Fiche de révision : Calcul algébrique

📋 Plan du Cours

1. Sommes, produits et distributivité
2. Identités remarquables
3. Factorisation par facteur commun
4. Factorisation par identités
5. Équations produit nul

📖 1. Sommes, produits et distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : transformer un produit en une somme

★ À maîtriser

• Pour appliquer la simple distributivité, on multiplie le facteur extérieur par chacun des termes de la parenthèse, puis on réduit les termes semblables.

• Pour appliquer la double distributivité, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on réduit les termes semblables.

Compléments

• L’expression $(3x+5)(8x-3)$ se développe et se réduit en $24x^2+31x-15$.

💡 Astuce mémo

Somme = additionner des termes ; produit = multiplier des facteurs.

📖 2. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — La première identité remarquable est $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ pour tous nombres a et b.

📐 Formule — La deuxième identité remarquable est $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ pour tous nombres a et b.

📐 Formule — La troisième identité remarquable est $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ pour tous nombres a et b.

Compléments

• L’expression $5(2x+3)^2$ se développe et se réduit en $20x^2+60x+45$.

• L’expression $(11x-4)^2-x(21x-88)$ se développe et se réduit en $100x^2+16$.

💡 Astuce mémo

C-A-D : carré plus, carré moins, différence de carrés.

📖 3. Factorisation par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : transformer une somme en un produit

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec un facteur commun visible, on identifie le facteur présent dans chaque terme, puis on le place devant une parenthèse contenant les facteurs restants.

Compléments

• L’expression $3{,}5x-4{,}2x^2+2{,}1x^3$ se factorise en $x(3{,}5-4{,}2x+2{,}1x^2)$.

• L’expression $4t-20tx+8t^2$ se factorise en $4t(1-5x+2t)$.

💡 Astuce mémo

Facteur commun repéré → somme transformée en produit.

📖 4. Factorisation par identités

★ À maîtriser

• Pour factoriser à l’aide d’une identité remarquable, on reconnaît d’abord la forme de l’expression, puis on applique l’identité correspondante et on réduit les facteurs obtenus.

• L’expression $25+16x^2-40x$ se factorise en $(5-4x)^2$ grâce à la deuxième identité remarquable.

Compléments

• L’expression $1-(2-5x)^2$ se factorise en $(-1+5x)(3-5x)$ grâce à la troisième identité remarquable.

💡 Astuce mémo

Reconnaître l’identité → appliquer la formule → réduire les facteurs.

📖 5. Équations produit nul

★ À maîtriser

📌 Pour toutes expressions A et B, $A\times B=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

• Pour résoudre une équation produit nul, on factorise ou on met l’équation sous la forme d’un produit nul, on annule chaque facteur séparément, puis on rassemble les solutions.

• L’équation $(5x-2)(4x+1)=(5x-2)(2x+3)$ se transforme en $(5x-2)(2x-2)=0$ et a pour solutions $x=\frac{2}{5}$ ou $x=1$.

Compléments

• L’équation $(2x+3)(-5x+1)=0$ a pour solutions $x=-\frac{3}{2}$ ou $x=\frac{1}{5}$.

💡 Astuce mémo

Produit nul → au moins un facteur nul → solutions.