QCM : Fonctions usuelles et polynômes (47 questions)

Explication

Un nombre rationnel admet une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers, le dénominateur étant non nul. L’impossibilité d’une telle écriture caractérise plutôt un irrationnel, et un dénominateur nul est exclu.

Explication

Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels ; un réel qui n’est pas rationnel est donc irrationnel. Les rationnels forment l’autre catégorie de réels, tandis que les entiers et les décimaux sont des ensembles inclus dans les rationnels.

Explication

Les inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ montrent que $-4$ appartient à $\mathbb{Z}$, mais pas à $\mathbb{N}$. Le choix de $\mathbb{D}$ saute l’ensemble plus petit des entiers relatifs, tandis que $\mathbb{Q}$ est plus englobant.

Explication

Deux écritures $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ représentent la même fraction si et seulement si $ad=bc$ ; ici, les produits croisés sont tous deux égaux à $168$. Comparer uniquement les dénominateurs, additionner les termes ou exiger leur égalité individuelle ne teste pas cette règle.

Explication

Pour additionner, on calcule les produits croisés au numérateur et le produit des dénominateurs : $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2\times4+3\times1}{3\times4}=\frac{11}{12}$. La réponse $\frac{3}{7}$ additionne séparément les termes, tandis que $\frac{1}{6}$ utilise la soustraction des produits croisés.

Explication

Diviser $\frac{6}{7}$ par $\frac{3}{5}$ revient à multiplier par l’inverse du diviseur : $\frac{6}{7}\div\frac{3}{5}=\frac{6\times5}{7\times3}=\frac{30}{21}=\frac{10}{7}$. $\frac{18}{35}$ correspond au produit, et $\frac{14}{15}$ inverse la fraction à diviser plutôt que le diviseur.

Explication

Dans $f(x)=ax+b$, la droite a pour coefficient directeur $a$ et pour ordonnée à l’origine $b$. Inverser les rôles échange ces paramètres, prendre $3$ change le signe de la pente, et $\frac{5}{3}$ correspond au zéro de la fonction plutôt qu’à son ordonnée à l’origine.

Explication

Les deux droites ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l’origine différentes : elles sont donc parallèles et sans point commun. Des droites confondues auraient aussi la même ordonnée à l’origine; des pentes égales ne produisent pas une intersection unique.

Explication

Des coefficients directeurs différents impliquent un unique point d’intersection, que l’on trouve en résolvant simultanément les deux équations. Les ordonnées à l’origine seules ne déterminent pas l’intersection, et des pentes différentes excluent le parallélisme.

Explication

Le carré d’une somme suit $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ : ici, le double produit vaut $8x$ et le dernier terme vaut $16$. Omettre le terme du milieu, changer son signe ou ne pas mettre $4$ au carré donne les autres résultats.

Explication

Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$; avec $a=3y$ et $b=2$, on obtient $9y^2-12y+4$. Les distracteurs omettent le terme croisé, lui donnent le mauvais signe ou ne mettent pas $2$ au carré.

Explication

La différence de deux carrés s’écrit $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$; ainsi $25z^2-9=(5z-3)(5z+3)$. Les carrés de somme ou de différence introduisent un terme croisé, tandis que le seul facteur $5z-3$ ne reproduit pas l’expression.

Explication

Soustraire le même réel aux deux membres conserve le sens : $-2-7<5-7$, donc $-9<-2$. L’inversion concerne la multiplication ou la division par un nombre négatif, et modifier un seul membre ne préserve pas l’inégalité initiale.

Explication

Une équation du second degré a un terme en $x^2$ dont le coefficient est non nul ; dans $3x^2-2x=0$, ce coefficient vaut 3. Le coefficient quadratique nul donne une équation du premier degré, tandis qu’un terme en $x^3$ relève du troisième degré.

Explication

Le discriminant se calcule par $\Delta=b^2-4ac$ ; ici, $a=5$, $b=-3$ et $c=2$. L’expression $2b$ ne met pas le coefficient linéaire au carré, le signe positif inverse la soustraction, et l’expression sans facteur 4 omet une partie de la formule.

Explication

Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions réelles : un discriminant positif donne deux solutions distinctes, tandis qu’un discriminant nul donne une solution double. Une solution double correspond à une seule valeur réelle, et le signe du coefficient quadratique ne remplace pas ce critère.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, les deux solutions sont $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$. Remplacer $-b$ par $b$ change le signe du terme linéaire, et la formule utilise $\sqrt{\Delta}$ ainsi que le dénominateur $2a$.

Explication

Avec deux racines distinctes, le trinôme est du signe de son coefficient quadratique à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles. Comme le coefficient est négatif, il est positif entre les racines ; l’extérieur est négatif et les racines annulent le trinôme.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme garde le signe de son coefficient quadratique sur $\mathbb{R}$, sauf en sa racine double où il s’annule. Un coefficient positif implique donc un trinôme positif ailleurs, sans changement de signe à la racine.

Explication

Si le discriminant est négatif, le trinôme ne s’annule pas et garde sur $\mathbb{R}$ le signe de son coefficient quadratique. Ici ce coefficient est négatif, contrairement à l’idée d’un signe positif ou d’un changement de signe à une racine réelle.

Explication

Un intervalle contient tous les points situés entre deux de ses points : ici, relier 0 à 1 impose de traverser des points absents de l’ensemble. Le fait que chaque morceau soit un intervalle ne rend pas leur réunion connexe, et le caractère non borné n’est pas une objection en soi.

Explication

L’ensemble vide et $\mathbb{R}$ sont tous deux ouverts et fermés. Les qualifier d’ouverts seulement ou de fermés seulement omet l’une de ces propriétés, et ils ne sont pas semi-ouverts.

Explication

Pour un réel négatif $x$, la valeur absolue vaut $-x$ ; ainsi $|-3{,}5|=3{,}5$. Conserver le signe donne le nombre initial, le carré donne une autre opération et zéro n’est obtenu qu’avec un argument nul.

Explication

On a $|x+y|=|-5|=5$ et $|x|+|y|=8+3=11$, donc $5<11$. L’inégalité triangulaire fournit une borne, pas une égalité générale ; ici, les deux côtés ne sont pas égaux.

Explication

Le plus grand exposant dont le coefficient est non nul est 3, avec coefficient 7 ; le degré est donc 3. Le terme en $x^2$ n’existe pas, le coefficient de $x^3$ n’est pas nul, et le degré n’est pas déterminé par le nombre de termes.

Explication

Pour $a\geq0$, $|x|\leq a$ équivaut à $-a\leq x\leq a$ ; avec $a=4$, l’ensemble solution est $[-4;4]$. L’équation $|x|=4$ ne donnerait que les deux extrémités, tandis que les régions extérieures correspondent à une valeur absolue supérieure ou égale à 4.

Explication

Le degré est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul : ici, le terme de plus haut degré est $7x^5$. Le coefficient 7 n’est pas le degré, le terme constant n’est pas déterminant et aucun terme de degré supérieur n’est présent avec un coefficient non nul.

Explication

Un polynôme ne comporte que des puissances d’exposants naturels, alors qu’un quotient de polynômes peut faire apparaître des puissances négatives après simplification. Un coefficient négatif ne change pas ce critère, et une puissance négative n’est ni une puissance nulle ni une raison d’exclure tout quotient.

Explication

Une fonction rationnelle est définie comme le quotient de deux polynômes. Un produit de polynômes n’est pas la forme définitoire, une fonction exponentielle ne suffit pas, et le quotient de fonctions quelconques est une notion plus large.

Explication

La fonction racine carrée est définie sur les réels positifs ou nuls et prend la valeur positive ou nulle dont le carré est l’entrée. Son domaine ne comprend pas les réels négatifs, elle ne renvoie pas simultanément deux valeurs et elle ne calcule pas le carré de l’entrée.

Explication

Pour toute entrée non négative, la racine carrée s’annule si et seulement si l’entrée vaut zéro. Une entrée négative n’appartient pas au domaine réel de la fonction, tandis qu’une entrée strictement positive a une racine strictement positive.

Explication

Pour deux nombres non négatifs, la racine carrée de leur produit est le produit de leurs racines carrées. Additionner les racines, introduire une racine supplémentaire ou utiliser un quotient ne correspond pas à cette propriété.

Explication

Pour tout réel $t$, $\sqrt{t^2}=|t|$; ainsi, pour $t=-6$, la valeur est $|-6|=6$. La racine principale est positive ou nulle, donc elle n’est pas égale à $t$ lorsqu’il est négatif; elle n’est pas non plus le carré ou zéro ici.

Explication

Le cercle trigonométrique est de centre O et de rayon 1 ; son point de départ est I=(1,0) et son sens est trigonométrique. Un diamètre de 1, le point (0,1) et le sens horaire modifient chacun un élément de cette définition.

Explication

Le cosinus est l’abscisse du point et le sinus son ordonnée : ici ils valent respectivement −0,6 et 0,8. L’échange des coordonnées, le changement de signe de l’abscisse ou celui de l’ordonnée sont les confusions proposées par les autres réponses.

Explication

Lorsque la tangente est définie, elle vaut le quotient du sinus par le cosinus : (3/5)/(4/5)=3/4. La valeur 4/3 inverse le quotient, tandis que 3/5 et 4/5 reprennent respectivement le sinus et le cosinus.

Explication

L’identité donne cos²(x)+sin²(x)=1. Ainsi sin²(x)=1−0,6²=0,64 et |sin(x)|=0,8 ; 0,4 provient d’une soustraction sans carré, et 0,64 est le carré du sinus, non sa valeur absolue.

Explication

La fonction exponentielle est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0. La fonction opposée a une dérivée de signe contraire, le logarithme n’a pas ces propriétés, et la fonction constante égale à 1 n’est pas égale à sa propre dérivée.

Explication

La relation exp(−x)=1/exp(x) donne ici exp(−x)=1/5. La valeur 5 reprend exp(x), −5 traite à tort l’exponentielle comme une fonction impaire, et 25 correspond à une mise au carré injustifiée.

Explication

Le logarithme népérien est défini sur les réels strictement positifs, domaine où $\exp(\ln(x))=x$. Les réels négatifs et zéro ne sont pas dans son domaine, tandis que ses valeurs sont réelles et peuvent être négatives.

Explication

Les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, donc $\ln(\exp(t))=t$ pour tout réel $t$. La restriction à un argument positif concerne $\ln(x)$ seul, et ne modifie pas cette identité.

Explication

Pour des nombres positifs, le logarithme d’un quotient est la différence des logarithmes, dans le même ordre que le numérateur et le dénominateur. Une somme correspond à un produit, et inverser l’ordre change le signe.

Explication

Pour tout réel non nul $a$, la puissance d’exposant zéro vaut $a^0=1$, y compris lorsque la base est négative. La règle d’exposant négatif donnerait une fraction réciproque, mais l’exposant ici est nul.

Explication

La puissance d’une puissance donne $(2^3)^2=2^{3\times2}=2^6$, puis la division de puissances de même base donne $2^{6-4}=2^2$. Additionner les exposants ou conserver l’exposant après la division applique une règle différente.

Explication

Le coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu ; déplacer la virgule de cinq rangs vers la droite donne $7{,}2$ et l’exposant $-5$. $72$ dépasse la borne, $0{,}72$ est inférieur à 1, et l’exposant positif donne une valeur d’une autre grandeur.

Explication

Pour une base positive, la définition est $a^x=\exp(x\ln(a))$ ; ici, elle donne $\exp(2{,}5\ln(3))$. L’expression sans logarithme confond la formule avec un produit, celle qui prend $\ln(2{,}5)$ inverse les rôles, et la division utilise une transformation incorrecte.

Explication

Le quotient de deux puissances de même base vérifie $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ ; ainsi, $1{,}2-0{,}7=0{,}5$. L’addition correspond à une multiplication, l’exposant négatif inverse l’ordre de la soustraction, et $0{,}84$ provient d’une multiplication des exposants.