Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Multiples et diviseurs
3. Critères de divisibilité
4. Nombres premiers
5. Décomposition en facteurs premiers
6. PGCD de deux nombres
7. Fraction irréductible

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : d’un entier a par un entier b non nul consiste à trouver deux entiers q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$.

★ À maîtriser

📌 Si le reste d’une division euclidienne vaut 0, alors le dividende est divisible par le diviseur.

Compléments

• Dans la division euclidienne de 157 par 12, le quotient est 13 et le reste est 1, car $157=12\times13+1$.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Si un entier $a=b\times k$ avec k entier, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

• Pour trouver les diviseurs positifs d’un nombre, on recherche les produits de deux entiers qui donnent ce nombre.

Compléments

• Comme $42=6\times7$, 42 est un multiple de 6 et de 7, tandis que 6 et 7 sont des diviseurs de 42.

• Les diviseurs positifs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

💡 Astuce mémo

Multiple : on part du diviseur vers le nombre ; diviseur : on part du nombre vers le facteur.

📖 3. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

📌 Un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

💡 Astuce mémo

3 et 9 : somme des chiffres ; 2, 5 et 10 : chiffre des unités.

📖 4. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• 91 n’est pas premier car $91=7\times13$, tandis que 97 est premier car aucun entier premier inférieur ou égal à $\sqrt{97}$ ne le divise.

📖 5. Décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : un produit de facteurs premiers consiste à l’écrire comme une multiplication dont tous les facteurs sont des nombres premiers.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles, dans l’ordre 2, puis 3, puis 5, puis 7, jusqu’à obtenir 1.

• La décomposition en facteurs premiers de 180 est $180=2^2\times3^2\times5$.

Compléments

📌 Pour vérifier une décomposition en facteurs premiers, on remultiplie tous les facteurs et l’on doit retrouver le nombre de départ.

💡 Astuce mémo

Diviser par 2, puis 3, puis 5, puis 7, jusqu’à obtenir 1.

📖 6. PGCD de deux nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : le plus grand nombre entier qui divise ces deux nombres.

★ À maîtriser

• Pour déterminer un PGCD par décomposition en facteurs premiers, on décompose les deux nombres, repère leurs facteurs premiers communs, prend chacun avec le plus petit exposant, puis multiplie les facteurs obtenus.

Compléments

• Comme $180=2^2\times3^2\times5$ et $252=2^2\times3^2\times7$, on obtient $PGCD(180;252)=2^2\times3^2=36$.

• Avec 84 bouteilles et 126 barres, le PGCD vaut 42, ce qui permet de préparer 42 lots identiques contenant chacun 2 bouteilles et 3 barres.

💡 Astuce mémo

Décomposer, repérer les facteurs communs, garder les plus petits exposants, multiplier.

📖 7. Fraction irréductible

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

• Pour rendre une fraction irréductible par simplifications successives, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre, autant de fois que nécessaire.

• La fraction $\frac{84}{126}$ se simplifie successivement en $\frac{42}{63}$, puis $\frac{14}{21}$ et enfin $\frac{2}{3}$, qui est irréductible.

📌 Pour conserver une fraction équivalente, il faut toujours multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité