Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et notations
2. Entiers et divisibilité
3. Implications et contre-exemples
4. Entiers pairs et impairs
5. Nombres premiers
6. Fractions et simplification

📖 1. Ensembles et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Formé d’éléments et pouvant être désigné par des accolades.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément et se note ∅.

📝 Points essentiels

• Le symbole ∈ indique qu’un élément appartient à un ensemble, tandis que le symbole ⊂ indique qu’un ensemble est inclus dans un autre.

💡 Astuce mémo

∈ relie un élément à un ensemble ; ⊂ relie deux ensembles.

📖 2. Entiers et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble {0, 1, 2, 3, 4, …} noté ℕ.
• Entiers relatifs : Ensemble contenant les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs.
• Diviseur : Un entier relatif a est un diviseur d’un entier relatif b s’il existe un entier relatif k tel que b = k × a.

★ À maîtriser

• L’inclusion ℕ ⊂ ℤ signifie que tout entier naturel est aussi un entier relatif.

• Un entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un entier est divisible par 3, respectivement par 9, si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3, respectivement par 9.

Compléments

• Dire que a divise b, que a est un diviseur de b, que b est un multiple de a ou que b est divisible par a exprime la même relation.

📖 3. Implications et contre-exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque : La réciproque de l’implication « Si P alors Q » est l’implication « Si Q alors P ».
• Contre-exemple : Exemple qui vérifie l’hypothèse sans vérifier la conclusion et prouve ainsi que l’affirmation est fausse.
• Contraposée : La contraposée de « Si P alors Q » est « Si non-Q alors non-P ».

★ À maîtriser

• La vérité d’une implication n’entraîne pas automatiquement celle de sa réciproque.

Compléments

📌 Si une implication est vraie, sa contraposée est également vraie.

💡 Astuce mémo

La contraposée conserve la vérité ; la réciproque, elle, doit être vérifiée.

📖 4. Entiers pairs et impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Entier divisible par 2, c’est-à-dire qu’il existe un entier relatif k tel que n = 2k.
• Nombre impair : Entier non divisible par 2, c’est-à-dire qu’il existe un entier relatif k tel que n = 2k + 1.

★ À maîtriser

📌 Le carré d’un nombre impair est impair, et le carré d’un nombre pair est pair.

• Pour prouver que √2 est irrationnel, on suppose qu’il est rationnel et qu’il s’écrit sous forme irréductible a/b, avec a et b naturels et b non nul ; l’égalité a² = 2b² entraîne que a est pair, puis que b est pair, en contradiction avec l’irréductibilité de la fraction.

Compléments

• Tout entier relatif est soit pair, soit impair.

📌 Un entier est impair si et seulement si son carré est impair, et il est pair si et seulement si son carré est pair.

📖 5. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui a exactement deux diviseurs naturels : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel non nul s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Compléments

• L’ensemble des nombres premiers est infini.

• La décomposition en facteurs premiers de 16 500 est 2² × 3 × 5³ × 11.

📖 6. Fractions et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque le plus grand diviseur commun de son numérateur et de son dénominateur est 1.

★ À maîtriser

📌 Toute fraction peut s’écrire sous forme irréductible.

• Pour simplifier une fraction à l’aide des facteurs premiers, on décompose son numérateur et son dénominateur en facteurs premiers puis on simplifie les facteurs communs.

Compléments

📐 Formule - Pour des puissances de même base, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et, lorsque le quotient est défini, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

📐 Formule - Pour des facteurs a et b et un exposant n, $(ab)^n = a^n b^n$ et $(a^m)^n = a^{mn}$.

• Le cours compare les fractions a = 504/240 et b = (2¹⁵ × 25³)/357 après décomposition et simplification des facteurs.