Fiche de révision : Approche didactique de l’espace en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Approche didactique de l’espace en mathématiques et objectifs pédagogiques
2. Les trois visions de l’espace : topologique, projective et ordinale
3. Différences entre sens et direction, repérage relatif et absolu dans l’espace
4. Progression pédagogique dans l’adoption des repères spatiaux
5. Définition, structure et usages pédagogiques des quadrillages
6. Utilisation des labyrinthes pour l’apprentissage spatial et corporel
7. Classification des solides : notions de convexité et non convexité
8. Les polyèdres particuliers : pyramides, prismes et polyèdres réguliers
9. Caractéristiques des non-polyèdres : cônes, cylindres et boules
10. Solides de révolution et leur génération par rotation autour d’un axe
11. Représentation des solides et enjeux professionnels liés à leur modélisation
12. Dégager des régularités et des propriétés des solides et figures

📖 1. Approche didactique de l’espace en mathématiques et objectifs pédagogiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Composante essentielle du vécu corporel : Élément intégré à la réflexion didactique de l’UE, mobilisé pour soutenir l’apprentissage des mathématiques en lien avec l’expérience corporelle.

📝 Points essentiels

• L’UE2203 vise l’appropriation des termes spécifiques aux contenus mobilisés.
• L’UE vise l’appropriation des différentes dimensions spatiales et de leurs composants.

💡 À retenir

L’UE2203 articule l’apprentissage de l’espace à la composante essentielle du vécu corporel, en travaillant l’appropriation des dimensions spatiales, la place du corps et ses déplacements, ainsi que l’usage de termes spécifiques.

📖 2. Les trois visions de l’espace : topologique, projective et ordinale

🔑 Notions clés & Définitions

• Le vocabulaire utilisé sera : Haut, dessus/bas, dessous ;
• Vision topologique de l’espace : Vision de l’espace où l’espace est vu comme mou, souple, courbe et élastique, qui s’étire et se compresse sans brisure ni recollage ; deux formes sont perçues comme semblables/équivalentes si l’on peut passer de l’une à l’autre par déformation, étirement ou compression continue sans briser ni recoller.
• Vision ordinale de l’espace : Vision de l’espace vue comme un monde ordonné par les nombres, où les positions sont données par des nombres ordinaux (premier, deuxième, troisième) ; elle implique une origine, une ligne et une orientation de comptage.
• Axe du regard : Axe mobilisé dans la vision projective pour donner une direction et une orientation, et pris en compte dans l’articulation des plans directeurs autour de la posture debout dans la vision ordinale.

📝 Points essentiels

• Dans la vision topologique, les positions perçues sont celles liées à la notion de voisinage, avec un vocabulaire du type près de, à côté de, loin de, entre, au milieu de, au bord de, autour, dans, hors de, à l’intérieur de, à l’extérieur de.
• Dans la vision ordinale, trois plans directeurs s’articulent autour de la posture debout : le plan horizontal (PH) passant par les yeux, le plan vertical de profil (PP) passant par la colonne vertébrale, et le plan vertical frontal (PF) passant par le front.
• Les positions perçues dans cette vision de l’espace sont celles liées à l’axe d’un regard.
• Chacun de ces 3 plans coupe l’espace en deux demi- espaces correspondant à des positions opposées : en haut/en bas, à gauche/à droite, devant/derrière 5 Pour aller du point rouge au point vert : Les positions perçues dans cette vision de l’espace sont celles liées à l’ordre des nombres naturels.

💡 À retenir

Dans la vision topologique, les positions perçues sont celles liées à la notion de voisinage, avec un vocabulaire du type près de, à côté de, loin de, entre, au milieu de, au bord de, autour, dans, hors de, à l’intérieur de, à l’extérieur de.

📖 3. Différences entre sens et direction, repérage relatif et absolu dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Direction d’une droite : Propriété géométrique d’une droite : deux droites parallèles ont la même direction, qui n’est pas liée à leur sens (orientation).
• Repérage relatif : Repérage lié à la posture de l’observateur et à un regard, où les directions avant/arrière et gauche/droite varient avec les changements de position de l’observateur.
• Repérage absolu : Repérage indépendant de tout regard, par exemple quand « le vase est placé sur la table » ou quand une bibliothèque est décrite comme « derrière » et « à droite » d’un repère.
• Objet orienté : Objet auquel on peut attribuer un « regard », permettant d’y associer un avant/un arrière et une gauche/une droite.

📝 Points essentiels

• Deux parcours peuvent avoir la même direction mais des sens opposés.
• Le repérage absolu est indépendant de tout regard, comme dans « le vase est placé sur la table » ou « la bibliothèque se trouve derrière… mais à droite… ».

💡 À retenir

Deux parcours peuvent avoir la même direction mais des sens opposés.

📖 4. Progression pédagogique dans l’adoption des repères spatiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Aller d’un point extrémité : Possibilité décrite pour un quadrillage : il est possible d’aller d’un point extrémité à un autre en circulant sur les tronçons de lignes.

📝 Points essentiels

• Le quadrillage comme outil de repérage de position dans l’espace

• La case (3,E)

• Déplacements sur les bandes planes perpendiculaires

• Le point (3,D)

• Déplacements sur les droites perpendiculaires.

• 7 PROGRESSION DANS L’APPROCHE DES POSITIONS OPPOSÉES 1.

💡 À retenir

La progression articule l’adoption de repères spatiaux (notamment via les positions opposées) et l’usage d’outils comme le quadrillage pour repérer et se déplacer, tandis que les labyrinthes permettent d’observer les progrès grâce à l’observation et au comptage des erreurs ou des hésitations.

📖 5. Définition, structure et usages pédagogiques des quadrillages

🔑 Notions clés & Définitions

• Réseau : 12 C’est un ensemble de ligne qui se croisent.

📝 Points essentiels

• Un quadrillage est un réseau particulier.
• Un quadrillage est un ensemble de deux familles de droites parallèles et équidistantes qui se croisent perpendiculairement.
• En circulant d’un point extrémité à un autre en empruntant les tronçons de lignes droites, les mailles créées sont des carrés.
• Les quadrillages peuvent être abordés de deux façons : quadrillage maille/bande et quadrillage points/lignes.
• Les lignes du réseau découpent une partie du plan en régions appelées mailles.
• Le quadrillage points/lignes LES USAGES POSSIBLES DU QUADRILLAGES 1.

💡 À retenir

Un quadrillage est d’abord une structure de lignes (réseau) qui forme des mailles, puis un support pour repérer et tracer des parcours sur le plan.

📖 6. Utilisation des labyrinthes pour l’apprentissage spatial et corporel

🔑 Notions clés & Définitions

• Labyrinthe géant : Labyrinthe réalisé en grand format dans lequel les enfants pourront évoluer, en vivant chaque notion corporellement.
• Quadrillage comme outil : Outil de quadrillage utilisé pour la transformation de formes, le déplacement, le mesurage et l’organisation.
• Labyrinthes : Labyrinthes sont des applications directes de la notion de frontières.

📝 Points essentiels

• L’observation et le comptage des erreurs ou des hésitations fournissent une illustration précise des progrès de l’apprentissage.
• Dans le labyrinthe géant, il est préférable que les enfants ne voient pas l’arrivée, sinon cela devient plus facile pour eux.
• Les labyrinthes en format Départ/arrivée peuvent être : un départ et une arrivée ; un départ et plusieurs arrivées ; plusieurs départs et une seule arrivée ; plusieurs départs et plusieurs arrivées.
• • Matériel : ▪ Mousse ▪ Des caisses en carton ▪ Des tables couchées ou debout (mais alors il faut que les enfants ne puissent pas passer entre les pattes des tables) ▪ Des tunnels ▪ Des ponts où les enfants peuvent passer au-dessus et en dessous Eléments importants auxquels il est bon de faire attention lors de la construction : 17 Quand les enfants sont dans le labyrinthe, il est préférable qu’ils ne voient pas l’arrivée, sinon cela devient plus facile pour eux Il est essentiel que les enfants vivent chaque notion corporellement et donc de réaliser un labyrinthe reprenant tout ce que l’enfant pourra vivre sur papier, c’est-à-dire :boucles, chemins sans issue, obstacles, ponts, tunnels… Il existe des modules psychomoteurs qui représentent des labyrinthes (plaines de jeux, ducasses, parcs…).
• En effet, on peut considérer que le labyrinthe est un ensemble de régions délimitées par des frontières.

💡 À retenir

L’observation et le comptage des erreurs ou des hésitations fournissent une illustration précise des progrès de l’apprentissage.

📖 7. Classification des solides : notions de convexité et non convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Classement des solides en fonction : Classement des solides combinant la convexité/non convexité avec la distinction polyèdres/non polyèdres, puis avec d’autres critères comme la possibilité de déplacement ou la trace observée.

📝 Points essentiels

• Un solide est non convexe s’il existe deux points A et B appartenant au solide tels que le segment [AB] ne soit pas tout entier contenu dans le solide.
• Les solides possédant une partie « rentrante » sont appelés « non convexes ».

💡 À retenir

Un solide est non convexe s’il existe deux points A et B appartenant au solide tels que le segment [AB] ne soit pas tout entier contenu dans le solide.

📖 8. Les polyèdres particuliers : pyramides, prismes et polyèdres réguliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Réguliers sont : Caractérisation des prismes réguliers : prismes droits dont les bases sont des polygones réguliers.
• Polyèdres : Ne sont pas des polyèdres en base 25 Nous pouvons étendre ces notions au non polyèdres Les pyramides Les polyèdres à base unique sont appelés des pyramides.

📝 Points essentiels

• Les pyramides sont des polyèdres à base unique.
• Les pyramides droites ont leur sommet situé sur une droite perpendiculaire à la base passant par le centre de celle-ci ; les pyramides non droites correspondent au cas où ce n’est pas le cas.
• Les pyramides régulières ont une base qui est un polygone régulier.
• Les prismes sont des polyèdres avec deux bases parallèles et superposables.
• Les prismes droits ont des arêtes reliant les deux bases perpendiculaires aux bases ; dans ce cas, les surfaces latérales sont des rectangles.
• Solides polyèdres Solides non-polyèdres EN SUPERPOSANT LES DEUX CLASSEMENTS ON OBTIENT LE CLASSEMENT SUIVANT : Convexe Non convexe 24 Polyèdre LES POLYÈDRES NON CONVEXES Notion de bases Il y a deux façons d’être base(s) :
  • Soit en paire de bases : Deux faces parallèles et qui possèdent une partie de frontière en commun avec chacune des autres faces.
• 27 ➢ Le cube est un prisme droit dont les 6 faces sont des carrés
• Les primes non droits (ou prisme oblique) lorsque les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.

💡 À retenir

Les pyramides sont des polyèdres à base unique.

📖 9. Caractéristiques des non-polyèdres : cônes, cylindres et boules

🔑 Notions clés & Définitions

• Surface courbe : Surface qui limite un cône ou un cylindre, en plus des surfaces planes qui les limitent aussi.

📝 Points essentiels

• Un cône est un solide limité par une surface courbe et une surface plane.
• Un cône droit correspond au cas où le sommet est situé sur une droite perpendiculaire à la base passant par le centre de celle-ci.
• Un cylindre est un solide limité par une surface courbe et par deux surfaces planes.
• Un cylindre droit a des génératrices perpendiculaires aux bases.
• LES FIGURES Une figure est surface plane limitée par une ligne fermée LES POLYGONES Un polygone est une surface plane limitée par une ligne brisée fermée.

💡 À retenir

Les non-polyèdres se reconnaissent par la présence de surfaces courbes (cônes et cylindres) et, pour distinguer les formes droites des obliques, par la perpendicularité ou non des droites/génératrices aux bases.

📖 10. Solides de révolution et leur génération par rotation autour d’un axe

📝 Points essentiels

• Pour le cône droit, on fait tourner de 360° un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit.
• Pour le cylindre, on fait tourner de 360° un rectangle autour d’un côté.
• Pour la boule, on fait tourner de 360° un demi-disque autour du diamètre.
• Un solide de révolution est un solide engendré par la rotation d’une surface autour d’un axe appelé axe de révolution.
• Le cône droit, le cylindre droit et la boule sont des solides de révolution.

💡 À retenir

La génération d’un solide de révolution se lit comme une rotation complète (360°) d’une figure plane autour d’un axe.

📖 11. Représentation des solides et enjeux professionnels liés à leur modélisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation des objets : Pour pallier ces obstacles, la représentation des objets est un outil efficace car elle peut prendre diverses formes complémentaires permettant de cerner au mieux l’objet et donc de raisonner et d’agir sur lui.

📝 Points essentiels

• Des obstacles apparaissent quand les objets sont trop grands ou trop petits pour en avoir une perception claire, quand ils sont perçus partiellement (des parties sont cachées) ou de façon déformée, ou quand ils ne sont présents que de manière fugace et échappent vite à la perception.
• La représentation des objets a plusieurs fonctions : amener les caractéristiques à une perception claire, assurer le souvenir (la mémoire) de ces caractéristiques, normaliser ces caractéristiques par la forme choisie (les amener à une perception normale, immédiate) et assurer une communication efficace moyennant divers supports.
• La modélisation devient nécessaire quand l’observation directe ne permet pas de disposer des caractéristiques des objets pour une tâche spécifique à cause des obstacles de perception (taille, parties cachées, déformation, fugacité).

💡 À retenir

La représentation des solides et des objets répond à un besoin professionnel : elle permet de disposer des caractéristiques d’un objet pour une tâche spécifique quand des obstacles empêchent une perception claire, en les rendant perceptibles, mémorisables et communicables.

📖 12. Dégager des régularités et des propriétés des solides et figures

🔑 Notions clés & Définitions

• Les puzzles colin-maillard Objectif : Activité de familiarisation avec les figures géométriques à partir de matériaux structurés : après avoir reconstitué un dessin modèle, les enfants recommencent les yeux bandés.
• Créations à partir de figures Objectif : Activité de familiarisation avec les figures géométriques à partir de matériaux structurés : les enfants contournent des blocs logiques, les découpent, puis réalisent leurs créations par assemblage et collage sur une feuille de fond.
• Le tangram Objectif : Activité de familiarisation avec les figures géométriques à partir de matériaux structurés.

📝 Points essentiels

• Le dégagement de régularités s’appuie sur les classifications (convexe/non convexe, polyèdre/non polyèdre) et sur les types de solides (pyramides, prismes, non-polyèdres).
• Classement des solides en fonction de la trace observée.

💡 À retenir

Le dégagement de régularités s’appuie sur les classifications (convexe/non convexe, polyèdre/non polyèdre) et sur les types de solides (pyramides, prismes, non-polyèdres).

🧩 Compléments de couverture

1. Pour optimiser la communication spatiale, il est indiqué que l’élève doit « se représenter l’espace dans lequel il agit » et que « être attentif au repère qu’il adopte va permettre d’optimiser sa communication spatiale ».
2. La progression des repères spatiaux comporte une étape où « Je suis l’observateur, je suis le repère » et un exemple de consigne : « Placez-vous derrière une chaise. »
3. Dans la progression des labyrinthes, le document donne un prérequis : « travail de l’outil scripteur » avant de travailler les labyrinthes sur feuille.
4. La classification des solides non convexes est reliée à des exemples de parties rentrantes : « Trou » (ex. « l’intérieur d’une équerre ») et « Creux » (ex. « l’intérieur d’une tasse »).
5. Réalisation : Avec les figures de leur choix, les enfants réalisent leurs propres créations par assemblage et collage sur une feuille de fond 7.
6. 1. Tome1 « Les mathématiques à l’école primaire » (Rogiers, 2011) Tome 2 « Apprivoiser l’espace et le monde des formes » (Géron et al.
7. Utilisations de modèles Feuilles avec modèles figuratifs Feuilles vierges, sur lesquelles les pointes sont représentées.
8. Exemple de réseau : 12 C’est un ensemble de ligne qui se croisent.
9. 12 côtés sont appelés ➢ Les sommets d’un polygone sont les extrémités des côtés.
10. 16 LES LABYRINTHES Les labyrinthes sont des applications directes de la notion de frontières.

📊 Tableaux de Synthèse

Sens vs direction et repérage relatif vs absolu

Quadrillage : structure et usages pédagogiques

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre direction et sens : la direction est liée au parallélisme, alors que le sens (orientation) peut être opposé même si la direction est la même.
2. Croire que le repérage absolu dépend du regard : il est présenté comme indépendant de tout regard (ex. vase sur la table ; bibliothèque derrière mais à droite).
3. Croire que le repérage relatif est indépendant de la posture : il est au contraire lié à la posture de l’observateur et à un regard (avant/arrière et gauche/droite varient).
4. Confondre vision topologique et vision ordinale : la topologique repose sur voisinage et déformation continue sans brisure ni recollage, l’ordinale sur un monde ordonné par des nombres ordinaux avec origine, ligne et orientation de comptage.
5. Confondre vision projective et ordinale : la projective mobilise un axe du regard pour donner direction et orientation, tandis que l’ordinale articule des plans directeurs autour de la posture debout.
6. Confondre quadrillage et réseau quelconque : un quadrillage est un réseau particulier (deux familles de droites parallèles et équidistantes perpendiculaires).
7. Confondre polyèdre et non-polyèdre : le texte distingue polyèdres (convexe/non convexe) et non-polyèdres (cônes, cylindres, boules) avec des surfaces courbes.

✅ Checklist Examen

1. Savoir caractériser la vision topologique (déformation continue sans brisure ni recollage) et le vocabulaire de voisinage (près de, à côté de, loin de, etc.).
2. Savoir caractériser la vision ordinale (positions données par des nombres ordinaux ; origine, ligne et orientation de comptage).
3. Identifier l’axe du regard dans la vision projective (direction et orientation).
4. Distinguer direction d’une droite (propriété géométrique) et sens (orientation) : deux parcours peuvent avoir la même direction mais des sens opposés.
5. Distinguer repérage relatif (lié à la posture et au regard) et repérage absolu (indépendant de tout regard).
6. Rappeler la structure d’un quadrillage : deux familles de droites parallèles et équidistantes perpendiculaires.
7. Relier quadrillage et mailles : les lignes du réseau découpent des régions appelées mailles.
8. Relier quadrillage et déplacements : en empruntant les tronçons de lignes droites, les mailles créées sont des carrés ; le quadrillage sert de support pour repérer et tracer des parcours.
9. Connaître les deux façons d’aborder les quadrillages : maille/bande et points/lignes.
10. Savoir que les labyrinthes sont des applications directes de la notion de frontières et que l’observation/comptage des erreurs ou hésitations illustre les progrès.
11. Connaître les définitions de base des solides : pyramides (base unique), prismes (deux bases parallèles et superposables), cône/cylindre (surfaces courbes + surfaces planes).
12. Savoir que le dégagement de régularités s’appuie sur les classifications (convexe/non convexe, polyèdre/non polyèdre) et sur les types (pyramides, prismes, non-polyèdres).