QCM : Ensemble des nombres réels (15 questions)

Question 1

1. Pour l’ensemble $A=[-3,2[\,\cup\,\{5\}$ , lequel des nombres proposés est un majorant de $A$ ?

0

5

2

4

Explication

Un majorant doit être supérieur ou égal à chaque élément de $A$ ; comme $5\in A$ et que tous les éléments de $A$ sont inférieurs ou égaux à 5, 5 convient. 2 est seulement une borne de l’intervalle initial, 4 ne couvre pas 5 et 0 est un élément de $A$ , pas un majorant.

Answer

$$|x+y|\leq 17$$

Answer

$$C$$ admet une borne inférieure, mais le théorème ne garantit pas de borne supérieure.

Answer

$$]-2,4]$$

Answer

Il existe un réel appartenant à tous les intervalles.

Answer

Il y en a une infinité.

Answer

Il contient au moins un élément de $$D$$.

Answer

Les deux ensembles sont non dénombrables.

Answer

Les deux lois sont associatives et commutatives, avec leurs éléments neutres, des opposés, des inverses non nuls et la distributivité.

Answer

On a $$a\le c$$, et ajouter 7 préserve l’inégalité.

Question 2

2. Une technicienne additionne deux écarts signés $x=7$ et $y=-10$ . Quelle borne l’inégalité triangulaire donne-t-elle pour $|x+y|$ ?

|x+y|\leq 3

|x+y|\geq 17

|x+y|=17

|x+y|\leq 17

Explication

L’inégalité triangulaire donne $|x+y|\leq |x|+|y|=7+10=17$ . La différence des modules vaut $3$ , tandis que le module de la somme vaut $3$ ici; ni l’une ni l’autre ne remplace la borne générale de $17$ .

Question 3

3. Pour $x=-4$ , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

4

0

-4

16

Explication

Pour un réel négatif, la valeur absolue est son opposé : $|-4|=4$ . Conserver le signe donne le nombre initial, le carré donne $16$ , et la valeur absolue n’est pas nulle.

Question 4

4. Une partie non vide $C\subset\mathbb{R}$ est minorée mais n’est pas majorée. Quelle conclusion est garantie ?

C

admet les deux bornes, même sans majorant.

C

admet une borne supérieure, mais le théorème ne garantit pas de borne inférieure.

C

n’admet aucune borne, puisqu’elle n’est pas majorée.

C

admet une borne inférieure, mais le théorème ne garantit pas de borne supérieure.

Explication

Toute partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ admet une borne inférieure ; l’existence d’une borne supérieure est garantie, elle, pour une partie majorée. Affirmer que $C$ est majorée ou que le théorème lui garantit les deux bornes confond les deux hypothèses distinctes.

Question 5

5. Pour $A=]1,4[\,\cup\,\{6\}$ , quelle est la borne supérieure de $A$ ?

7

1

4

6

Explication

La borne supérieure est le plus petit majorant : 6 majore tous les éléments et appartient à $A$ . 4 ne tient pas compte du point 6, 7 est un majorant plus grand que nécessaire et 1 est une borne inférieure possible, non supérieure.

Question 6

6. Un réel $x$ satisfait $-2<x\le4$ . Quelle notation décrit exactement l’ensemble des valeurs possibles de $x$ ?

[-4,2]

]-2,4]

[-2,4]

]-2,4[

Explication

Une borne inférieure exclue et une borne supérieure incluse se notent $]-2,4]$ . La notation avec crochet fermé à gauche inclut à tort −2, celle ouverte à droite exclut à tort 4, et l’intervalle de bornes −4 et 2 inverse les bornes indiquées.

Question 7

7. Quel entier est la partie entière de $-2{,}3$ , c’est-à-dire l’unique entier $p$ tel que $p\leq -2{,}3<p+1$ ?

-2{,}3

-3

-2

-1

Explication

La partie entière doit être le plus grand entier inférieur ou égal au réel : $-3\leq -2{,}3<-2$ , donc elle vaut $-3$ . L’arrondi ou la troncature vers zéro conduisent ici à $-2$ , tandis que $-1$ est l’entier supérieur.

Question 8

8. Des intervalles fermés bornés $I_n=[a_n,b_n]$ sont emboîtés, chaque intervalle étant inclus dans le précédent. Que peut-on conclure dans ℝ ?

Les intervalles doivent être disjoints deux à deux.

L’intersection peut être vide malgré les hypothèses.

Il existe un réel appartenant à tous les intervalles.

L’intersection contient au moins deux réels distincts.

Explication

La propriété des segments emboîtés dans ℝ garantit un réel commun à tous les intervalles fermés bornés de la suite décroissante par inclusion. Elle garantit un point, pas nécessairement plusieurs; l’intersection ne peut donc pas être vide sous ces hypothèses, et l’emboîtement n’implique pas que les intervalles soient disjoints.

Question 9

9. Pour $A=] -2,3]$ , quelle est la borne inférieure de $A$ ?

-3

0

3

-2

Explication

La borne inférieure est le plus grand des minorants ; ici, tous les éléments de $A$ sont supérieurs à $-2$ , et aucun nombre plus grand que $-2$ ne les minore tous. 3 est la borne supérieure et 0 est un minorant, mais pas le plus grand.

Question 10

10. Deux réels distincts $a<b$ délimitent un intervalle ouvert. Que peut-on affirmer sur les rationnels situés entre eux ?

Il n’y en a aucun si les bornes sont irrationnelles.

Il y en a une infinité.

Il y en a exactement un.

Il y en a un nombre fini, qui dépend de la longueur de l’intervalle.

Explication

Entre deux réels distincts, il existe une infinité de rationnels, ce qui exprime la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ . Les irrationnels sont une autre catégorie, et la dénombrabilité ne limite pas à un nombre fini les rationnels d’un intervalle.

Question 11

11. Un ensemble $D\subset\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ . Quelle propriété doit vérifier chaque intervalle ouvert $]a,b[$ , où $a<b$ ?

Il contient un élément de

D

uniquement lorsque ses bornes sont rationnelles.

Il contient au moins un élément de

D

.

Il est entièrement inclus dans

D

.

Il contient au moins un élément de

D

seulement s’il contient zéro.

Explication

La densité signifie que tout intervalle ouvert non vide contient un élément de $D$ . L’inclusion entière et les conditions portant sur zéro ou sur des bornes rationnelles ne font pas partie de cette définition.

Question 12

12. Quelle affirmation décrit correctement la dénombrabilité de $\mathbb{R}$ et de son complémentaire $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ?

\mathbb{R}

est dénombrable, mais son complémentaire est non dénombrable.

Les deux ensembles sont dénombrables.

Les deux ensembles sont non dénombrables.

\mathbb{R}

est non dénombrable, mais son complémentaire est dénombrable.

Explication

Les réels ne sont pas dénombrables, et les irrationnels $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ne le sont pas non plus. Le fait que $\mathbb{Q}$ soit dénombrable ne rend pas son complémentaire dénombrable.

Question 13

13. Quelle propriété caractérise la structure de corps commutatif de ℝ pour l’addition et la multiplication ?

Les deux lois sont associatives et commutatives, avec leurs éléments neutres et des opposés, mais sans inverse multiplicatif.

Les deux lois sont associatives et commutatives, avec 0 neutre multiplicatif, 1 neutre additif, des opposés et la distributivité.

Les deux lois sont associatives et commutatives, avec leurs éléments neutres, des opposés, des inverses non nuls et la distributivité.

Les deux lois sont associatives et commutatives, avec leurs éléments neutres et des inverses, mais sans distributivité.

Explication

Dans ℝ, 0 est neutre pour l’addition et 1 pour la multiplication; chaque réel a un opposé, chaque réel non nul un inverse, et la multiplication est distributive. L’option sur les neutres les intervertit, celle qui omet les inverses néglige une propriété du corps, et celle qui nie la distributivité la confond avec une autre loi.

Question 14

14. On sait que $a\le b$ et $b\le c$ , et que $a+7\le b+7$ . Quelle conclusion découle des propriétés de l’ordre usuel sur ℝ ?

On a

a\le c

, mais ajouter 7 renverse l’inégalité.

On a

a=c

, et ajouter 7 préserve l’inégalité.

On a

a<c

, et ajouter 7 préserve l’inégalité.

On a

a\le c

, et ajouter 7 préserve l’inégalité.

Explication

La transitivité donne $a\le c$ , et la compatibilité de l’ordre avec l’addition permet d’ajouter le même réel aux deux membres. Conclure $a=c$ confond transitivité et antisymétrie; renverser l’inégalité contredit la compatibilité; conclure $a<c$ ajoute une stricte inégalité non établie.

Question 15

15. Pour $x=0{,}4$ et $y=3$ , quel entier naturel non nul vérifie le plus petitement possible la conclusion de la propriété d’Archimède, $y\le nx$ ?

n=1

n=7{,}5

n=7

n=8

Explication

Il faut $3\le0{,}4n$ , donc $n\ge7{,}5$ ; le plus petit entier naturel non nul convenable est 8. Choisir 7 arrondit vers le bas et ne satisfait pas l’inégalité, tandis que 1 vient de l’inversion de la relation et que 7,5 n’est pas un entier naturel.

QCM : Ensemble des nombres réels (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour l’ensemble $A=[-3,2[\,\cup\,\{5\}$ , lequel des nombres proposés est un majorant de $A$ ?

2. Une technicienne additionne deux écarts signés $x=7$ et $y=-10$ . Quelle borne l’inégalité triangulaire donne-t-elle pour $|x+y|$ ?

3. Pour $x=-4$ , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

4. Une partie non vide $C\subset\mathbb{R}$ est minorée mais n’est pas majorée. Quelle conclusion est garantie ?

5. Pour $A=]1,4[\,\cup\,\{6\}$ , quelle est la borne supérieure de $A$ ?

6. Un réel $x$ satisfait $-2<x\le4$ . Quelle notation décrit exactement l’ensemble des valeurs possibles de $x$ ?

7. Quel entier est la partie entière de $-2{,}3$ , c’est-à-dire l’unique entier $p$ tel que $p\leq -2{,}3<p+1$ ?

8. Des intervalles fermés bornés $I_n=[a_n,b_n]$ sont emboîtés, chaque intervalle étant inclus dans le précédent. Que peut-on conclure dans ℝ ?

9. Pour $A=] -2,3]$ , quelle est la borne inférieure de $A$ ?

10. Deux réels distincts $a<b$ délimitent un intervalle ouvert. Que peut-on affirmer sur les rationnels situés entre eux ?

11. Un ensemble $D\subset\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ . Quelle propriété doit vérifier chaque intervalle ouvert $]a,b[$ , où $a<b$ ?

12. Quelle affirmation décrit correctement la dénombrabilité de $\mathbb{R}$ et de son complémentaire $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ?

13. Quelle propriété caractérise la structure de corps commutatif de ℝ pour l’addition et la multiplication ?

14. On sait que $a\le b$ et $b\le c$ , et que $a+7\le b+7$ . Quelle conclusion découle des propriétés de l’ordre usuel sur ℝ ?

15. Pour $x=0{,}4$ et $y=3$ , quel entier naturel non nul vérifie le plus petitement possible la conclusion de la propriété d’Archimède, $y\le nx$ ?

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QCM : Ensemble des nombres réels (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour l’ensemble A=[−3,2[ ∪ {5}A=[-3,2[\,\cup\,\{5\}A=[−3,2[∪{5}, lequel des nombres proposés est un majorant de AAA ?

2. Une technicienne additionne deux écarts signés x=7x=7x=7 et y=−10y=-10y=−10. Quelle borne l’inégalité triangulaire donne-t-elle pour ∣x+y∣|x+y|∣x+y∣ ?

3. Pour x=−4x=-4x=−4, quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

4. Une partie non vide C⊂RC\subset\mathbb{R}C⊂R est minorée mais n’est pas majorée. Quelle conclusion est garantie ?

5. Pour A=]1,4[ ∪ {6}A=]1,4[\,\cup\,\{6\}A=]1,4[∪{6}, quelle est la borne supérieure de AAA ?

6. Un réel xxx satisfait −2<x≤4-2<x\le4−2<x≤4. Quelle notation décrit exactement l’ensemble des valeurs possibles de xxx ?

7. Quel entier est la partie entière de −2,3-2{,}3−2,3, c’est-à-dire l’unique entier ppp tel que p≤−2,3<p+1p\leq -2{,}3<p+1p≤−2,3<p+1 ?

8. Des intervalles fermés bornés In=[an,bn]I_n=[a_n,b_n]In​=[an​,bn​] sont emboîtés, chaque intervalle étant inclus dans le précédent. Que peut-on conclure dans ℝ ?

9. Pour A=]−2,3]A=] -2,3]A=]−2,3], quelle est la borne inférieure de AAA ?

10. Deux réels distincts a<ba<ba<b délimitent un intervalle ouvert. Que peut-on affirmer sur les rationnels situés entre eux ?

11. Un ensemble D⊂RD\subset\mathbb{R}D⊂R est dense dans R\mathbb{R}R. Quelle propriété doit vérifier chaque intervalle ouvert ]a,b[]a,b[]a,b[, où a<ba<ba<b ?

12. Quelle affirmation décrit correctement la dénombrabilité de R\mathbb{R}R et de son complémentaire R∖Q\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}R∖Q ?

13. Quelle propriété caractérise la structure de corps commutatif de ℝ pour l’addition et la multiplication ?

14. On sait que a≤ba\le ba≤b et b≤cb\le cb≤c, et que a+7≤b+7a+7\le b+7a+7≤b+7. Quelle conclusion découle des propriétés de l’ordre usuel sur ℝ ?

15. Pour x=0,4x=0{,}4x=0,4 et y=3y=3y=3, quel entier naturel non nul vérifie le plus petitement possible la conclusion de la propriété d’Archimède, y≤nxy\le nxy≤nx ?

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1. Pour l’ensemble $A=[-3,2[\,\cup\,\{5\}$ , lequel des nombres proposés est un majorant de $A$ ?

2. Une technicienne additionne deux écarts signés $x=7$ et $y=-10$ . Quelle borne l’inégalité triangulaire donne-t-elle pour $|x+y|$ ?

3. Pour $x=-4$ , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

4. Une partie non vide $C\subset\mathbb{R}$ est minorée mais n’est pas majorée. Quelle conclusion est garantie ?

5. Pour $A=]1,4[\,\cup\,\{6\}$ , quelle est la borne supérieure de $A$ ?

6. Un réel $x$ satisfait $-2<x\le4$ . Quelle notation décrit exactement l’ensemble des valeurs possibles de $x$ ?

7. Quel entier est la partie entière de $-2{,}3$ , c’est-à-dire l’unique entier $p$ tel que $p\leq -2{,}3<p+1$ ?

8. Des intervalles fermés bornés $I_n=[a_n,b_n]$ sont emboîtés, chaque intervalle étant inclus dans le précédent. Que peut-on conclure dans ℝ ?

9. Pour $A=] -2,3]$ , quelle est la borne inférieure de $A$ ?

10. Deux réels distincts $a<b$ délimitent un intervalle ouvert. Que peut-on affirmer sur les rationnels situés entre eux ?

11. Un ensemble $D\subset\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ . Quelle propriété doit vérifier chaque intervalle ouvert $]a,b[$ , où $a<b$ ?

12. Quelle affirmation décrit correctement la dénombrabilité de $\mathbb{R}$ et de son complémentaire $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ?

14. On sait que $a\le b$ et $b\le c$ , et que $a+7\le b+7$ . Quelle conclusion découle des propriétés de l’ordre usuel sur ℝ ?

15. Pour $x=0{,}4$ et $y=3$ , quel entier naturel non nul vérifie le plus petitement possible la conclusion de la propriété d’Archimède, $y\le nx$ ?