On a $$a=b\times q+r$$ avec $$0\le r<b$$.
Explication
La division euclidienne s’écrit et impose un reste compris entre et . La confusion fréquente consiste à intervertir le rôle du quotient et celui du reste dans l’égalité.
C'est une opération qui consiste à écrire a comme le produit de b par un entier q, plus un reste r, avec $$0 \\le r$$ < b.
Explication
La division euclidienne consiste à exprimer a sous la forme r, avec < b. La réponse qui correspond à cette définition est la première.
Le dividende est divisible par le diviseur.
Explication
Un reste nul signifie que le dividende s’écrit comme un produit entier du diviseur par le quotient, donc que le dividende est divisible par le diviseur. La valeur du quotient ne permet pas, à elle seule, de tirer cette conclusion.
Le quotient $$q$$ et le reste $$r$$
Explication
On cherche le quotient et le reste tels que avec . La somme, le produit, le facteur premier ou le coefficient ne sont pas directement liés à la définition de la division euclidienne.
$$a$$ est un multiple de $$b$$ et $$b$$ est un diviseur de $$a$$.
Explication
L’écriture montre que est obtenu en multipliant par un entier, ce qui fait de un multiple de et de un diviseur de . Inverser ces rôles conduirait à une relation différente, non garantie par cette égalité.
Déterminer si un nombre peut être divisé sans reste par un autre nombre.
Explication
Le critère de divisibilité permet de vérifier rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division complète. La décomposition en facteurs premiers est une étape différente, et déterminer si un nombre est premier ne nécessite pas forcément un critère de divisibilité.
Rechercher les produits de deux entiers égaux au nombre.
Explication
Un diviseur positif apparaît dans un produit de deux entiers dont le résultat est le nombre étudié. Une simple addition ou une comparaison avec des multiples ne suffit pas à établir cette relation de divisibilité.
Il a été introduit dans l'Antiquité par Euclide, vers le IIIe siècle avant notre ère.
Explication
Le concept de nombres premiers a été formalisé par Euclide dans l'Antiquité, vers le IIIe siècle avant notre ère, notamment dans ses travaux sur la théorie des nombres. La formalisation et l'étude approfondie des nombres premiers ont continué à évoluer au fil des siècles.
La décomposition en facteurs premiers exprime un nombre comme un produit de nombres premiers, tandis que le PGCD identifie le plus grand diviseur commun à deux nombres.
Explication
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme un produit de facteurs premiers, ce qui permet de le factoriser complètement. Le PGCD, en revanche, est le plus grand nombre qui divise deux nombres sans reste, ce qui est utile pour simplifier des fractions ou trouver des multiples communs.
Euclide
Explication
Euclide est crédité d'avoir formulé la notion de PGCD dans ses travaux, notamment dans 'Les Éléments'. Pythagore, Archimède et Descartes ont contribué à d'autres domaines mathématiques, mais pas spécifiquement à la définition du PGCD.
Elle ne peut plus être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre autre que 1.
Explication
Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée, car le plus grand commun diviseur de son numérateur et de son dénominateur est 1. Si elle était réductible, on pourrait diviser le numérateur et le dénominateur par un facteur commun supérieur à 1.
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Qu'est-ce que la division euclidienne d'un entier a par un entier b non nul ?
Trouver deux entiers q et r tels que avec .
Division euclidienne
Trouve q, r: a=b×q+r avec 0≤r<b.
Que signifie un reste nul dans une division euclidienne ?
Le dividende est divisible par le diviseur.
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