Fiche de révision : Ensemble des nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Structure algébrique et ordre réel
2. Intervalles et complétude réelle
3. Densité et dénombrabilité
4. Valeur absolue et partie entière
5. Bornes et extrema des ensembles
6. Existence et caractérisation des bornes

📖 1. Structure algébrique et ordre réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre total : L’ordre usuel ≤ sur ℝ est réflexif, antisymétrique et transitif, compare toute paire de réels, est compatible avec l’addition et vérifie que le produit de deux réels positifs ou nuls est positif ou nul.

★ À maîtriser

• L’ensemble ℝ est un corps commutatif pour l’addition et la multiplication : chaque loi est associative et commutative, 0 et 1 en sont les éléments neutres respectifs, tout réel possède un opposé et tout réel non nul un inverse, et la multiplication est distributive sur l’addition.

Compléments

• Dans ℝ, le produit par zéro est nul, l’opposé d’un produit vérifie −(xy) = (−x)y = x(−y), et xy = 0 équivaut à x = 0 ou y = 0.

• Pour tous réels x et y, x ≤ y équivaut à 0 ≤ y − x, et tout carré réel est positif ou nul.

• Si 0 < x ≤ y, alors 0 < 1/y ≤ 1/x.

📖 2. Intervalles et complétude réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalles réels : Les ensembles définis par des inégalités entre réels comprennent les intervalles fermés [a,b], ouverts ]a,b[, semi-ouverts [a,b[ et ]a,b], ainsi que les intervalles non bornés ]−∞,a[, ]−∞,a], [a,+∞[ et ]a,+∞[.

★ À maîtriser

• La propriété d’Archimède affirme que pour tous x > 0 et y ≥ 0, il existe n ∈ ℕ* tel que y ≤ nx.

• Toute suite décroissante par inclusion d’intervalles fermés bornés de ℝ possède une intersection non vide : si [aₙ₊₁,bₙ₊₁] ⊂ [aₙ,bₙ] pour tout n, il existe ℓ ∈ ℝ tel que aₙ ≤ ℓ ≤ bₙ pour tout n.

Compléments

• Les notations usuelles désignent ℝ+ = {x ∈ ℝ : 0 ≤ x}, ℝ− = {x ∈ ℝ : x ≤ 0} et ℝ* = {x ∈ ℝ : x ≠ 0}.

• ℚ est archimédien mais ne vérifie pas la propriété des segments emboîtés : pour aₙ = ∑ₖ₌₀ⁿ 1/k! et bₙ = aₙ + 1/(n!n), les intervalles rationnels [aₙ,bₙ] sont décroissants et aucun rationnel n’appartient à tous ces intervalles.

💡 Astuce mémo

Les segments emboîtés non vides conduisent à un réel commun.

📖 3. Densité et dénombrabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie dense : Une partie de ℝ est dense dans ℝ si tout intervalle ouvert ]a,b[ contient un élément de D.
• Ensemble dénombrable : Un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre cet ensemble et ℕ.

★ À maîtriser

• ℚ est dense dans ℝ : entre deux réels distincts, il existe une infinité de rationnels.

• ℝ n’est pas dénombrable, et ℝ\ℚ ne l’est pas non plus.

Compléments

• ℝ\ℚ est dense dans ℝ.

• ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables, tout produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable et toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.

💡 Astuce mémo

Entre deux réels, les rationnels sont denses, mais les réels ne sont pas dénombrables.

📖 4. Valeur absolue et partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0.
• Partie entière : La partie entière E(x), aussi notée [x], est l’unique entier p tel que p ≤ x < p + 1.

★ À maîtriser

• Pour tous réels x et y, l’inégalité triangulaire donne |x + y| ≤ |x| + |y|.

Compléments

• Pour x ∈ ℝ et a ≥ 0, |x| ≤ a équivaut à −a ≤ x ≤ a.

• Pour tous réels x et y, ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

• Tout réel x s’écrit de manière unique x = p + r, avec p ∈ ℤ et r ∈ [0,1[.

• Pour tout réel x et tout entier n, E(x+n) = E(x)+n, tandis que E(x+y) n’est généralement pas égal à E(x)+E(y).

• La partie entière est croissante : si x < y, alors E(x) ≤ E(y).

📖 5. Bornes et extrema des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un réel M est un majorant d’une partie A de ℝ si tout x ∈ A vérifie x ≤ M ; A est alors majorée.
• Borne supérieure : La borne supérieure sup A d’une partie non vide A est son plus petit majorant.
• Borne inférieure : La borne inférieure inf A d’une partie non vide A est son plus grand minorant.
• Minorant : Un réel m est un minorant d’une partie A de ℝ si tout x ∈ A vérifie m ≤ x ; A est alors minorée, et elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Si sup A appartient à A, il est le maximum de A ; si inf A appartient à A, il est le minimum de A, alors qu’une borne supérieure ou inférieure peut ne pas appartenir à A.

• Pour A = ]−∞,0[, sup A = 0 mais A n’a pas de maximum ; pour B = ]−∞,√2], sup B = max B = √2 ; pour C = ]1,3], inf C = 1 et sup C = max C = 3 ; pour D = [−2,5[, inf D = min D = −2 et sup D = 5.

💡 Astuce mémo

Une borne peut rester hors de l’ensemble ; un extremum, lui, appartient à l’ensemble.

📖 6. Existence et caractérisation des bornes

★ À maîtriser

📌 Pour une partie non vide A de ℝ, s = sup A équivaut à ce que tout x ∈ A vérifie x ≤ s et que, pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que s − ε < x.

• Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée de ℝ admet une borne inférieure.

Compléments

• Dans ℕ, toute partie non vide possède un plus petit élément et toute partie non vide majorée possède un plus grand élément ; cette propriété équivaut au principe de récurrence.

• La construction de la borne supérieure d’une partie non vide majorée A consiste à former l’ensemble B de ses majorants, construire les ensembles Kₙ = {m ∈ ℤ : m/2ⁿ ∈ B} et leurs plus petits éléments pₙ, puis les intervalles emboîtés [(pₙ − 1)/2ⁿ, pₙ/2ⁿ] ; tout réel s appartenant à leur intersection est sup A.

💡 Astuce mémo

Majorants, intervalles emboîtés, puis borne supérieure.

📊 Tableaux de synthèse

Borne et extremum