Fiche de révision : Arithmétique et calcul littéral

📋 Plan du Cours

1. Diviseurs et critères de divisibilité
2. Nombres premiers et diviseurs communs
3. Décomposition en facteurs premiers
4. Multiples communs et engrenages
5. Théorème de Pythagore
6. Réciproque de Pythagore
7. Nombres relatifs et fractions
8. Développement et factorisation
9. Crible d’Ératosthène

📖 1. Diviseurs et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Un entier b est un diviseur de a si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair, par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3, par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4, par 5 lorsque son chiffre des unités vaut 0 ou 5, et par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Compléments

• Le nombre 2169 est divisible par 3 et par 9 car la somme de ses chiffres vaut 18, qui est un multiple de 3 et de 9.

📖 2. Nombres premiers et diviseurs communs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier positif possédant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Les diviseurs communs de 60 et 100 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.

📖 3. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier non premier peut être décomposé en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

• La décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est $84=2^2\times3\times7$.

Compléments

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis on écrit le produit des diviseurs utilisés.

💡 Astuce mémo

Diviser successivement par les plus petits nombres premiers jusqu’à obtenir 1.

📖 4. Multiples communs et engrenages

★ À maîtriser

• Pour retrouver la position commune des roues A et B, on recherche le premier multiple non nul commun à 12 et 18.

• Pour les roues de 12 et 18 dents, le premier multiple commun non nul est 36, obtenu avec 3 tours de la roue A et 2 tours de la roue B.

Compléments

📐 Formule - Les décompositions sont $12=2^2\times3$ et $18=2\times3^2$.

💡 Astuce mémo

Même position → nombre de dents multiple de chaque nombre → premier multiple commun.

📖 5. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle en B, la relation de Pythagore est $AC^2=AB^2+BC^2$.

Compléments

• Si AB=4 cm et BC=4,2 cm, alors AC²=33,64 et AC=5,8 cm.

💡 Astuce mémo

Le carré construit sur l’hypoténuse égale les deux carrés construits sur les côtés de l’angle droit.

📖 6. Réciproque de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

📌 Un triangle n’est pas rectangle lorsque le carré de son plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres côtés.

Compléments

• Dans un triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm, on a $10^2=6^2+8^2=100$, donc le triangle est rectangle.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés → triangle rectangle ; inégalité → triangle non rectangle.

📖 7. Nombres relatifs et fractions

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des fractions de même dénominateur, $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

📐 Formule - Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

Compléments

• La fraction $\frac{36}{63}$ se simplifie en $\frac{4}{7}$ et $\frac{100}{220}$ se simplifie en $\frac{5}{11}$.

📖 8. Développement et factorisation

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité permet de développer selon la relation $k(a+b)=ka+kb$.

📐 Formule - La factorisation transforme une somme en produit selon la relation $ka+kb=k(a+b)$.

Compléments

• Le développement de 7(2x+5) donne 14x+35.

• La factorisation de 15x²−3x donne 3x(5x−1).

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 9. Crible d’Ératosthène

🔑 Notions clés & Définitions

• Crible d’Ératosthène : Le crible d’Ératosthène est une méthode de recherche des nombres premiers, attribuée à Ératosthène, qui a vécu de 276 av. J.-C. à 194 av. J.-C.

📝 Points essentiels

• Pour trouver les nombres premiers jusqu’à 100, on entoure 2, on élimine ses multiples, puis on répète l’opération avec 3 et avec chaque plus petit nombre non entouré et non éliminé jusqu’à la racine carrée de 100, soit 10. - Ératosthène, 276 av. J.-C.

📌 À la fin du crible, les nombres qui n’ont pas été éliminés sont les nombres premiers.

💡 Astuce mémo

Entourer 2, puis 3, puis chaque plus petit nombre restant, et éliminer ses multiples.

📊 Tableaux de synthèse

Théorème direct et réciproque de Pythagore