QCM : Arithmétique, matrices et déterminants (59 questions)

Explication

Un ensemble est une collection d’objets bien déterminés, et chaque objet y est considéré comme unique. Une liste ordonnée ou une collection comportant des répétitions ne correspond pas à cette définition.

Explication

L’inclusion $E \subset F$ signifie que chaque élément de $E$ est également un élément de $F$. Elle n’impose pas que tous les éléments de $F$ appartiennent à $E$, condition nécessaire pour conclure à l’égalité.

Explication

Un ensemble de $n$ éléments possède $2^n$ parties, donc ici $2^5=32$. Le nombre d’éléments de l’ensemble initial ne doit pas être multiplié ou élevé au carré.

Explication

La différence $E\setminus F$ contient les éléments de $E$ qui n’appartiennent pas à $F$, soit $1$ et $2$. Les éléments $3$ et $4$ sont communs aux deux ensembles et sont donc exclus de cette différence.

Explication

Une application de $A$ vers $B$ associe à chaque élément de $A$ une valeur unique et bien déterminée dans $B$. Le fait que chaque élément de $B$ possède une image ou un antécédent relève de propriétés supplémentaires, comme la surjectivité.

Explication

L’égalité de deux applications exige l’égalité de leurs ensembles de départ et d’arrivée, ainsi que l’égalité de leurs valeurs en chaque élément du départ. Des valeurs identiques sur une partie commune ne suffisent pas si les ensembles associés diffèrent.

Explication

L’injectivité interdit que deux éléments distincts de $E$ aient la même image, ce qui revient à dire qu’un élément de $F$ possède au plus un antécédent. La présence d’au moins un antécédent pour chaque élément de $F$ caractérise la surjectivité.

Explication

Une bijection est à la fois injective et surjective : chaque élément de $F$ possède donc au moins un antécédent et au plus un antécédent, c’est-à-dire exactement un. La seule borne « au plus un » décrit l’injectivité sans garantir l’existence d’un antécédent.

Explication

La notation $a\mid b$ signifie qu’il existe un entier $k$ tel que $b=ka$ ; dans ce cas, $a$ est un diviseur de $b$ et $b$ est un multiple de $a$. L’égalité inversée décrirait la relation opposée.

Explication

Un entier est divisible par $5$ lorsque son chiffre des unités vaut $0$ ou $5$, et il est divisible par $2$ lorsque ce chiffre est pair. Le nombre $135$ se termine par $5$, tandis que $240$ est également divisible par $2$.

Explication

La division euclidienne vérifie $47=6\times7+5$ avec $0\leq5<6$, donc le quotient vaut $7$ et le reste vaut $5$. Les autres couples ne respectent pas simultanément l’égalité ou la contrainte imposée au reste.

Explication

Un entier $a$ est divisible par $b$ si et seulement si l’écriture $a=bq+r$ possède un reste $r=0$. Le reste inférieur à $b$ est une propriété de toute division euclidienne et ne suffit donc pas à établir la divisibilité.

Explication

Le PGCD est le plus grand diviseur qui divise simultanément les deux entiers, et sa valeur est nulle lorsque les deux entiers sont nuls. Le PPCM concerne au contraire les multiples communs et ne correspond donc pas à cette définition.

Explication

Le PPCM de deux entiers non nuls est leur plus petit multiple commun strictement positif, tandis que la présence d’un zéro lui donne la valeur 0. L’affirmation selon laquelle il serait indéfini oublie cette convention.

Explication

L’algorithme d’Euclide remplace chaque couple par le diviseur et le reste de la division euclidienne, puis le dernier reste non nul est le PGCD. La recherche de multiples communs relève du PPCM, pas de cet algorithme.

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux si une combinaison entière de ces deux nombres donne 1, c’est-à-dire si $1=au+bv$ pour certains entiers u et v. Une combinaison donnant 0 existe pour de nombreux couples et ne caractérise donc pas cette propriété.

Explication

La congruence modulo n signifie que n divise la différence $a-b$. Elle n’impose pas que cette différence soit nulle, condition qui correspondrait à l’égalité a=b.

Explication

Deux entiers sont congrus modulo n si et seulement si ils ont le même reste dans la division euclidienne par n. Des quotients égaux ou une somme divisible par n ne constituent pas le critère général de congruence.

Explication

La congruence modulo n est compatible avec l’addition, la multiplication et les puissances entières naturelles. La division ne préserve pas automatiquement une congruence, car elle peut nécessiter des conditions sur l’inversibilité du diviseur.

Explication

L’équation linéaire diophantienne admet des solutions entières si et seulement si le PGCD de a et b divise c. Le fait que c soit premier avec d ou plus grand que d ne garantit pas cette divisibilité.

Explication

Une équation diophantienne est une équation pour laquelle on cherche des solutions en nombres entiers. Les coefficients ne doivent pas être premiers, et la comparaison de restes décrit une congruence plutôt qu’une équation diophantienne.

Explication

Les solutions s’obtiennent en faisant varier un entier k selon $x=x_0+\frac{b}{d}k$ et $y=y_0-\frac{a}{d}k$. Les coefficients doivent être divisés par le PGCD, et k peut prendre toute valeur entière, y compris les valeurs négatives.

Explication

La congruence possède des solutions si et seulement si le PGCD de a et n divise b. La divisibilité inverse ou la divisibilité automatique du produit ne sont pas les critères d’existence des solutions.

Explication

Les solutions modulo 24 sont regroupées dans les trois classes représentées par 6, 14 et 22, chacune augmentée d’un multiple entier de 24. Les autres ensembles utilisent des représentants qui ne satisfont pas la congruence ou une période incorrecte.

Explication

Le théorème chinois des restes s’applique lorsque les modules sont deux à deux premiers entre eux et fournit alors une classe de solutions modulo leur produit. Des modules quelconques ne permettent pas cette conclusion générale.

Explication

Toutes les solutions diffèrent d’un multiple du produit des modules deux à deux premiers entre eux, d’où $z=z_0+N_1\cdots N_k\mathbb Z$. La solution particulière et la période générale jouent donc des rôles distincts.

Explication

La classe de $a$ est inversible modulo $15$ si et seulement si $a$ et $15$ sont premiers entre eux. Être non nul ou inférieur au module ne suffit pas, car certains éléments non nuls possèdent un diviseur commun avec $15$.

Explication

L’anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. Pour un module composé, il existe des classes non nulles non inversibles, ce qui empêche la structure d’être un corps.

Explication

Par définition, $\varphi(n)$ compte les entiers compris entre $1$ et $n-1$ qui sont premiers avec $n$. Elle ne compte donc ni tous les entiers non nuls ni seulement les nombres premiers.

Explication

La formule d’Euler est $\varphi(n)=n\prod_i\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$, où le produit porte sur les facteurs premiers distincts. Les exposants interviennent dans la valeur de $n$, mais pas dans les facteurs du produit.

Explication

Le théorème d’Euler exige que $a$ soit premier avec $n$, avec $n\ge2$, afin que la classe de $a$ soit inversible modulo $n$. La congruence ne s’étend pas à tout entier $a$ sans cette condition.

Explication

Lorsque $p$ est premier et ne divise pas $a$, le petit théorème de Fermat donne $a^{p-1}\equiv1\pmod p$, ce qui équivaut à $a^p\equiv a\pmod p$. Le module doit être premier, contrairement au cadre plus général du théorème d’Euler.

Explication

La génération de RSA repose sur deux nombres premiers distincts, le calcul de n et de la fonction indicatrice d'Euler, puis le choix de e et la détermination de son inverse d modulo $\varphi(n)$. La dernière proposition confond les modules utilisés et impose à tort $e=\varphi(n)$.

Explication

RSA publie n et e, alors que d, p, q et $\varphi(n)$ doivent être protégés. La proposition fondée sur $(n,d)$ inverse notamment le rôle de e et de d.

Explication

L'exposant public e intervient dans le chiffrement, tandis que l'exposant privé d intervient dans le déchiffrement, tous deux modulo n. La deuxième proposition échange précisément les rôles de e et de d.

Explication

Dans la notation $a_{ij}$, le premier indice i désigne la ligne et le second indice j désigne la colonne. La confusion classique consiste à inverser ces deux rôles.

Explication

L'égalité matricielle exige la coïncidence de chaque coefficient placé aux mêmes coordonnées. Des dimensions identiques indiquent seulement que la comparaison est possible, sans garantir l'égalité.

Explication

Ces deux opérations se font coefficient par coefficient : on additionne les coefficients correspondants et on multiplie chaque coefficient par le scalaire. La deuxième proposition remplace à tort l'addition par une multiplication et l'homothétie par une addition.

Explication

La compatibilité du produit exige que les dimensions internes coïncident : les colonnes de A doivent correspondre aux lignes de B. Chaque coefficient est ensuite une somme de produits reliant la ligne i de A à la colonne j de B.

Explication

Le rang r est caractérisé par la présence du bloc identité $I_r$ dans la forme échelonnée réduite, ce qui revient à compter les pivots. Les dimensions donnent la taille de la matrice, mais ne déterminent pas à elles seules son rang.

Explication

L'équivalence de deux matrices est caractérisée par l'égalité de leurs rangs. La condition de même trace relève d'une autre comparaison entre matrices carrées et ne définit pas l'équivalence.

Explication

L'inversibilité signifie qu'une même matrice B est inverse à gauche et à droite de A, de sorte que les deux produits valent $I_n$. Le fait d'être carrée est nécessaire pour cette définition, mais il ne suffit pas à garantir l'existence d'un inverse.

Explication

Pour une matrice carrée d'ordre deux, le déterminant est le produit de la diagonale principale moins le produit de l'autre diagonale. La dernière proposition conserve les deux produits mais remplace à tort la soustraction par une addition.

Explication

Le cofacteur est obtenu en multipliant le mineur par le signe $(-1)^{i+j}$. Le mineur correspond au déterminant extrait, sans ce facteur de signe.

Explication

Le terme associé à $a_{12}$ est précédé d’un signe négatif dans le développement selon la première ligne. Les termes associés à $a_{11}$ et $a_{13}$ portent, eux, un signe positif.

Explication

Toute ligne ou toute colonne peut servir au développement, en additionnant les produits de chaque élément par son cofacteur. La ligne choisie n’a donc pas besoin d’être la première.

Explication

Les zéros annulent les produits correspondants et réduisent le nombre de calculs. La taille des éléments ou leur position par rapport à la diagonale ne constitue pas le critère principal.

Explication

Le déterminant transforme le produit matriciel en produit des déterminants. La relation analogue avec une somme, comme $\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$, n’est pas une règle générale.

Explication

La multiplication de toute la matrice par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ pour chacune des $n$ dimensions, d’où le facteur $\lambda^n$. Le facteur n’est donc pas simplement $\lambda$ lorsque l’ordre dépasse un.

Explication

Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit des éléments de la diagonale. Cette propriété évite un développement général par cofacteurs.

Explication

Une opération consistant à ajouter à une ligne une combinaison des autres lignes conserve le déterminant, et la même propriété vaut pour les colonnes. Elle ne doit pas être confondue avec une permutation de lignes, qui change le signe.

Explication

Une matrice est inversible lorsqu’elle possède une matrice inverse $B$ vérifiant simultanément $AB=BA=I_n$. La présence d’une ligne nulle empêche au contraire l’inversibilité.

Explication

L’inversion d’un produit renverse l’ordre des facteurs, ce qui donne $B^{-1}A^{-1}$. Conserver l’ordre conduirait généralement à un produit différent, car les matrices ne commutent pas nécessairement.

Explication

La comatrice est définie par $\operatorname{com}(A)=(C_{ij})$, où chaque entrée est un cofacteur. La matrice adjointe correspond ensuite à la transposée de cette comatrice.

Explication

Une matrice carrée d’ordre $n$ a le rang maximal $n$ si et seulement si son déterminant est non nul. Un déterminant nul signale au contraire une perte de rang et l’absence d’inversibilité.

Explication

Un système linéaire s’écrit matriciellement $AX=B$, avec une matrice des coefficients, un vecteur d’inconnues et un vecteur de seconds membres. L’écriture $AB=X$ inverse le rôle des inconnues et des seconds membres.

Explication

La matrice augmentée est formée en accolant la colonne $B$ à la matrice des coefficients $A$. Elle se distingue donc de $A$ seule, qui ne contient pas cette colonne des seconds membres.

Explication

Ajouter un multiple d’une ligne à une autre fait partie des opérations élémentaires qui préservent l’ensemble des solutions; les multiplications par une constante non nulle et les permutations de lignes ont aussi cette propriété. Une modification arbitraire d’une équation peut changer le système et ses solutions.

Explication

Le critère de compatibilité est l’égalité des rangs, soit $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(M)$. Un rang strictement inférieur pour $A$ indique au contraire une incompatibilité lorsque le rang de la matrice augmentée est plus grand.