Fiche de révision : Barycentre et produit scalaire

📋 Plan du Cours

1. Définition et existence du barycentre
2. Propriétés du barycentre
3. Définitions du produit scalaire
4. Orthogonalité et théorème d’Al-Kashi
5. Applications métriques du barycentre

📖 1. Définition et existence du barycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : L’unique point vérifiant $\alpha_1\vec{GA_1}+\dots+\alpha_n\vec{GA_n}=\vec{0}$.

📝 Points essentiels

📌 Le barycentre d’un système de points pondérés existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle, c’est-à-dire $\sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0$.

💡 Astuce mémo

Somme des coefficients non nulle → barycentre unique

📖 2. Propriétés du barycentre

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout point $M$, la somme vectorielle vérifie $\alpha_1\vec{MA_1}+\dots+\alpha_n\vec{MA_n}=\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)\vec{MG}$.

📐 Formule — Si les points $A_i$ ont pour coordonnées $(x_i,y_i)$, alors les coordonnées du barycentre sont $x_G=\frac{\sum\alpha_i x_i}{\sum\alpha_i},\quad y_G=\frac{\sum\alpha_i y_i}{\sum\alpha_i}$.

Compléments

📌 Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne modifie pas le barycentre.

• L’associativité permet de remplacer un sous-ensemble de points par son barycentre partiel affecté de la somme de ses coefficients.

💡 Astuce mémo

Réduire, homogénéiser, associer, coordonner

📖 3. Définitions du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Une opération qui renvoie un nombre réel et mesure notamment l’orthogonalité et les projections.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux vecteurs $[0m\vec{u}$ et $\vec{v}$ faisant un angle $\theta$, $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\theta)$.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x,y)$ et $\vec{v}(x',y')$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.

Compléments

📐 Formule — Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}$.

💡 Astuce mémo

Angle, projection ou coordonnées : trois accès au même scalaire

📖 4. Orthogonalité et théorème d’Al-Kashi

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, sauf que le produit scalaire est aussi nul lorsqu’un des vecteurs est nul.

📐 Formule — Le carré scalaire d’un vecteur vérifie $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$.

📐 Formule — Dans un triangle $ABC$, le théorème d’Al-Kashi donne $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos(\widehat{A})$.

📖 5. Applications métriques du barycentre

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le théorème de Leibniz affirme que, si $G$ est le barycentre de $(A_i,\alpha_i)$, alors $\sum_{i=1}^n\alpha_iMA_i^2=\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)MG^2+\sum_{i=1}^n\alpha_iGA_i^2$.

• Pour déterminer le lieu des points $M$ vérifiant $\alpha MA^2+\beta MB^2=k$, on détermine le barycentre $G$, on réduit l’expression en $(\alpha+\beta)MG^2+\alpha GA^2+\beta GB^2=k$, puis on identifie le lieu géométrique.

📐 Formule — Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$ et $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^2-\frac{AB^2}{4}$.

• L’ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

💡 Astuce mémo

Réduire les carrés des distances → identifier un lieu géométrique

📊 Tableaux de synthèse

Formes du produit scalaire