Barycentre et produit scalaire

📋 Plan du Cours

1. Définition et existence du barycentre
2. Propriétés du barycentre
3. Définitions du produit scalaire
4. Orthogonalité et théorème d’Al-Kashi
5. Applications métriques du barycentre

📖 1. Définition et existence du barycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : L’unique point vérifiant $\alpha_1\vec{GA_1}+\dots+\alpha_n\vec{GA_n}=\vec{0}$.

📝 Points essentiels

📌 Le barycentre d’un système de points pondérés existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle, c’est-à-dire $\sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0$.

💡 Astuce mémo

Somme des coefficients non nulle → barycentre unique

📖 2. Propriétés du barycentre

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout point $M$, la somme vectorielle vérifie $\alpha_1\vec{MA_1}+\dots+\alpha_n\vec{MA_n}=\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right)\vec{MG}$.

📐 Formule — Si les points $A_i$ ont pour coordonnées $(x_i,y_i)$, alors les coordonnées du barycentre sont $x_G=\frac{\sum\alpha_i x_i}{\sum\alpha_i},\quad y_G=\frac{\sum\alpha_i y_i}{\sum\alpha_i}$.

Compléments

📌 Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne modifie pas le barycentre.