Transformer un produit en une somme
Explication
Développer consiste à transformer une expression écrite sous forme de produit en une somme, notamment grâce à la distributivité. La transformation inverse, d’une somme vers un produit, correspond à la factorisation.
On multiplie le facteur par chaque terme de la parenthèse, puis on réduit les termes semblables
Explication
La simple distributivité consiste à multiplier le facteur extérieur par chaque terme de la parenthèse avant de réduire les termes semblables. Multiplier les termes de deux parenthèses relèverait de la double distributivité.
$$24x^2+31x-15$$
Explication
La double distributivité donne , soit après réduction. Les autres résultats comportent une erreur de signe ou de coefficient.
$$a^2+2ab+b^2$$
Explication
Le carré d’une somme contient le terme intermédiaire positif , ce qui donne . Le signe négatif devant correspond au carré d’une différence.
Remplacer le terme $$+2ab$$ par $$-2ab$$
Explication
Le carré d’une différence suit la formule , donc le terme intermédiaire est négatif. Le signe positif est celui du carré d’une somme.
$$a^2-b^2$$
Explication
Le produit de la différence et de la somme des mêmes termes est une différence de carrés : . Les expressions contenant correspondent aux carrés d’une somme ou d’une différence.
Transformer une somme en un produit
Explication
Factoriser consiste à réécrire une somme sous forme de produit en mettant en évidence un facteur commun. Transformer un produit en somme correspond au développement.
Repérer le facteur présent dans chaque terme et le placer devant une parenthèse
Explication
On identifie le facteur présent dans chaque terme, puis on le met devant une parenthèse qui contient les facteurs restants. Additionner les coefficients ou conserver les termes initiaux ne produit pas une factorisation correcte.
Reconnaître sa forme, appliquer l’identité adaptée, puis réduire les facteurs obtenus
Explication
La factorisation par identité remarquable consiste à reconnaître la forme de l’expression, à choisir l’identité correspondante et à obtenir une écriture en produit. Le développement suit la démarche inverse, puisqu’il transforme un produit en somme ou en différence.
$$(5-4x)^2$$
Explication
L’expression comporte les carrés et ainsi que le terme double négatif , ce qui correspond au carré d’une différence. Le signe positif devant aurait conduit au carré d’une somme.
Elle équivaut à $$A=0$$ ou $$B=0$$
Explication
Un produit est nul dès qu’au moins un de ses facteurs est nul, d’où l’équivalence avec ou . Les deux facteurs ne doivent donc pas satisfaire simultanément une condition de nullité.
Mettre l’équation sous forme de produit nul, annuler chaque facteur, puis réunir les solutions
Explication
La résolution consiste à obtenir un produit égal à zéro, à résoudre séparément l’équation associée à chaque facteur, puis à rassembler les solutions avec « ou ». Chercher une solution commune aux deux facteurs appliquerait à tort une condition simultanée.
$$x=\frac{2}{5}$$ ou $$x=1$$
Explication
En regroupant les membres, on obtient , donc ou . Ces deux équations donnent respectivement et ; la valeur négative de ne vérifie pas la première équation.
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Qu'est-ce que développer en algèbre ?
Transformer un produit en une somme.
Quelle est la première étape pour appliquer la simple distributivité ?
Multiplier le facteur extérieur par chaque terme de la parenthèse.
Que fait-on après avoir multiplié dans la simple distributivité ?
On réduit les termes semblables.
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