Fiche de révision : Fonctions usuelles et polynômes

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et fractions
2. Opérations sur les fractions
3. Fonctions affines et intersections
4. Identités remarquables et inégalités
5. Équations du second degré
6. Inéquations du second degré
7. Intervalles de la droite réelle
8. Valeur absolue et définition des polynômes
9. Polynômes et fonctions rationnelles
10. Fonction racine carrée
11. Fonctions trigonométriques
12. Fonction exponentielle
13. Logarithmes népérien et décimal
14. Règles des exposants entiers et rationnels
15. Notation scientifique et puissances à exposant réel

📖 1. Ensembles de nombres et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction entre deux entiers, avec un dénominateur non nul.
• Nombres réels : Nombres rationnels et nombres irrationnels.
• Entiers naturels : Entiers positifs ou nuls.
• Entiers relatifs : Entiers positifs, négatifs ou nuls.
• Nombres décimaux : Nombres qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Écriture irréductible : Forme d’une fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

📌 Deux écritures fractionnaires $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ représentent la même fraction si et seulement si $ad=bc$.

Compléments

📌 Les nombres irrationnels ne peuvent pas s’écrire comme une fraction entre deux entiers ; √2 et π en sont des exemples.

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$.

Compléments

📐 Formule - La différence de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$.

📐 Formule - Le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule - La division de $\frac{a}{b}$ par $\frac{d}{e}$ vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{d}{e}=\frac{ae}{bd}$.

• Pour des entiers relatifs a, b et k avec b ≠ 0 et k ≠ 0, les écritures $\frac{a}{b}$ et $\frac{ka}{kb}$ représentent la même fraction.

📖 3. Fonctions affines et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=ax+b$, où a et b sont réels.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine $f(x)=ax+b$ est une droite de coefficient directeur a et d’ordonnée à l’origine b.

📌 Pour deux droites $y=a_1x+b_1$ et $y=a_2x+b_2$, si $a_1=a_2$ et $b_1\ne b_2$, elles sont parallèles et n’ont aucun point commun.

• Si deux droites $y=a_1x+b_1$ et $y=a_2x+b_2$ ont des coefficients directeurs différents, elles ont un unique point d’intersection, obtenu en résolvant le système formé par leurs équations.

Compléments

• Dans $f(x)=ax+b$, le coefficient directeur a indique la variation de f(x) lorsque x augmente de 1.

• Dans $f(x)=ax+b$, l’ordonnée à l’origine est $f(0)=b$.

📌 Pour deux droites $y=a_1x+b_1$ et $y=a_2x+b_2$, si $a_1=a_2$ et $b_1=b_2$, elles sont confondues et tous leurs points sont communs.

📖 4. Identités remarquables et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité : Comparaison entre deux nombres, exprimée par exemple par $a\le b$ ou $a<b$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule - Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule - La différence de deux carrés vérifie $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📌 Si $a<b$, ajouter ou soustraire un même réel c aux deux membres conserve le sens de l’inégalité.

Compléments

📌 Si $a<b$ et $c>0$, alors $ac<bc$ et $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$.

📖 5. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Discriminant : Le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Pour l’équation du second degré ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0, le signe du discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de solutions réelles.

• Si Δ > 0, l’équation ax² + bx + c = 0 admet deux solutions réelles distinctes $x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si Δ = 0, l’équation ax² + bx + c = 0 admet une solution réelle double $x = \frac{-b}{2a}$.

Compléments

• Si Δ < 0, l’équation ax² + bx + c = 0 n’admet aucune solution réelle.

• Pour résoudre une équation du second degré, on calcule Δ = b² − 4ac, on étudie son signe, puis on calcule les solutions correspondantes ou on conclut qu’il n’existe pas de solution réelle.

📖 6. Inéquations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Inéquation de la forme ax² + bx + c opérateur 0, avec a, b et c réels, a ≠ 0 et opérateur égal à <, ≤, > ou ≥.

★ À maîtriser

• Si Δ > 0 et si les racines vérifient x₁ < x₂, le trinôme ax² + bx + c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles.

• Si Δ = 0, le trinôme ax² + bx + c est du signe de a sur ℝ, sauf en sa racine double x₀ = −b/(2a), où il s’annule.

• Si Δ < 0, le trinôme ax² + bx + c ne s’annule pas et garde sur ℝ le signe de a.

Compléments

📌 Pour résoudre une inéquation du second degré, on retient les intervalles où le trinôme a le signe demandé et, avec ≤ ou ≥, on inclut les points où il s’annule.

📖 7. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de ℝ : Ensemble de points d’une droite réelle dans lequel on peut relier deux points sans lever son stylo.

📝 Points essentiels

• Les intervalles bornés de bornes a et b sont :

  • [a;b]
  • ]a;b[
  • ]a;b]
  • [a;b[

• Les intervalles non bornés usuels sont :

  • [a;+∞[
  • ]a;+∞[
  • ]−∞;a]
  • ]−∞;a[

• L’ensemble vide ∅ et ℝ sont à la fois ouverts et fermés.

📌 Dans la notation d’un intervalle, le crochet est toujours ouvert au voisinage de +∞ ou de −∞.

📖 8. Valeur absolue et définition des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Valeur x si x ≥ 0 et −x si x < 0.
• Polynôme de degré n : Fonction P définie sur ℝ par P(x) = a₀ + a₁x + ⋯ + aₙxⁿ, où les coefficients a₀, a₁, …, aₙ sont réels et aₙ ≠ 0.

★ À maîtriser

• Pour tout réel x, |x| ≥ 0 et |x| = 0 si et seulement si x = 0.

• Pour tous réels x et y, |x+y| ≤ |x|+|y| ; cette inégalité triangulaire n’est pas toujours une égalité.

Compléments

• Pour tous réels x et y, |xy| = |x||y|, et pour tout réel z ≠ 0, |x/z| = |x|/|z|.

📌 Pour tout réel a ≥ 0, |x| = a équivaut à x = −a ou x = a, tandis que |x| ≤ a équivaut à −a ≤ x ≤ a.

• Pour tout réel a ≥ 0, |x| > a équivaut à x < −a ou x > a.

• Pour tous réels x et r, |x−r| représente la distance entre x et r.

• Dans l’écriture P(x) = a₀ + a₁x + ⋯ + aₙxⁿ d’un polynôme de degré n, aₙ est le coefficient de xⁿ et doit être non nul.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, |x-r| est la longueur du segment entre x et r.

📖 9. Polynômes et fonctions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de degré n : Un polynôme de degré n est une fonction définie par $P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$, où les coefficients sont réels et $a_n\ne 0$.
• Fonction rationnelle : Quotient de deux polynômes.

★ À maîtriser

📌 Un polynôme ne contient que des termes de la forme $a_i x^i$ avec $i\in\mathbb{N}$, tandis qu’un quotient de polynômes peut contenir des puissances négatives après simplification.

Compléments

• Dans $P_1(x)=5x^4+\frac35x^2+2$, le degré est 4 et les coefficients sont $a_4=5$, $a_3=0$, $a_2=\frac35$, $a_1=0$ et $a_0=2$.

• Dans $P_2(x)=6-\frac{x^{100}}{23}+\frac{x^2}{7}$, le degré est 100, $a_{100}=-\frac1{23}$, $a_i=0$ pour $3\le i\le99$, $a_2=\frac17$, $a_1=0$ et $a_0=6$.

• Les fonctions $-\frac2x+3+x^2$, $3e^x+2+x$ et $x^2+\sqrt{x}$ ne sont pas des polynômes, car elles comportent respectivement $x^{-1}$, $e^x$ et $x^{1/2}$.

• La fonction $-\frac2x+3+x^2$ est rationnelle, car elle peut s’écrire $\frac{-2+3x+x^3}{x}$.

💡 Astuce mémo

Polynôme : puissances entières positives ; rationnelle : quotient de polynômes.

📖 10. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est définie sur $\mathbb{R}_+$ par $x\mapsto\sqrt{x}$, où $\sqrt{x}$ est le réel positif ou nul dont le carré vaut $x$.

★ À maîtriser

• Pour tout $x\ge0$, $\sqrt{x}\ge0$ et $\sqrt{x}=0$ si et seulement si $x=0$.

📌 Pour $x,y\ge0$, $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$.

📌 Pour tout réel $t$, $\sqrt{t^2}=|t|$.

Compléments

• Pour $x\ge0$ et $z>0$, $\sqrt{\frac{x}{z}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{z}}$.

• Pour tout entier naturel non nul $n$ et tout $x\ge0$, $\sqrt{x^n}=(\sqrt{x})^n$.

• En général, $\sqrt{x+y}\ne\sqrt{x}+\sqrt{y}$, même lorsque $x,y\ge0$.

📖 11. Fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, muni d’un repère orthonormé direct, du point de départ $I=(1{,}0)$ et du sens trigonométrique.
• Cosinus et sinus : Pour un point $P$ du cercle trigonométrique associé à l’angle $\alpha$, $\cos(\alpha)$ est son abscisse et $\sin(\alpha)$ son ordonnée.

★ À maîtriser

📐 Formule - La tangente vérifie $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ lorsqu’elle est définie.

📐 Formule - Pour tout réel $x$, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Compléments

📌 Pour tout réel $\alpha$ et tout entier $k$, le cosinus, le sinus et la tangente sont périodiques de période $2\pi$ : leurs valeurs en $\alpha+2k\pi$ sont celles en $\alpha$.

• Pour tout réel $\alpha$, $-1\le\cos(\alpha)\le1$ et $-1\le\sin(\alpha)\le1$.

📐 Formule - Pour tous réels $x,y$, $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ et $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$.

• Le cosinus est pair et le sinus est impair : $\cos(-x)=\cos(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle unité, cos est l’abscisse et sin l’ordonnée du point.

📖 12. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle, notée $\exp$, est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0 : $\exp'(x)=\exp(x)$ et $\exp(0)=1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tous réels $x,y$, $\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$ et $\exp(-x)=\frac1{\exp(x)}$.

📐 Formule - Pour tout réel $x$ et tout entier $n$, $\exp(nx)=(\exp(x))^n$.

📖 13. Logarithmes népérien et décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien $\ln$ est défini sur $\mathbb{R}_+^*$ par la relation $\exp(\ln(x))=x$.
• Logarithme de base a : Pour $a>0$ et $a\ne1$, le logarithme de base $a$ est défini sur $\mathbb{R}_+^*$ par $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$.
• Logarithme décimal : Le logarithme décimal, noté $\log_{10}$ ou $\mathrm{Log}$, est défini par $\mathrm{Log}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}$ pour $x>0$.
• Nombre d’Euler : Le nombre d’Euler $e$ est le réel qui vérifie $\ln(e)=1$.

★ À maîtriser

📌 Les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques : $\ln(\exp(x))=x$ pour tout réel $x$, tandis que $\exp(\ln(x))=x$ pour tout $x>0$.

📐 Formule - Pour tous $x,y>0$, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ et $\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout $x>0$, $\ln\left(\frac1x\right)=-\ln(x)$ et, pour tout entier $n$, $\ln(x^n)=n\ln(x)$.

📌 Le logarithme de base $e$ coïncide avec le logarithme népérien : $\log_e(x)=\ln(x)$ pour tout $x>0$.

📖 14. Règles des exposants entiers et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Exposant entier naturel : Pour un réel a et un entier naturel p strictement positif, $a^p$ est le produit de p facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel non nul a, $a^0=1$.

• Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs m et n, les puissances vérifient $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.

Compléments

📌 Pour tout réel non nul a et tout entier strictement négatif p, $a^p=\frac{1}{a^{-p}}$.

• Pour un réel positif ou nul a, $a^{1/2}=\sqrt{a}$.

📖 15. Notation scientifique et puissances à exposant réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Un nombre positif est en notation scientifique lorsqu’il s’écrit $a\times10^m$, avec un nombre décimal a tel que $1\leq a<10$ et un entier relatif m.
• Puissance réelle : Pour un réel strictement positif a et un réel x, $a^x=\exp(x\ln(a))$.
• Exponentielle de base a : L’exponentielle de base a, pour $a>0$, est la fonction $\varphi_a: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $\varphi_a(x)=a^x=\exp(x\ln(a))$.

★ À maîtriser

• Pour a et b strictement positifs et x et y réels, les puissances vérifient $a^0=1$, $1^x=1$, $a^xa^y=a^{x+y}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$, $(a^x)^y=a^{xy}$, $(ab)^x=a^xb^x$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$.

Compléments

• Pour $a=e$, on a $e^x=\exp(x)$, car $\ln(e)=1$.