QCM : Logique et méthodes de démonstration (28 questions)

Explication

Une loi interne est une application de $E\times E$ vers $E$ : elle associe à deux éléments de $E$ un résultat qui appartient encore à $E$. L’associativité concerne le regroupement, l’élément neutre laisse les éléments inchangés et les inverses sont des propriétés supplémentaires.

Explication

Une structure algébrique apparaît lorsqu’une loi satisfait des propriétés telles que l’associativité, l’existence d’un élément neutre ou celle d’inverses. La fermeture seule, l’associativité seule ou la présence d’un neutre ne résume pas ici l’ensemble des propriétés données.

Explication

L’algèbre étudie les objets mathématiques, leurs opérations et les propriétés qui découlent des règles satisfaites par ces opérations. La logique porte sur le raisonnement, la géométrie sur les objets spatiaux et l’arithmétique principalement sur les nombres et leurs calculs.

Explication

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer sans ambiguïté exactement une valeur de vérité, vraie ou fausse ; « 7 est pair » est faux, mais possède bien une valeur de vérité. Une question, une variable libre et un ordre ne constituent pas des propositions dans ces formulations.

Explication

L’énoncé $x+1=4$ dépend de la variable libre $x$ et n’a donc pas encore une valeur de vérité déterminée : c’est un prédicat, non une proposition. Le traiter comme toujours faux, toujours vrai ou déjà déterminé suppose à tort une valeur ou une quantification.

Explication

Un prédicat $P(x)$ devient une proposition lorsque sa variable est fixée ou quantifiée, par exemple en évaluant $P(3)$ ou en écrivant $\forall x\in\mathbb{R}, P(x)$. Ajouter une variable libre, changer son symbole ou indiquer un domaine sans la quantifier ne détermine pas une valeur de vérité.

Explication

Comme $x>2$ est vraie pour $x=3$, sa négation est fausse. La réponse « vraie » conserve la valeur de $P$, tandis que « vraie lorsque $x=2$ » confond la négation de $x>2$ avec $x<2$.

Explication

Une conjonction est vraie uniquement si les deux propositions sont vraies ; puisque $Q$ est fausse, $P\land Q$ est fausse. « Vraie dès que $P$ est vraie » applique le critère de la disjonction, et « vraie dès que l’une est fausse » inverse la condition.

Explication

La disjonction inclusive est vraie dès qu’au moins une proposition est vraie, y compris lorsque les deux le sont. « Vraie seulement si une seule proposition est vraie » correspond au ou exclusif, tandis que la réponse « fausse » applique à tort le critère de la conjonction.

Explication

Une implication est fausse seulement lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse ; avec $P$ fausse, elle est vraie. « Fausse lorsque $P$ est fausse » confond l’absence de l’hypothèse avec un contre-exemple, et l’implication n’exige pas que $P$ soit vraie pour avoir une valeur de vérité.

Explication

Deux formules sont logiquement équivalentes lorsque leurs valeurs de vérité coïncident pour toute attribution des variables. L’identité d’écriture n’est pas requise, et être vraies ensemble pour une seule attribution ne suffit pas.

Explication

Une équivalence exprime les deux sens à la fois : $P$ implique $Q$ et $Q$ implique $P$, d’où leur conjonction. La disjonction n’exige qu’un sens, et les autres expressions modifient les implications à vérifier.

Explication

La loi de De Morgan transforme la négation d’une disjonction en conjonction des négations : $\neg(P\lor Q)\Leftrightarrow(\neg P\land\neg Q)$. « $\neg P\lor\neg Q$ » correspond à la négation d’une conjonction, tandis que les autres expressions ne nient pas les deux propositions conformément à la loi.

Explication

La contraposée de $P\Rightarrow Q$ est $\neg Q\Rightarrow\neg P$ : ne pas être pair implique ne pas être multiple de 4. « Si $n$ est pair, alors $n$ est multiple de 4 » est la réciproque, qui n’est pas nécessairement équivalente à l’implication initiale.

Explication

Dans une implication P ⇒ Q, la réalisation de P garantit Q : P est donc suffisante pour Q, tandis que Q est nécessaire pour que P soit vraie. L’option qui fait de Q une condition suffisante inverse le sens de l’implication, celle qui inverse la nécessité fait le même renversement, et l’équivalence exige aussi la réciproque.

Explication

Une équivalence réunit les deux implications, P ⇒ Q et Q ⇒ P ; chacune des propriétés est donc à la fois nécessaire et suffisante pour l’autre. Ne retenir qu’un seul sens omet la réciproque, tandis que l’incompatibilité et la nécessité sans suffisance ne traduisent pas une équivalence.

Explication

Le quantificateur universel affirme que la propriété est vraie pour tout élément de E. « Au moins un » exprime l’existence, « exactement un » l’existence et l’unicité, et « aucun » nie la propriété pour tous les candidats.

Explication

Le quantificateur existentiel garantit la présence d’au moins un élément de E qui vérifie P. « Tous » correspond au quantificateur universel, « exactement un » ajoute une condition d’unicité, et « aucun » contredit l’existence affirmée.

Explication

La négation d’une affirmation universelle est existentielle : il suffit qu’un élément de E ne vérifie pas P pour que l’affirmation « tous vérifient P » soit fausse. $\forall x\in E,\neg P(x)$ dit que tous échouent, et $\exists x\in E,P(x)$ confirme plutôt l’existence d’un appareil qui fonctionne.

Explication

Pour chaque réel x, on peut choisir un réel y supérieur à x, donc la première affirmation est vraie. La seconde demanderait un réel y supérieur à tous les réels, ce qui n’existe pas ; l’erreur consiste à croire qu’un même y peut convenir à toutes les valeurs de x, ou que l’ordre des quantificateurs ne change rien.

Explication

L’injectivité signifie que deux éléments de départ ayant la même image sont égaux. La surjectivité concerne l’atteinte de chaque élément de l’ensemble d’arrivée, tandis que la bijectivité exige les deux propriétés.

Explication

Une fonction est surjective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent dans l’ensemble de départ. L’unicité des antécédents relève de l’injectivité, et la bijectivité combine injectivité et surjectivité.

Explication

La démonstration directe d’une implication consiste à supposer son hypothèse vraie et à en déduire sa conclusion. Partir de non-Q correspond à la contraposée, supposer la négation de la conclusion pour obtenir une contradiction relève de l’absurde, et Q implique P est la réciproque.

Explication

La contraposée de $P\Rightarrow Q$ est $\neg Q\Rightarrow\neg P$. Ici, nier « $n$ est pair » donne « $n$ est impair », et nier « $n^2$ est pair » donne « $n^2$ est impair » ; la réciproque serait l’implication de pair vers pair.

Explication

Le raisonnement par l’absurde suppose la négation du résultat à démontrer et en tire une contradiction. Une preuve directe part de l’hypothèse, tandis que la contraposée démontre une implication équivalente et qu’un contre-exemple réfute une affirmation universelle.

Explication

Pour réfuter une affirmation universelle, il suffit d’un élément du domaine où la propriété annoncée est fausse ; ici, il faudrait donc $x_0^2+1\le 0$. Vérifier un cas où elle est vraie ne la réfute pas, et une inégalité différente ne constitue pas nécessairement un contre-exemple.

Explication

Une démonstration d’un théorème relie ses hypothèses à sa conclusion par une chaîne d’implications dont chaque étape est justifiée. Partir de la conclusion inverse le sens, une équivalence exige les deux sens, et des exemples ne constituent pas cette chaîne.

Explication

La préparation consiste notamment à identifier l’énoncé, repérer ses quantificateurs et son implication, expliciter les hypothèses, reconnaître la conclusion, choisir une stratégie et justifier les transitions jusqu’à une phrase finale qui répond à la question. Partir de la conclusion, se limiter à des exemples ou omettre les justifications ne suit pas cette démarche.