Fiche de révision : Calcul avec les rationnels

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et repérage
2. Opérations sur les nombres relatifs
3. Écritures et transformations fractionnaires
4. Calculs avec les fractions
5. Inverse d’un nombre fractionnaire
6. Division de fractions
7. Applications des fractions

📖 1. Nombres relatifs et repérage

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier relatif : Nombre entier positif ou négatif, et l’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs ℤ.
• Distance à zéro : Distance entre l’origine d’une droite graduée et le point ayant ce nombre pour abscisse ; elle est toujours positive.

★ À maîtriser

📌 Un nombre relatif négatif est toujours inférieur à un nombre relatif positif.

Compléments

📌 Parmi deux nombres relatifs de même signe, le positif dont la distance à zéro est la plus petite est le plus petit, tandis que le négatif dont la distance à zéro est la plus grande est le plus petit.

• Sur une droite graduée, l’abscisse d’un point est le nombre relatif qui permet de le repérer ; elle est négative à gauche de l’origine et positive à droite.

📖 2. Opérations sur les nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres relatifs dont la somme est nulle.

★ À maîtriser

• Pour soustraire deux nombres relatifs, on additionne le premier à l’opposé du second. Pour additionner deux nombres relatifs, le signe du résultat est celui du nombre ayant la plus grande distance à zéro ; on additionne les distances pour deux termes de même signe et on soustrait la plus petite de la plus grande pour des signes contraires. Si les deux termes sont opposés, le résultat est zéro.

📌 Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro ; le produit est positif si les facteurs sont de même signe et négatif s’ils sont de signes contraires.

📌 Dans un produit de plusieurs nombres relatifs, le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

Compléments

• Pour simplifier les signes, −(+a) et +(−a) valent −a, tandis que +(+a) et −(−a) valent +a.

• Pour diviser deux nombres relatifs, on divise leurs distances à zéro ; le quotient est positif si les nombres sont de même signe et négatif s’ils sont de signes contraires.

• Dans un calcul contenant des nombres relatifs, on effectue d’abord les opérations entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

📖 3. Écritures et transformations fractionnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture fractionnaire : L’écriture fractionnaire a/b représente le quotient de a par b, avec b ≠ 0 ; a est le numérateur et b le dénominateur, et (a/b) × b = a.

★ À maîtriser

📌 Une fraction ne change pas si l’on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

📌 Simplifier une fraction consiste à l’écrire avec le plus petit dénominateur entier possible ; une fraction irréductible ne peut plus être réduite ni simplifiée.

Compléments

• La fraction 20/30 se simplifie en 2/3 en divisant son numérateur et son dénominateur par 10.

📌 Une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers est une fraction ; certaines écritures fractionnaires n’ont pas d’écriture décimale exacte et leur quotient s’exprime alors par une valeur approchée.

📖 4. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

• Pour multiplier un nombre par une fraction, on peut multiplier le nombre par le numérateur puis diviser par le dénominateur, ou diviser d’abord le nombre par le dénominateur puis multiplier par le numérateur.

• Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire, on les exprime avec le même dénominateur puis on les ordonne selon leurs numérateurs.

• Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, on les écrit avec le même dénominateur puis on additionne ou soustrait leurs numérateurs.

📌 Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.

Compléments

📌 Si le numérateur d’une fraction est supérieur à son dénominateur, la fraction est supérieure à 1 ; si le numérateur lui est inférieur, la fraction est inférieure à 1.

📖 5. Inverse d’un nombre fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre fractionnaire $\frac{x}{y}$ avec $x\ne0$ et $y\ne0$ admet pour inverse $\frac{y}{x}$.

Compléments

• $\frac{1}{39}$ est l’inverse de 39, car leur produit est égal à 1.

📖 6. Division de fractions

★ À maîtriser

📌 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

📐 Formule - Pour $b\ne0$, $c\ne0$ et $d\ne0$, $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

Compléments

• $\frac{7}{5}\div\frac{3}{8}=\frac{56}{15}$.

• Diviser $\frac{3}{4}$ par 2 revient à calculer $\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$.

📖 7. Applications des fractions

📝 Points essentiels

• Dans un train de 800 passagers, un quart voyage en classe 1, soit 200 passagers, et les 600 autres voyagent en classe 2.

• Les trois huitièmes des 200 passagers de classe 1 qui descendent à Orléans sont 75 passagers, et le sixième des 600 passagers de classe 2 en représente 100.

• Pour un adulte, les fractions de temps consacrées au travail, au sommeil, à la détente et aux repas sont respectivement $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$ et $\frac{3}{32}$; il reste $\frac{5}{32}$ du temps pour le sport.

• Par rapport aux 800 voyageurs, les passagers de classe 1 descendant à Orléans représentent $\frac{3}{32}$ du total et ceux de classe 2 en représentent $\frac{1}{8}$.