Fiche de révision : Bobine et dipôle RL

📋 Plan du Cours

1. Induction électromagnétique et loi de Lenz
2. Auto-induction et propriétés de la bobine
3. Établissement du courant dans un dipôle RL
4. Constante de temps et régime permanent
5. Mesure graphique de la constante de temps
6. Rupture du courant dans un dipôle RL

📖 1. Induction électromagnétique et loi de Lenz

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction électromagnétique : Apparition d’un courant induit dans une bobine en circuit fermé lorsque le champ magnétique en son intérieur varie.

★ À maîtriser

📌 Selon la loi de Lenz, le courant induit a un sens tel que ses effets s’opposent à la cause qui lui a donné naissance.

Compléments

📌 L’inducteur crée le champ magnétique, tandis que l’induit est la bobine où circule le courant induit.

• Le sens du courant induit dépend de la variation du champ magnétique dans la bobine, tandis que son intensité dépend de la durée de cette variation.

💡 Astuce mémo

Inducteur : crée le champ ; induit : reçoit le courant induit.

📖 2. Auto-induction et propriétés de la bobine

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction électromagnétique : Phénomène par lequel une bobine parcourue par un courant variable, jouant à la fois le rôle d’inducteur et d’induit, crée un champ magnétique variable qui fait apparaître un courant induit en son sein.

★ À maîtriser

📌 Par la création d’un courant d’auto-induction, la bobine s’oppose à toute variation de l’intensité du courant qui la traverse.

📐 Formule - La force électromotrice d’auto-induction vérifie $e=-L\frac{di}{dt}$.

Compléments

• Une bobine est caractérisée par sa résistance interne r, exprimée en ohms (Ω), et son inductance L, exprimée en henrys (H).

📐 Formule - La tension aux bornes de la bobine vérifie $u_{\mathrm{bob}}=L\frac{di}{dt}+ri$.

• Pour un courant constant I, la bobine vérifie $u_{\mathrm{bob}}=rI$ et se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

📐 Formule - Pour une bobine purement inductive, où r=0, la tension vérifie $u_{\mathrm{bob}}=L\frac{di}{dt}$.

📐 Formule - L’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine vérifie $\mathcal{E}_L=\frac{1}{2}Li^2$.

💡 Astuce mémo

Courant variable → champ variable → courant d’auto-induction opposé à la variation.

📖 3. Établissement du courant dans un dipôle RL

★ À maîtriser

📌 Lors de l’établissement du courant dans un dipôle RL soumis à un échelon de tension, le régime transitoire correspond à une intensité qui augmente progressivement, puis le régime permanent correspond à une intensité constante égale à I_p.

📐 Formule - La loi des mailles lors de l’établissement donne $L\frac{di}{dt}+(R+r)i=E$.

📐 Formule - La constante de temps du dipôle RL est $\tau=\frac{L}{R+r}$.

Compléments

📐 Formule - L’équation différentielle en fonction de la tension aux bornes de R est $L\frac{du_R}{dt}+(R+r)u_R=ER$.

📐 Formule - L’équation différentielle en fonction de la tension de la bobine est $\frac{L}{R}\frac{du_B}{dt}+\frac{R+r}{R}u_B=\frac{r}{R}E$.

📖 4. Constante de temps et régime permanent

★ À maîtriser

📐 Formule - Le courant lors de l’établissement vaut $i(t)=I_p\left(1-e^{-t/\tau}\right)$, avec $I_p=\frac{E}{R+r}$.

Compléments

• La constante de temps τ est homogène à une durée, car son unité est la seconde.

• À t=0, le courant i et la tension u_R sont nuls, tandis que u_B=E.

• À t=τ, le courant et u_R atteignent 0,63 de leurs valeurs permanentes respectives.

• À t=5τ, le courant et u_R atteignent leur valeur permanente I_p et U_Rp.

📐 Formule - La tension permanente aux bornes de la bobine vaut $U_{Bp}=rI_p$, et celle aux bornes de R vaut $U_{Rp}=RI_p$.

📖 5. Mesure graphique de la constante de temps

★ À maîtriser

• La constante de temps τ se détermine graphiquement comme l’abscisse de l’intersection de la tangente à la courbe i=f(t) en t=0 avec l’asymptote i=I_p.

Compléments

• Pour la courbe u_B=g(t), τ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente initiale avec l’asymptote u_B=U_{Bp}=rI_p.

📐 Formule - La tangente initiale à la courbe u_B(t) a pour équation $u=-\frac{ER}{L}t+E$.

💡 Astuce mémo

La tangente initiale rejoint l’asymptote à l’abscisse τ.

📖 6. Rupture du courant dans un dipôle RL

★ À maîtriser

• À l’ouverture de l’interrupteur, le champ magnétique de la bobine décroît et le courant d’auto-induction, de même sens que le courant fourni par le générateur, retarde la diminution du courant dans le dipôle RL.

📐 Formule - Lors de la rupture du courant, l’équation différentielle est $L\frac{di}{dt}+(R+r)i=0$.

📐 Formule - Lors de la rupture, le courant décroît selon $i(t)=I_p e^{-t/\tau}$, avec $I_p=\frac{E}{R+r}$.

Compléments

📐 Formule - Lors de la rupture, la tension aux bornes de R vérifie $L\frac{du_R}{dt}+(R+r)u_R=0$, et celle de la bobine vérifie $L\frac{du_B}{dt}+(R+r)u_B=0$.

• À t=τ lors de la rupture, le courant et u_R valent 0,37 de leurs valeurs initiales, tandis que u_B vaut −0,37 de la valeur initiale de u_R.

• À t=5τ lors de la rupture, le courant et les tensions u_R et u_B sont nuls.

💡 Astuce mémo

Ouverture → courant d’auto-induction de même sens → diminution retardée.