Fiche de révision : Arithmétique et théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Multiples et diviseurs
2. Divisibilité et PGCD
3. Nombres premiers et décomposition
4. Applications du théorème de Pythagore

📖 1. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Nombre qui peut s’écrire comme le produit d’un autre nombre par un entier, par exemple 32 est un multiple de 8 car 8 × 4 = 32.
• Diviseur : Un nombre est un diviseur d’un autre nombre lorsque la division de ce dernier par le premier est exacte, par exemple 8 est un diviseur de 32 car 32 ÷ 8 = 4.
• Divisibilité : Un nombre a est divisible par un nombre b si la division euclidienne de a par b a un reste égal à 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les multiples de 8 s’écrivent tous sous la forme $8 \times k$, où k est un nombre entier.

💡 Astuce mémo

Un multiple s’obtient par multiplication, tandis qu’un diviseur partage exactement.

📖 2. Divisibilité et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux entiers positifs.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

📌 Un entier est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 3.

Compléments

• Le PGCD de 48 et 72 est 24, car 24 est le plus grand diviseur commun indiqué pour ces deux nombres.

💡 Astuce mémo

Pour 2, 3 et 5 : unité, somme, unité.

📖 3. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir le quotient 1, puis on multiplie les diviseurs utilisés.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

📐 Formule — La décomposition de 7326 en facteurs premiers est $7326 = 2 \times 3^2 \times 11 \times 37$.

💡 Astuce mémo

Diviser successivement jusqu’à obtenir le quotient 1.

📖 4. Applications du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le triangle rectangle étudié, la relation de Pythagore s’écrit $ED^2 = EF^2 + FD^2$.

• Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, on remplace les longueurs connues dans l’égalité de Pythagore, on isole le carré recherché par une soustraction, puis on prend la racine carrée.

• Pour vérifier si un triangle possède un angle droit, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés : l’égalité indique un angle droit, tandis qu’une différence indique qu’il n’y en a pas.

Compléments

• Dans l’exemple, $5^2 = EF^2 + 4^2$ donne $EF^2 = 9$, puis $EF = \sqrt{9} = 3$.

💡 Astuce mémo

Côtés vérifiant l’égalité → triangle rectangle ; égalités différentes → pas d’angle droit.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité