,5,6\}

Explication

Les trois ensembles cités sont non vides, disjoints deux à deux et leur réunion est $E$ , ce qui satisfait la définition d’une partition. La famille comprenant $\{1,2\}$ et $\{2,3\}$ ne convient pas, car ces deux parties ont l’élément 2 en commun.

Question 7

7. Quel rôle joue l’ensemble d’arrivée dans une application $f:E\to F$ ?

Il contient les valeurs que l’application peut associer aux éléments de départ.

Il rassemble les couples formés par chaque élément de départ et son image.

Il indique le nombre d’antécédents que possède chaque élément de départ.

Il regroupe les éléments auxquels l’application attribue nécessairement une image.

Explication

L’ensemble d’arrivée $F$ est le codomaine : chaque image $f(x)$ appartient à cet ensemble. L’ensemble des valeurs effectivement prises par l’application est plutôt l’image de $f$ , qui peut être une partie de $F$ .

Question 8

8. Quelle différence distingue une application injective d’une application surjective ?

L’injectivité interdit à deux éléments distincts du départ d’avoir la même image, tandis que la surjectivité exige que chaque élément d’arrivée ait un antécédent.

L’injectivité associe chaque élément d’arrivée à une image, tandis que la surjectivité associe chaque élément du départ à un antécédent.

L’injectivité exige que chaque élément d’arrivée ait un antécédent, tandis que la surjectivité interdit que deux éléments du départ aient la même image.

L’injectivité garantit que chaque élément du départ a une image, tandis que la surjectivité garantit que chaque élément d’arrivée a un unique antécédent.

Explication

L’injectivité porte sur l’absence d’images partagées par des éléments distincts du départ, alors que la surjectivité porte sur l’atteinte de tous les éléments d’arrivée. L’exigence d’un antécédent unique caractérise la bijectivité, et non la surjectivité seule.

Question 9

9. Si la composée $g \circ f$ est surjective, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour $g$ ?

Les deux applications

f

et

g

sont nécessairement bijectives.

Chaque élément de l’ensemble de départ de

f

a une image distincte par

f

.

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée de

g

est atteint par

g

.

L’application

f

atteint chaque élément de son ensemble d’arrivée.

Explication

Si $g \circ f$ atteint chaque élément de son ensemble d’arrivée, alors tout élément de cet ensemble est aussi atteint par $g$ , qui est donc surjective. Cela ne garantit pas que $f$ soit surjective : certains éléments de son ensemble d’arrivée peuvent ne pas être des images par $f$ .

Question 10

10. Pour déterminer l’image directe d’un ensemble par une fonction, quelle démarche faut-il appliquer ?

Conserver les éléments de l’ensemble qui ont au moins deux antécédents distincts.

Calculer l’image de chaque élément de l’ensemble, puis réunir les valeurs obtenues.

Associer à chaque élément de l’ensemble son unique antécédent dans l’ensemble de départ.

Rechercher dans l’ensemble d’arrivée les éléments dont les images appartiennent à l’ensemble donné.

Explication

L’image directe de A rassemble les valeurs f(x) obtenues lorsque x parcourt A. Rechercher les éléments dont l’image appartient à un ensemble d’arrivée décrit plutôt une image réciproque.

Question 11

11. Pour une application injective $f:E\to F$ et des parties $A,C\subseteq E$ , quelle propriété caractérise l’image de leur intersection ?

Elle est incluse dans l’union des images de

A

et de

C

.

Elle est égale à l’union des images de

A

et de

C

.

Elle est égale à l’intersection des images de

A

et de

C

.

Elle contient l’intersection des images de

A

et de

C

, sans égalité garantie.

Explication

L’injectivité garantit que tout élément commun à $f(A)$ et $f(C)$ provient d’un même élément appartenant à $A\cap C$ , d’où l’égalité. Sans injectivité, cette égalité peut échouer, même si l’image de l’intersection reste incluse dans l’intersection des images.

QCM : Applications et propriétés (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un ensemble $E$ , que signifie la notation $x \in E$ ?

2. Soient $A=\{2,5\}$ et $E=\{1,2,4,5,7\}$ . Quelle affirmation traduit correctement que $A$ est inclus dans $E$ ?

3. Un ensemble fini $F$ contient exactement cinq éléments distincts. Quelle est la valeur de son cardinal $|F|$ ?

4. Un ensemble fini $G$ possède quatre éléments. Combien l’ensemble de ses parties $P(G)$ contient-il de sous-ensembles ?

5. Que désigne la différence symétrique de deux ensembles $A$ et $B$ ?

6. Dans $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ , quelle famille d’ensembles est donnée comme une partition de $E$ ?

7. Quel rôle joue l’ensemble d’arrivée dans une application $f:E\to F$ ?

8. Quelle différence distingue une application injective d’une application surjective ?

9. Si la composée $g \circ f$ est surjective, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour $g$ ?

10. Pour déterminer l’image directe d’un ensemble par une fonction, quelle démarche faut-il appliquer ?

11. Pour une application injective $f:E\to F$ et des parties $A,C\subseteq E$ , quelle propriété caractérise l’image de leur intersection ?

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QCM : Applications et propriétés (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un ensemble EEE, que signifie la notation x∈Ex \in Ex∈E ?

2. Soient A={2,5}A=\{2,5\}A={2,5} et E={1,2,4,5,7}E=\{1,2,4,5,7\}E={1,2,4,5,7}. Quelle affirmation traduit correctement que AAA est inclus dans EEE ?

3. Un ensemble fini FFF contient exactement cinq éléments distincts. Quelle est la valeur de son cardinal ∣F∣|F|∣F∣ ?

4. Un ensemble fini GGG possède quatre éléments. Combien l’ensemble de ses parties P(G)P(G)P(G) contient-il de sous-ensembles ?

5. Que désigne la différence symétrique de deux ensembles AAA et BBB ?

6. Dans E={1,2,3,4,5,6}E=\{1,2,3,4,5,6\}E={1,2,3,4,5,6}, quelle famille d’ensembles est donnée comme une partition de EEE ?

7. Quel rôle joue l’ensemble d’arrivée dans une application f:E→Ff:E\to Ff:E→F ?

8. Quelle différence distingue une application injective d’une application surjective ?

9. Si la composée g∘fg \circ fg∘f est surjective, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour ggg ?

10. Pour déterminer l’image directe d’un ensemble par une fonction, quelle démarche faut-il appliquer ?

11. Pour une application injective f:E→Ff:E\to Ff:E→F et des parties A,C⊆EA,C\subseteq EA,C⊆E, quelle propriété caractérise l’image de leur intersection ?

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1. Dans un ensemble $E$ , que signifie la notation $x \in E$ ?

2. Soient $A=\{2,5\}$ et $E=\{1,2,4,5,7\}$ . Quelle affirmation traduit correctement que $A$ est inclus dans $E$ ?

3. Un ensemble fini $F$ contient exactement cinq éléments distincts. Quelle est la valeur de son cardinal $|F|$ ?

4. Un ensemble fini $G$ possède quatre éléments. Combien l’ensemble de ses parties $P(G)$ contient-il de sous-ensembles ?

5. Que désigne la différence symétrique de deux ensembles $A$ et $B$ ?

6. Dans $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ , quelle famille d’ensembles est donnée comme une partition de $E$ ?

7. Quel rôle joue l’ensemble d’arrivée dans une application $f:E\to F$ ?

9. Si la composée $g \circ f$ est surjective, quelle conséquence cela entraîne-t-il pour $g$ ?

11. Pour une application injective $f:E\to F$ et des parties $A,C\subseteq E$ , quelle propriété caractérise l’image de leur intersection ?