Fiche de révision : Statistique descriptive et séries

📋 Plan du Cours

1. Démarche et notions statistiques
2. Variables et modalités
3. Typologie des variables
4. Séries et distributions statistiques
5. Effectifs et fréquences cumulées
6. Variables quantitatives continues
7. Représentations graphiques statistiques

📖 1. Démarche et notions statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Ensemble de méthodes scientifiques permettant de décrire et d’analyser de façon quantifiée des phénomènes repérés par des éléments nombreux, de même nature, dénombrables et classables.
• Statistique descriptive : Regroupe les méthodes qui recueillent, ordonnent, réduisent et condensent les données à l’aide de paramètres ou synthétiseurs, de graphiques et de méthodes d’analyse des données.
• Statistique inférentielle : Permet de faire des prévisions et des interpolations sur une population à partir des résultats recueillis sur un échantillon, en s’appuyant sur des modèles théoriques.

★ À maîtriser

📌 La statistique désigne la science et ses méthodes, tandis qu’une statistique désigne un ensemble de données chiffrées sur un sujet précis.

• 🔄 La démarche statistique comprend les étapes suivantes :
  1. Collecte des données
  2. Statistique descriptive
  3. Statistique inférentielle
  4. Conclusion et prise de décisions

Compléments

• Les premières statistiques correctement élaborées ont été celles des recensements démographiques.

💡 Astuce mémo

Décrire résume l’échantillon ; inférer généralise à la population.

📖 2. Variables et modalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des unités statistiques étudiées, qui peuvent être des individus, des entreprises ou des ménages.
• Caractère : Un caractère, ou variable, est un attribut mesuré sur une unité statistique, comme le chiffre d’affaires d’une entreprise, le revenu d’un ménage, l’âge d’une personne ou sa catégorie professionnelle.
• Modalité : État possible d’un caractère ou valeur possible d’une variable.
• Individu : Élément de la population statistique étudiée.
• Unité statistique : Élément observé de la population, par exemple un individu, une entreprise ou un ménage.
• Domaine d’une variable : Le domaine d’une variable est l’ensemble de ses valeurs ou modalités possibles ; celui de la variable sexe codée est {M, F}.

📝 Points essentiels

• Une variable prend une seule valeur sur chaque unité statistique et est souvent désignée par une lettre telle que X, Y ou Z.

📖 3. Typologie des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable qualitative : Caractère dont les modalités sont constatées ou repérables sans être mesurables.

★ À maîtriser

📌 Une variable qualitative nominale a des modalités non ordonnées, tandis qu’une variable qualitative ordinale a des modalités ordonnées et hiérarchisées.

📌 Une variable quantitative a des valeurs numériques mesurables ; une variable discrète prend certaines valeurs isolées, généralement issues d’un comptage, tandis qu’une variable continue peut théoriquement prendre un nombre infini de valeurs et résulte généralement d’une mesure.

Compléments

• Un caractère qualitatif nominal est dichotomique lorsqu’il ne peut prendre que deux modalités ; les exemples cités incluent la couleur du pelage, les groupes sanguins, les nucléotides de l’ADN et la présence ou l’absence d’un caractère.

• Le stade d’une maladie est un exemple de variable qualitative ordinale, car ses modalités traduisent un degré sans que celui-ci soit défini par une mesure numérique.

• Les exemples de variables quantitatives cités sont :

  • Nombre d’enfants par famille : variable discrète
  • Poids : variable continue
  • Taille : variable continue
  • Taux de glycémie : variable continue
  • Rendement : variable continue

• Le nombre de valeurs possibles dépend de la précision de mesure, et une variable discrète pouvant prendre un grand nombre de valeurs, comme le nombre de globules blancs ou rouges par millilitre de sang, peut être considérée comme continue.

• L’ordre des catégories socioprofessionnelles peut être admis pour « ouvriers », « employés » et « cadres », mais devient plus discutable si l’on ajoute « sans profession », « enseignant » et « artisan ».

💡 Astuce mémo

Nominale sans ordre, ordinale hiérarchisée ; discrète dénombrée, continue mesurée.

📖 4. Séries et distributions statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique : Suite des valeurs prises par une variable X sur les unités d’observation.

📝 Points essentiels

• Le nombre d’unités d’observation d’une série statistique est noté n.

• Une série statistique à une dimension porte sur un seul caractère X, dont les valeurs sont notées x₁, …, xᵢ, …, xₙ.

• Dans l’exemple de l’état civil observé chez 20 personnes, les modalités sont célibataire (C), marié(e) (M), veuf(ve) (V) et divorcé(e) (D), et la taille de la série est n = 20.

📖 5. Effectifs et fréquences cumulées

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Nombre de fois que cette modalité apparaît dans une série statistique ; on l’appelle parfois fréquence absolue.

★ À maîtriser

📐 Formule - La fréquence de la modalité xᵢ est $f_i = \frac{n_i}{n}$, soit son effectif divisé par le nombre d’unités d’observation.

• La somme des fréquences d’une distribution est égale à 1, et une fréquence exprimée en pour cent vaut 100 fois la fréquence correspondante.

• Pour une variable quantitative discrète, on peut calculer les effectifs, les effectifs cumulés, les fréquences et les fréquences cumulées sans transformer les données.

Compléments

• Les fréquences facilitent la comparaison de distributions issues de séries de tailles différentes ; les effectifs sont plutôt utilisés lorsque l’effectif total est faible et les pourcentages lorsqu’il est plus important.

• Dans la série d’état civil de 20 personnes, les effectifs sont 9 célibataires, 7 personnes mariées, 2 veuves ou veufs et 2 personnes divorcées, soit des fréquences respectives de 0,45, 0,35, 0,1 et 0,1.

• Pour une variable ordinale, les effectifs cumulés ascendants commencent par N₁ = n₁ et se terminent par Nⱼ = n ; les fréquences cumulées peuvent être calculées dans l’ordre croissant ou décroissant des modalités.

📌 Le cumul ascendant se calcule du haut vers le bas du tableau et augmente à la lecture, tandis que le cumul descendant se calcule du bas vers le haut et diminue à la lecture.

• Les valeurs et effectifs observés sont :

  • 1 : 5 ménages
  • 2 : 9 ménages
  • 3 : 15 ménages
  • 4 : 10 ménages
  • 5 : 6 ménages
  • 6 : 3 ménages
  • 8 : 2 ménages

• Les catégories de diplôme et leurs effectifs respectifs sont :

  • Sans diplôme : 4
  • Primaire : 11
  • Secondaire : 14
  • Supérieur non-universitaire : 9
  • Universitaire : 12

📖 6. Variables quantitatives continues

★ À maîtriser

• Pour établir un tableau de fréquences d’une variable quantitative continue, il faut répartir les données en classes et déterminer le nombre de classes ainsi que l’amplitude de chacune.

📐 Formule - L’amplitude de classe est calculée par $\frac{X_{\max}-X_{\min}}{\text{nombre de classes}}$.

• Dans une classe notée [a-b[, la borne inférieure est incluse et la borne supérieure est exclue ; ainsi, [152-155[ comprend les tailles de 152 cm inclus à moins de 155 cm.

Compléments

• Les classes ont généralement la même amplitude, mais des amplitudes constantes ou variables sont possibles, et chaque classe doit contenir un nombre suffisant de valeurs.

• La règle de Sturge donne le nombre de classes par $1+3{,}3\log(n)$, où $n$ est la taille de l’échantillon.

• À partir de la plus petite valeur, les bornes de classes sont obtenues en ajoutant successivement l’amplitude de classe, et le centre d’une classe est sa borne inférieure augmentée de la moitié de son amplitude.

• Pour les tailles de 50 élèves, la règle de Sturge donne 6,60 classes et la règle de Yule donne 6,64 classes, arrondies à 7 ; l’amplitude calculée de 2,88 cm est arrondie à 3 cm.

• Dans le tableau des tailles des 50 élèves, les classes [152-155[, [155-158[, [158-161[, [161-164[, [164-167[, [167-170[ et [170-173[ ont respectivement les effectifs 8, 10, 10, 5, 6, 6 et 5.

📖 7. Représentations graphiques statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Diagramme de rectangles adjacents, chacun représentant une classe ; l’axe horizontal indique les bornes des classes, la largeur représente l’amplitude et la hauteur représente l’effectif ou la fréquence de la classe.

• Courbe cumulative : Courbe reliant les points dont l’abscisse est la borne supérieure de chaque classe et dont l’ordonnée est l’effectif, la fréquence ou le pourcentage cumulé correspondant.
• Polygone des effectifs : Ligne reliant les points situés au centre de chaque classe, dont l’ordonnée correspond au nombre d’individus de cette classe ; le polygone des fréquences utilise la fréquence ou le pourcentage à l’ordonnée.

★ À maîtriser

• Pour une variable qualitative, le diagramme en bâtons représente chaque modalité par une hauteur correspondant à son effectif ou à sa fréquence, tandis que les diagrammes en secteurs et en blocs représentent les proportions au moyen des fréquences relatives ou des pourcentages.

• Pour une variable quantitative discrète, le diagramme en bâtons représente les effectifs ou fréquences de chaque valeur, tandis que le diagramme cumulatif en escalier représente les effectifs ou fréquences cumulés.

• Une variable quantitative continue se représente par un diagramme en surface, généralement un histogramme ou une courbe cumulative, plutôt que par un diagramme en bâtons.

• Pour des classes d’amplitudes inégales, on calcule leurs amplitudes, on choisit une amplitude de base généralement égale à la plus petite, puis on corrige les effectifs ou fréquences en les divisant par le rapport entre l’amplitude de la classe et l’amplitude de base.

Compléments

• Un graphique statistique doit être compris rapidement, comporter un titre explicite et des axes explicitant les intitulés et les unités, et éviter une surcharge d’informations.

• Les graphiques renseignent rapidement sur l’allure générale d’une distribution et facilitent l’interprétation des données.

• Le diagramme cumulatif d’une variable discrète permet de lire le nombre ou la proportion d’observations inférieures ou égales à une valeur donnée ; ses paliers sont ouverts à gauche et fermés à droite, sauf le dernier.

📌 Lorsque les classes d’un histogramme ont des amplitudes égales, les hauteurs et les surfaces des rectangles sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

📐 Formule - Les valeurs corrigées pour un histogramme à classes inégales sont $n_i'=\frac{n_i}{a_i/a}$ ou $f_i'=\frac{f_i}{a_i/a}$, où $a_i$ est l’amplitude de classe et $a$ l’amplitude de base.

• L’ordonnée d’un point de la courbe cumulative correspond à la surface de l’histogramme située à gauche de l’abscisse de ce point.

📌 Dans une distribution hyperbolique, ou en J renversé, l’effectif ou la fréquence maximale se trouve à une extrémité de l’intervalle, tandis que dans une distribution en U, des maxima se trouvent aux deux extrémités et un minimum dans la région centrale.

• Quand les effectifs augmentent et que l’intervalle de classe diminue, les rectangles adjacents et les côtés de la ligne polygonale se multiplient, et la ligne tend vers une courbe.

📊 Tableaux de synthèse

Graphiques selon le type de variable