Fiche de révision : Arithmétique fondamentale

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Multiples et diviseurs
3. Nombres pairs et impairs
4. Factorisation et fractions irréductibles

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : les nombres 0, 1, 2, 3, … et leur ensemble est noté ℕ.
• Entiers relatifs : formés des entiers naturels et de leurs opposés, et leur ensemble est noté ℤ.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des entiers relatifs contient notamment les nombres …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ….

💡 Astuce mémo

ℕ contient les naturels ; ℤ ajoute leurs opposés

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que $a = kb$ ; dans ce cas, b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a.

Compléments

• 12 est un multiple de 3 car $12 = 4 \times 3$ avec 4 entier, et 5 est un diviseur de 100 car $100 = 20 \times 5$ avec 20 entier.

• 17 n’est pas un multiple de 2, car l’égalité $17 = 2k$ imposerait $k = 8{,}5$, qui n’est pas un entier.

💡 Astuce mémo

Écrire a = kb avec k entier entraîne la relation multiple-diviseur

📖 3. Nombres pairs et impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un nombre pair est un entier multiple de 2 et s’écrit sous la forme $2k$, avec k entier.
• Nombre impair : Un nombre impair est un entier non multiple de 2 et s’écrit sous la forme $2k + 1$, avec k entier.

📝 Points essentiels

• Pour montrer que le carré d’un nombre impair est impair, on écrit le nombre sous la forme $a = 2k + 1$, on développe $a^2 = 4k^2 + 4k + 1$, puis on factorise pour obtenir $a^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.

💡 Astuce mémo

Pair : 2k ; impair : 2k + 1

📖 4. Factorisation et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Un entier naturel n est factorisable s’il existe des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 dont le produit vaut n.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun supérieur ou égal à 2.

★ À maîtriser

• Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre supérieur ou égal à 2, par exemple $\frac{90}{120} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Compléments

• 30 peut être factorisé sous les formes 6 × 5, 3 × 10 ou 2 × 3 × 5, tandis que 29 ne peut pas être factorisé.

💡 Astuce mémo

Factoriser, simplifier, puis vérifier l’irréductibilité

📊 Tableaux de synthèse

Nombres pairs et impairs