★ À maîtriser
Compléments
Dans ℝ, le produit par zéro est nul, l’opposé d’un produit vérifie −(xy) = (−x)y = x(−y), et xy = 0 équivaut à x = 0 ou y = 0.
Pour tous réels x et y, x ≤ y équivaut à 0 ≤ y − x, et tout carré réel est positif ou nul.
Si 0 < x ≤ y, alors 0 < 1/y ≤ 1/x.
1. Pour l’ensemble , lequel des nombres proposés est un majorant de ?
2. Une technicienne additionne deux écarts signés et . Quelle borne l’inégalité triangulaire donne-t-elle pour ?
3. Pour , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?
Quelles propriétés algébriques font de ℝ un corps commutatif ?
Les deux opérations sont associatives et commutatives, possèdent des éléments neutres, des opposés et des inverses non nuls, et la multiplication est distributive sur l’addition.
Quelles propriétés caractérisent l’ordre total usuel sur ℝ ?
Il est réflexif, antisymétrique et transitif, compare toute paire de réels, est compatible avec l’addition et préserve la positivité des produits.
Quelles formes peuvent prendre les intervalles définis par des inégalités entre réels ?
Ils peuvent être fermés, ouverts, semi-ouverts ou non bornés.
Que garantit la propriété d’Archimède pour et ?
Il existe tel que .
Que garantit l’emboîtement d’intervalles fermés bornés décroissants dans ?
Leur intersection est non vide.
Quel nombre appartient à tous les intervalles emboîtés de la propriété des segments emboîtés ?
Un réel tel que pour tout .
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