Fiche de révision : Calcul actuariel : intérêts et taux

📋 Plan du Cours

1. Concepts fondamentaux de l’intérêt
2. Unité de temps et taux
3. Intérêt simple
4. Limites de l’intérêt simple
5. Intérêt composé
6. Durées et conventions de calcul
7. Taux équivalents et proportionnels
8. Inflation et applications actuarielles
9. Résolution de problèmes financiers

📖 1. Concepts fondamentaux de l’intérêt

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt : La rémunération versée par la banque en contrepartie du placement d’un capital pendant une durée donnée.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le capital final vérifie $C(t)=C(0)+I(C(0),t)$, où $C(0)$ est le capital initial, $C(t)$ le capital final et $I(C(0),t)$ l’intérêt obtenu.

• Les trois concepts fondamentaux sont:
  • le capital
  • la durée
  • le taux d’intérêt

💡 Astuce mémo

CDT : capital, durée, taux

📖 2. Unité de temps et taux

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’intérêt : Le nombre d’unités monétaires rapportées par une unité de temps choisie.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une période unitaire, le capital final vérifie $C(1)=C(0)(1+r)$.

Compléments

📌 Si l’année est l’unité de temps, un mois correspond à $t=1/12$, tandis que si le mois est l’unité de temps, un an correspond à $t=12$.

💡 Astuce mémo

Année ou mois : la durée et le taux doivent partager la même unité

📖 3. Intérêt simple

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt simple : Un intérêt proportionnel à la durée du placement et calculé sur le capital initial.

★ À maîtriser

📐 Formule — À intérêt simple, l’intérêt et le capital final vérifient respectivement $I(C(0),t)=C(0)rt$ et $C(t)=C(0)(1+rt)$.

Compléments

• Un capital de 100 € placé à 5 % par an à intérêt simple atteint 102 € après 6 mois et 112 € après 3 ans.

💡 Astuce mémo

Une droite : l’intérêt augmente proportionnellement au temps

📖 4. Limites de l’intérêt simple

★ À maîtriser

• Le paradoxe de l’interruption apparaît lorsqu’un placement simple est interrompu puis replacé, car les intérêts déjà acquis deviennent alors inclus dans le nouveau capital productif.

Compléments

• Avec 100 € à 5 % pendant 3 ans, le placement simple continu donne 112 €, tandis que trois placements successifs d’un an donnent environ 112,59 €.

💡 Astuce mémo

Absence d’intérêts sur les intérêts → paradoxe de l’interruption

📖 5. Intérêt composé

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt composé : Le réinvestissement des intérêts progressivement gagnés afin qu’ils produisent eux-mêmes des intérêts.

📝 Points essentiels

📐 Formule — À intérêt composé, le capital final après t périodes vérifie $C(t)=C(0)(1+r)^t$.

📌 Pour une durée inférieure à une unité de temps, l’intérêt simple est supérieur à l’intérêt composé, tandis que pour une durée supérieure à une unité, l’intérêt composé est supérieur.

💡 Astuce mémo

C(0) → C(1) → C(2) → C(3)

📖 6. Durées et conventions de calcul

★ À maîtriser

📐 Formule — La durée exprimée en fraction d’année vérifie $t=\frac{\text{nombre de jours de la durée}}{\text{nombre total de jours dans l’année}}$.

• Les trois conventions sont:
  • exacte
  • 360
  • 365

Compléments

• Pour 10 000 € à 6 % du 15 février 2020 au 30 juin 2020, le capital final vaut 10 222,95 € en exact/exact, 10 223,56 € en exact/365 et 10 225 € en 360/360.

💡 Astuce mémo

Exact, 360 ou 365 : trois conventions pour compter les jours

📖 7. Taux équivalents et proportionnels

★ À maîtriser

📐 Formule — À intérêt simple, le taux fractionné équivalent en m périodes vérifie $r_m=\frac{r}{m}$.

📐 Formule — À intérêt composé, le taux fractionné équivalent vérifie $(1+r_m)^m=1+r$, soit $r_m=(1+r)^{1/m}-1$.

Compléments

📐 Formule — À intérêt composé, le taux fractionné proportionnel est défini par $i_m=\frac{r}{m}$ et vérifie $1+mi_m=(1+r_m)^m$.

• Pour un taux annuel de 6 %, le taux mensuel proportionnel est 0,5 %, tandis que le taux mensuel équivalent composé est environ 0,487 %.

💡 Astuce mémo

Simple : division par m ; composé : racine m-ième

📖 8. Inflation et applications actuarielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’intérêt réel : Le rendement d’un placement après prise en compte de l’inflation, par opposition au taux nominal r.

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec un taux nominal r et un taux d’inflation j, le taux réel vérifie $k=\frac{1+r}{1+j}-1=\frac{r-j}{1+j}$.

Compléments

• Pour un taux nominal de 5 % et une inflation de 2 %, le taux réel est environ 2,95 %.

💡 Astuce mémo

Inflation → érosion monétaire → taux réel

📖 9. Résolution de problèmes financiers

★ À maîtriser

📐 Formule — À intérêt simple, on peut déterminer le capital initial par $C(0)=\frac{C(t)}{1+rt}$, le taux par $r=\frac{C(t)-C(0)}{C(0)t}$ et la durée par $t=\frac{C(t)-C(0)}{C(0)r}$.

📐 Formule — À intérêt composé, on peut déterminer le capital initial par $C(0)=\frac{C(t)}{(1+r)^t}$ et le taux par $r=\left(\frac{C(t)}{C(0)}\right)^{1/t}-1$.

• Pour obtenir 11 000 € en 2 ans à partir de 10 000 €, le taux minimal est de 5 % à intérêt simple et d’environ 4,88 % à intérêt composé.

Compléments

📐 Formule — À intérêt composé, la durée vérifie $t=\frac{\ln(C(t))-ln(C(0))}{\ln(1+r)}$.

📊 Tableaux de synthèse

Intérêt simple et intérêt composé

Taux fractionnés